Le oscillazioni
Moto armonico semplice
Abbiamo già incontrato brevemente il moto armonico semplice in quanto utile per
discutere la misura della massa di un corpo. Riassumiamo brevemente:
m
Molla ideale:
Visto che
F   x
F (molla )  () F (inerzia )
x
(3. Legge di Newton)
x  
  x  m  a
Soluzione generale:
0
(positivo o negativo)
m
x 0
x(t )  A cos(  t   ) con   
m
(*)
Misurando  e , si può determinare m
(*) ricordiamoci:
(sin x)  cosx
(cosx)   sin x
a (b)
 a(b)  b
1
x  
m
x 0
x(t )  A cos(  t   )
con

2 
 2   
T
T
1

x(t) può essere un spostamento, una differenza di potenziale, una pressione …
periodo T
frequenza 
pulsazione o frequenza angolare 
ampiezza A
<- Massimo valore del spostamento
fase t+
costante o angolo di fase 
2
3
Qualsiasi movimento che si ripete a intervalli regolari è definito moto periodico o
moto armonico.
Non solo
Ma anche:
Basta però studiare sen (o cos):
Qualsiasi altra funzione può essere creata da una sovrapposizione di sen
con diversi A, , f
4
Velocità nel moto armonico semplice
con
x(t )  A  cos(  t   )
 v(t ) 
dx(t ) d
  A  cos(  t   )     A  sin(   t   )
dt
dt
dv d
 a(t ) 
    A  sin(   t   )    2  A  cos(  t   )
dt dt
a(t )   2  x(t )
Nel moto armonico semplice l’accelerazione e’ proporzionale allo spostamento ma
di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione
5
Nel caso particolare di:
m
Abbiamo trovato che
 m
0
x
Descrive I parametri rilevanti del sistema,  e m
Ma e’ vero in generale, che per un qualsiasi sistema che segue
x  
m
x 0
Il parametro risultante  descrive le proprietà del sistema
6
x(t )  Acos (  t   )
m
L’energia potenziale del sistema e’
E pot
 
  F  dx   F  dx     x  dx    x  dx 
1
2
  x2
x
0
 1 2    A2  cos 2 (  t   )
L’energia cinetica
con
Ekin  12  m  v 2  1 2  m     A  sin 2    t   
v(t )    A  sin(   t   )
2
 1 2    A2  sin 2    t   

 m
con

Etot  Ekin  E pot  12   A2  sin 2    t     cos 2    t   
 1 2    A2
perchè
sin 2  cos 2  1
7
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una
distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e
lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Quali sono la pulsazione, la frequenza e il periodo dell’oscillazione risultante?
F   x
  x  m  a
x  
x(t )  A  cos(  t   )
m
x 0
con
 m
65 N / m
 
 9.78rad / s  9.8rad / s
0.68kg


9.78rad / s

 1.56 Hz  1.6 Hz
2 
2  rad
1
1
T 
 0.64s
 1.56 Hz
8
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una
distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e
lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ l’ampiezza dell’oscillazione?
x(t )  A  cos(  t   )
A  11cm
Qual e la massima velocita’ del blocco oscillante, e dove si trova quando cio’ si verifica?
dx(t ) d
v(t ) 
  A  cos(  t   )     A  sin(   t   )
dt
dt
vmax
rad
m
   A  9.78
 0.11m  1.1
s
s
La massima velocita’ istantanea si ha quando il blocco passa attraverso l’origine, x=0
9
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con 65 N/m, e’ trascinato a una
distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e
lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ l’ampiezza massima dell’accelerazione del blocco?
a(t ) 
dv d
    A  sin(   t   )    2  A  cos(  t   )
dt dt
2
rad 
m

 amass   2  A   9.78

0
.
11
m

11

s 
s2

a(t )   2  x(t ) :
La massima accelerazione si ha quando il blocco si trova
nei punti estremi del suo percorso
10
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una
distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e
lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ la costante di phase del moto?
x(t )  A  cos(  t   )
x ( 0)  A
 cos0     1
   0rad
o qualsiasi angolo multiplo di 2
=> Funzione spostamento:
rad


x(t )  A  cos(  t   )  0.11m  cos 9.8
 t  0   0.11 cos9.8t 
s


Con x espresso in metri e t in secondi
11
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una
distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e
lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ la energia meccanica?
Per t=0:
Etot  Ecin  E pot  12  m  v 2  12  k  x(0) 2  0  12  65
 0.393 J  0.39 J
N
2
 0.11m 
m
 F  dx   k  x  dx  k   x  dx 
1
2
 k  x2
Quali sono l’energia potenziale e l’energia cinetica dell’oscilaltore quando la particella
e’ a meta’ strada verso il massimo spostamento, ossia per x   12  A ?


E pot  12  k  x 2  12  k   12  A  14  12  k  A2  14  Etot  0.098J
2
 Ecin  34  Etot  0.30 J
12

Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50
cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.
Qual e’ la pulsazione?
x(0)  A  cos 
v(0)    A  sin 
(I)
(II)
a(0)   2  A  cos  (III)
Tre equazioni, tre incognite
(III)/(I) =>
a(0)
  2
x(0)
a(0)
47.0m / s 2
  
 
 23.5rad / s
x(0)
 0.0850m
13
Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50
cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.
Quali sono la costante di fase  e l’ampiezza A?
(II)/(I) =>
v(0)    A  sin 

   tan 
x(0)
A  cos 
 tan   
v(0)
0.920m / s

 0.461
rad
  x(0)
23.5 s   0.0850m 
   250
x(0)  0.0850m
A

 0.094m
cos  cos  250


Anche =1550 e’ una soluzione, con A=0.094 m
A deve essere una costante positiva => soluzione  = -250 da scartare
14
Un oscillatore armonico semplice angolare
    
Pendolo di torsione
Ci riccordiamo, per una molla:


Momento torcente di richiamo, che
tende a contrastare la rotazione
Costante di torsione
In questo caso, invece di
si trova
F    x
 m
 I
I = momento d’inerzia del disco oscillante
E pot  1 2    2
15
Come appare nella figura, un’asticella sottile omogenea, di lunghezza L=12.4 cm e
massa m=135g, e’ sospesa al centro da un lungo filo. Se e’ misurato il suo periodo Ta di
oscillazione angolare, che e’ risultato di 2.53 s. Un oggetto di forma irregolare, che
chiameremo X, e’ stato poi appeso allo stesso filo, come nella figura, e si e’ trovato che il
suo periodo Tb e’ 4.76 s.
Qual e’ il momento di inerzia dell’ oggetto X rispetto al suo asse di rotazione?
Abbiamo gia calcolato:
16
17
La asticella “e composta” di due sbarre
sbarra di massa m’, lunghezza L’
Chiamiamo :
asticella di massa m, lunghezza L
Con m=2m’, L=2L’
2
1
1 m L
1
2
I (asticella )  2  I ( sbarra )  2   m  L  2        m  L2
3
3 2  2  12

1
2
 0.135kg  0.124m   1.73 10  4 kg  m 2
12
 I
Ta  2  
T
Ia

2 

Tb  2  
Ib

4.76s   6.12 104 kg  m 2
Tb2
 I b  I a  2  1.73 10  4 kg  m 2 
Ta
2.53s 2
2
18
Con un pendolo di torsione si possono misurare
anche angoli molto piccoli
raggio di luce
specchio
Si trova:
Lo specchio di torsione non si ferma mai, continuamente fa
piccoli oscillazioni irregolari.
Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di
1
2
 k T
T = temperatura (assoluta)
k = costante di Boltzmann
19
Boltzmann ha dimostrato che non solo lo specchio di torsione, ma qualsiasi
sistema ha sempre energia cinetica pari a 1/2kT (= movimento termico) per
ciascun grado di libertà.
Questo vale anche per gli atomi.
Nonché per interruttori o altri sistemi che possono assumere due minimi
energetici
E perciò immagazzinare informazione.
E
1/2kT
Szillard (1927): per immagazzinare un bit di informazione occorre dissipare una
energia pari a 1/2kT
Landauer: non è vero. Si deve dissipare energia pari a 1/2kT per cancellare un bit
di informazione.
Bennett:: si deve dissipare energia solo se si prende informazione dall’esterno del
sistema, altrimenti è possibile copiare e calcolare senza dissipare (reversible
computing)
20
H.S.Leff, A.F.Rex
Maxwell’s Demon: Entropy, Information, Computing
Princeton University Press
21
Moto armonico semplice e
moto circolare uniforme
Il moto armonico semplice e’ la proiezione
di un moto circolare uniforme su un
diametro della circonferenza su cui questo
moto si svolge
x(t )  A cos(  t   )
 v(t ) 
dx(t ) d
  A  cos (  t   )     A  sen(  t   )
dt
dt
 a(t ) 
dv d
    A  sen(  t   )    2  A  cos(  t   )
dt dt
22
Onde
Se “la variabile” (spostamento, pressione, potenziale...)
cambia solo con il tempo: oscillazione –
x(t )  A cos(  t   )
nel caso piu semplice: modo armonico semplice
o
x(t )  A sin(   t   )
Se “la variabile” cambia anche in funzione
dell’spazio: onda
23
In generale, una onda non avrà forma sinusoidale:
Forma generica di una onda:
y( x, t )  hk  x    t 
h: funzione qualsiasi
24
25
Lunghezza d’onda e numero d’onde
y( x,0)  ym  sin k  x 
Per definizione y deve essere uguale per x=x1 e x=x1+l
 y  ym  sin k  x1   ym  sin k  x1  l   ym  sin k  x1  k  l 
k  l  2 
numero d’onda:

o
k
2 
l
numero d’onda angolare
unità rad  m
1
k
1

2  l
26
Periodo, pulsazione e frequenza
Si puo fare il discorso analogo per y(0, t )  ym  sin    t    ym  sin   t 
2 
 
T
Pulsazione o frequenza
angolare
unita’: radiante al secondo

1


T 2 
frequenza
27
Velocita’ di un’onda in moto
y( x, t )  ym  sin k  x    t 
v

x
t
k  x    t  costante
d
k  x    t   0
dt
dx
k    0
dt
dx

 v 
dt
k
 l
  l v
v 
k T
y( x, t )  ym  sin k  x    t 
Onda che si muove nel verso in cui
x aumenta
velocita’ dell’onda
Onda che si muove nel verso delle x decrescenti
28
La tensione del filo

crea una forza T
su ogni elemento del
filo
y

T
Nessuna forza risultante sull’
elemento di filo

T
x
Piccolo elemento di filo
y
Nessuna forza risultante sull’
elemento di filo
x
29
La tensione del filo crea una forza
effetiva su un elemento di filo, se
c’e una curvatura:
 dy 
 
 dx  a
curvatura= differenza relativa fra
due pendenze
y

T
 dy 
 
 dx 
 dy 
 
 dx b
 dy  d  dy 
    dx
 dx  dx  dx 

T
x

d y
T  T  2  dx
La massa di questo elemento e’   dx
dx
d2y
d2y
T  2  dx    dx   a    dx  2
dx
dt
2
curvatura
Newton
30
d2y
d2y
T  2  dx    dx   a    dx  2
dx
dt
d2y  d2y
  2
2
T dt
dx
1
v2
31
y( x, t )  ym  sin k  x    t 
v

d2
2
y
(
x
,
t
)


y

k
 sin k  x    t 
m
2
dx
d2
2
y
(
x
,
t
)


y


 sin k  x    t 
m
2
dt
A/B =

k

l
T
 l v
(A)
(B)
k2
2
=> e’ vero che
d2y 1 d2y
 2 2
2
dx
dt
v.
32
Il principio di sovrapposizione per le onde
Onde sovrapposte si sommano algebricamente
a formare un’onda risultante:
y3 ( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
33
=> Interferenza di onde
sia
y1 ( x, t )  ym  sin k  x    t 
y2 ( x, t )  ym  sin k  x    t  f 
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )  ym  sin k  x    t  f   sin k  x    t 
Si puo’ dimostrare:
sin   sin   2  sin  12      cos 12     
 y( x, t )  2  ym  cos 12  f  sin k  x    t  12  f 
Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d’onda si
muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, esse
interferiscono a formare un’onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella
medesima direzione
con

ym  2  ym  cos 12  f 
34
35
Onde stationarie
y1 ( x, t )  ym  sin k  x    t 
y2 ( x, t )  ym  sin k  x    t 
y( x, t )  ym  sin k  x    t   ym  sin k  x    t 
Sempre con
sin   sin   2  sin  12      cos 12     
y( x, t )  2  ym  sin k  x  cos  t 
Se due onde sinusoidali de stessa ampiezza e lunghezza d’onda si
muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza
genera un’onda stazionaria
36
37
L’ ultimo numero
i
Il numero immaginario
38
i  1
2
Numeri complessi:
z  xi y
cos   e
sin   e
i 
i 
x,y numeri reali
 e i
 e  i


2
2i
39
Asse
immaginaria
z
y
x
Asse reale
40
1) Qualsiasi funzione puo’ essere costruita mediante una somma di
y( x, t )  ym  sin k  x    t  f 
2) “i” e’ l’ ultimo numero, nel senso che non esiste niente, che
non possa essere rappresentato da i
Se non sappiamo come descrivere un fenomeno, usiamo “i”.
41