2 Errori
di misura
L
a misura di una grandezza fisica, per quanto
accurata, non può mai dare come risultato
un unico valore. Essa è sempre accompagnata da un’imprecisione, più o meno grande, a cui si
dà il nome di errore di misura. Per tale motivo il risultato di una misura non può mai essere espresso
da un solo numero ma piuttosto da un intervallo di
valori compreso tra un valor minimo ed uno massimo. Quanto più piccolo risulta tale intervallo, tanto minore è l’errore commesso e tanto più precisa
la misura della grandezza fisica presa in esame.
1 La scelta dello strumento
Per dare una definizione operativa di una grandezza fisica, oltre a scegliere
l’unità e il metodo di misura, è di fondamentale importanza la scelta dello
strumento.
È sempre necessario, infatti, che uno strumento di misura sia adeguato al tipo di misurazione che si vuole effettuare.
1 Recipienti graduati
di diverse portate.
Ammettiamo, per esempio, di volere pesare un libro;
per eseguire questa misura certamente non sarebbe adeguato il bilancino dell’orefice, che può pesare al massimo oggetti di non oltre 50 g; è più opportuno, invece,
usare la bilancia di casa, che può arrivare fino a 5 kg.
Analogamente, se vogliamo misurare 700 mL di acqua,
anziché usare un cilindro graduato da 10 o da 100 mL
ne useremo uno da 1 L (1000 mL).
Pertanto, una delle caratteristiche di uno strumento di
misura è la portata.
Si definisce portata il valore massimo della grandezza
che uno strumento è in grado di misurare.
Ammettiamo ora di volere controllare se il peso di un anello d’oro appena acquistato corrisponde a quello dichiarato dal negoziante, per esempio 7,35 g.
Se proviamo a pesarlo sulla bilancia di casa, in grado di apprezzare solo i 5 g,
noteremo che l’indice si ferma tra la tacca dei 5 e quella dei 10 g; se proviamo
con la bilancia del droghiere, in grado di apprezzare anche il grammo, noteremo che l’indice si ferma tra la tacca dei 7 e quella degli 8 g; se infine pesiamo
l’anello sul bilancino dell’orefice, in grado di apprezzare anche il centesimo di
grammo (0,01 g), allora potremo leggere il valore 7,35, che, a differenza dei valori dati dalle precedenti bilance, è un valore attendibile. Quindi uno strumento, oltre che dalla portata, è caratterizzato anche dalla sensibilità.
Si definisce sensibilità il valore più piccolo della grandezza
che uno strumento è in grado di apprezzare.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
2
Errori di misura
Pertanto possiamo dire che la bilancia di casa
ha una portata di 5000 g e una sensibilità di 5
g, quella del droghiere ha una portata di 3000
g e una sensibilità di 1 g, mentre il bilancino
dell’orefice ha una portata di 50 g e una sensibilità di 0,01 g.
Da quanto detto finora possiamo concludere
che prima di eseguire una misurazione è opportuno che lo strumento scelto abbia la portata e la sensibilità più adeguate al tipo di misura
che si deve effettuare. Bisogna tener presente,
però, che quanto maggiore è la portata di uno
strumento, tanto minore sarà la sua sensibilità
e viceversa.
2 Questa bilancia ha una
sensibilità adeguata
a ciò che deve pesare.
2 Incertezza delle misure
Per quanto possa essere accurata, la misura di una grandezza è sempre accompagnata da una imprecisione più o meno grande, a cui si dà il nome di incertezza o errore assoluto di misura. Nelle attività sperimentali l’accuratezza
di una misura è particolarmente importante, in quanto è necessario che i dati
scientifici raccolti siano attendibili e quindi universalmente accettati.
Nessuna misura, però, per quanto preciso sia lo strumento e accurato il procedimento adottato, può fornire il valore esatto di una grandezza. Ogni misura, infatti, è sempre condizionata da un certo grado di incertezza.
Essa dipende:
dall’accuratezza, che ci indica quanto grande è la corrispondenza tra il valore reale della grandezza misurata e quello rilevato dallo strumento;
dalla precisione, che ci indica la riproducibilità dei valori ottenuti da una
misurazione. Si dice che una misura è precisa quando ripetute esecuzioni della
stessa danno valori concordanti;
dall’abilità dell’operatore, dal quale possono dipendere errori dovuti alla sua
capacità di sapere utilizzare gli strumenti e dalla sua sensibilità personale.
Da queste considerazioni si può dedurre che, in generale, quando si effettua una
misura con un opportuno strumento si possono commettere due tipi di errori: gli
errori accidentali o casuali e gli errori sistematici.
Gli errori accidentali a loro volta si suddividono in errori di lettura o di sensibilità
dello strumento e in errori statistici.
Di ciascuna classe di questi errori verrà data una semplice descrizione.
3 Errori di lettura
L’errore di lettura o di sensibilità dello strumento è legato a una ben precisa
caratteristica costruttiva degli strumenti di misura chiamata soglia di sensibilità.
Per soglia di sensibilità si intende la più piccola differenza della grandezza
fisica che lo strumento è in grado di misurare.
Un esempio concreto ci può aiutare a precisare meglio il significato dell’errore di
lettura e il modo utilizzato per rappresentarlo.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
0
3
Errori di misura
1
2
3
4
5
6
3 Righello con soglia
Supponete di voler misurare la lunghezza l di una matita con un righello la cui
soglia di sensibilità sia pari a 1 cm. Dopo aver posto una estremità della matita
in corrispondenza dello zero dello strumento, così come mostrato nella figura 3,
potete osservare che l’altra estremità è compresa fra la tacca corrispondente a 11 cm e quella corrispondente a 12 cm. Il risultato della misura è quindi l’intervallo com7
8
9
10 11
12 13 14 15
preso tra lmin = 11 cm e lmax = 12
cm, la cui ampiezza coincide con
la distanza fra due tacche consecutive dello strumento, cioè con la
soglia di sensibilità =
= ampiezza intervallo di misura
sua soglia di sensibilità.
Per convenzione il risultato della misura si esprime mediante due numeri che
contengono l’informazione necessaria per risalire all’intervallo di misura. Il primo di questi numeri viene detto valore misurato e coincide con il valore medio degli estremi dell’intervallo di misura; il secondo è l’errore assoluto e si calcola facendo la semidifferenza fra gli estremi dell’intervallo di misura e coincide quindi
con la metà della soglia di sensibilità.
di sensibilità di 1 cm.
Nel caso della misura della lunghezza della matita il valore misurato
(
)
(
)
lmin + lmax
lm = –––––––––––––––
2
è pari a 11,5 cm, mentre l’errore
lmax – lmin
El = –––––––––––––––
2
sarà uguale a 0,5 cm. Il risultato della misurazione, pertanto, è espresso utilizzando la notazione seguente:
l = lm ± El = (11,5 ± 0,5) cm
dove il simbolo ± sta a indicare che la lunghezza l è compresa tra (11,5 – 0,5) =
11 cm e (11,5 + 0,5) = 12 cm.
È bene precisare che nel caso in cui si usino strumenti con buona risoluzione si
preferisce considerare un intervallo di misura pari al doppio della soglia di sensibilità dello strumento; in questo caso l’errore coincide con la misura corrispondente alla distanza tra due tacche consecutive.
Se misuriamo invece la lunghezza della
matita utilizzando un righello millimetrato, come mostrato nella figura 4, il risultato della misura va espresso come:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2 · soglia di sensibilità =
= ampiezza intervallo di misura
15
l = (11,6 ± 0,1) cm
4 Righello con soglia
di sensibilità di 0,1 cm.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
4
Errori di misura
segui l’esempio
Applica
L’intervallo di misura della massa di un corpo
è compreso tra 1,4 kg e 1,6 kg. Esprimiamo il
risultato della misura.
1,6 + 1,4
= 1,5 kg
• Il valore misurato è:
2
1,6 – 1,4
= 0,1 kg
• L’errore è: Em =
2
• La misura della massa del corpo va quindi
scritta nel seguente modo:
m = (1,5 ± 0,1) kg
a. Esprimi il risultato di una misura di volume il cui
intervallo di misura è compreso tra 1,6 e 1,7 L.
b. L’intervallo di misura della lunghezza di un
tavolo è compreso tra 1,85 e 1,87 m. Esprimi il
risultato della misura.
4 Errori statistici
Gli errori statistici sono originati da un gran numero di cause indipendenti, in
generale non prevedibili e non controllabili dall’operatore, che influenzano il risultato della singola misura alcune volte per eccesso, altre per difetto.
Siamo in presenza di errori statistici o casuali tutte le volte che, ripetendo
la misura di una grandezza fisica con uno strumento molto sensibile, otteniamo
risultati che differiscono tra loro. Un modo molto semplice per evidenziare questo tipo di errori è quello di effettuare più volte la misurazione e confrontare i
valori rilevati.
1 Valori ottenuti dalla
misurazione del tavolo
Lunghezza
(cm)
1
2
3
4
5
6
133,4
133,6
133,8
133,6
133,5
133,7
Se, per esempio, dopo aver effettuato più volte la misurazione della lunghezza di
un tavolo utilizzando un righello con soglia di sensibilità pari a 0,1 cm si sono ottenuti i valori riportati in tabella 1, si può notare che essi differiscono, in generale, per quantità che sono maggiori dell’errore di lettura dello strumento.
La causa di questi errori è da individuare nell’impossibilità di ripetere le
lettura
operazioni di misura sempre allo
esatta
stesso modo: riportando più volte il
lettura
righello per l’intera lunghezza del
errata
tavolo può accadere che esso non
venga disposto con una orientazione
perfettamente parallela al bordo del
tavolo, o che lo zero venga posizionato un po’ più avanti o un po’ più
indietro rispetto alla misurazione
precedente o, infine, che leggiamo il
valore della misurazione ponendo
l’occhio in direzioni non sempre
perfettamente coincidenti (errore di
parallasse).
27
12
8
12
9
13
0
13
1
13
2
13
3
13
4
13
5
13
6
13
7
13
8
13
9
14
0
14
1
Misura
n°
5 Posizione errata (errore di
parallasse) e posizione corretta
per il rilevamento di una misura.
Come per gli errori di lettura, anche per gli errori accidentali di tipo statistico
l’intervallo di misura è compreso fra il valore minimo e il valore massimo delle
misure ottenute. Nel caso in esame, quindi, l’intervallo è compreso fra lmin =
133,4 cm e lmax = 133,8 cm.
Come abbiamo visto, gli errori statistici sono dovuti a molteplici cause indipendenti fra loro il cui effetto complessivo è quello di produrre una serie di misure che
si distribuiscono in modo simmetrico intorno al valore “vero” delle grandezze.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
5
Errori di misura
Questo valore viene individuato effettuando la media aritmetica delle misure ottenute nelle singole prove.
Nel caso in cui la misura di una grandezza presenti errori statistici,
assumeremo come valore misurato la media aritmetica delle singole misure.
Applicando questa regola alla misura della lunghezza del tavolo otteniamo:
133,4 + 133,6 + 133,8 + 133,6 + 133,5 + 133,7
lm= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 133,6 cm
6
(
)
L’errore viene calcolato in modo analogo a quanto fatto per l’errore di lettura.
Esso è pertanto uguale alla semidifferenza dell’intervallo di misura.
Nel nostro caso avremo:
133,8 – 133,4
lmax – lmin
El = ––––––––––––––– = –––––––––––––––––– = 0,2 cm
2
2
(
) (
)
Pertanto il risultato della misura sarà:
l = lm ± El = (133,6 ± 0,2) cm
segui l’esempio
Ripetute misure di massa hanno dato i valori
riportati in tabella:
1
153,4 g
2
153,6 g
3
153,8 g
4
153,6 g
5
153,5 g
6
153,7 g
Valuta l’errore statistico e individua il risultato
della misura.
• Applicando la regola della media aritmetica
possiamo calcolare il valore medio:
Valore medio =
153,4 + 153,6 + 153,8 + 153,6 + 153,5 + 153,7
= 153,6 g
6
• Pertanto l’errore sarà dato dalla
semidifferenza dell’intervallo di misura:
mmax – mmin 153,8 g – 153,4 g
= ———————— = 0,2 g
Em = —————
2
2
• Il risultato della misura
della massa sarà:
m = (153,6 ± 0,2) g
Applica
Calcola l’errore statistico ed esprimi il valore della misura utilizzando i dati rilevati ripetendo più volte la misura del volume di un liquido e riportati in tabella:
1
10,1 mL
2
10,4 mL
3
10,4 mL
4
10,3 mL
Osserviamo, infine, che se avessimo misurato la lunghezza del tavolo con un righello avente una soglia di sensibilità pari a 1 cm, con tutta probabilità, ripetendo le misure, avremmo ottenuto sempre lo stesso valore. In questo caso, infatti,
l’errore di lettura dello strumento, pari a 0,5 cm, risulta maggiore dell’errore statistico, pari a 0,2 cm, che pertanto non riesce a emergere e a influenzare il risultato della misura.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
6
Errori di misura
5 Errori sistematici
Gli errori sistematici, al contrario di quelli accidentali, influenzano la misura
solo in un senso, o sempre per eccesso o sempre per difetto. Il risultato di tale errore, pertanto, è quello di spostare tutto l’intervallo di misura positivamente o
negativamente. Se, per esempio, per un difetto di fabbricazione, una riga risulta
leggermente più corta del regolo campione, le misure di lunghezza effettuate
con tale strumento saranno più grandi del valore effettivo.
6 1 kg di zucchero pesato su
ZUCCHER
O
1 kg
questa bilancia da cucina darà
un valore di circa 100 g
superiore a quello reale.
0
1
3
2
Un tipico errore sistematico è l’errore di taratura: esso è dovuto a
una cattiva regolazione dello strumento adoperato. Possiamo commettere un errore di taratura quando, prima di pesare un oggetto
con una bilancia da cucina, dimentichiamo di verificare che
l’indice dello strumento si trovi sullo zero. Se così non fosse,
infatti, i valori misurati risulterebbero sempre maggiori o sempre minori di quelli effettivi.
Gli errori sistematici possono essere eliminati solo se vengono
riconosciuti. A volte è sufficiente una semplice regolazione
dello strumento, in altri casi, invece, è necessario modificare
del tutto l’apparato sperimentale.
6 Errore relativo ed errore percentuale
Gli errori di cui abbiamo parlato fin qui vengono chiamati errori assoluti in quanto la loro entità non dipende dal valore della grandezza fisica a cui si riferiscono
e per questo motivo non danno alcuna indicazione sulla precisione con cui è stata eseguita la misura.
Per valutare la precisione della misura, infatti, è necessario confrontare l’errore
assoluto con il valore misurato della grandezza fisica. Se, per esempio, misurando la lunghezza di un ponte e quella di una penna commettiamo in entrambi i
casi un errore di 1 cm, è evidente che la prima misura è molto più precisa della
seconda.
Pertanto, si definisce errore relativo Er il rapporto tra l’errore assoluto EG
che si commette nella misura di una grandezza fisica G e il suo valore
misurato Gm.
Esso consente di stimare la precisione di una misura e si esprime così:
EG
Er = ––––
Gm
Quanto minore è l’errore relativo, tanto più precisa risulta la misura.
L’errore percentuale, invece, è un modo più comodo e più immediato per esprimere la precisione di una misura.
Esso rappresenta l’errore assoluto espresso come percentuale del valore misurato.
Per ottenere l’errore percentuale è sufficiente moltiplicare per 100 l’errore relativo:
E% = Er · 100
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
7
Errori di misura
segui l’esempio
Misurando la lunghezza di un’asta di ferro si è
ottenuta la misura l = (12,0 ± 0,2) m.
Calcoliamo l’errore percentuale commesso nella misura.
• Applicando la formula dell’errore
percentuale otteniamo:
E
0,2 m
E% = Er · 100 = —G = ——— · 100 =
Gm 12,0 m
= 0,017 · 100 = 1,7 %
• Pertanto possiamo affermare che la precisione della misura è all’incirca del 2%.
Applica
Misurando la massa di un libro si ottiene la misura
m = (1,3 ± 0,3) kg. Calcola l’errore percentuale
commesso nella misura.
7 Cifre significative
Quando si esprime il valore di una misura sperimentale occorre sempre tener
conto della sensibilità dello strumento adoperato.
Il valore espresso, quindi, dovrà riportare tante cifre quante sono quelle leggibili
sulla scala dello strumento.
Queste cifre vengono chiamate cifre significative in quanto danno significato alla
misura.
Se, per esempio, misurando la massa di un oggetto con una bilancia in grado di
apprezzare 0,01 g leggiamo il valore 44,25 g diremo che il nostro valore è espresso da 4 cifre significative. Usando invece una bilancia con sensibilità
1 g leggeremo il valore 44 g, che porta soltanto 2 cifre significative.
Possiamo pertanto affermare che:
una misura è tanto più precisa quanto maggiore è il numero di cifre
significative che la esprime, il quale dipende dalla sensibilità
dello strumento utilizzato.
Quanto detto comporta un ulteriore chiarimento. Se, per esempio, misurando la
lunghezza di una penna con un righello di sensibilità 1 mm rileviamo il valore
netto 11 cm (in quanto l’estremità iniziale coincide esattamente con lo zero e
quella finale esattamente con la tacca 11 del righello) dobbiamo esprimere il risultato nella forma l = 11,0 cm. In questo modo si mette in evidenza che lo strumento usato ha la sensibilità di 1 mm e che nel nostro caso il numero di millimetri letti è, appunto, 0.
Pertanto anche lo 0, dopo la virgola, deve essere considerato una cifra significativa come le altre.
segui l’esempio
In una misura di lunghezza calcolando il valore medio e l’errore assoluto si ottengono rispettivamente lm = 24,532 cm e El = 0,18 cm.
Esprimiamo la misura con il corretto numero di
cifre significative.
• Per esprimere l’errore con una sola cifra
significativa, l’errore assoluto El va
arrotondato a 0,2 cm.
• Il valore medio lm va quindi approssimato
a 24,5 cm.
Il risultato della misura
sarà pertanto:
l = (24,5 ± 0,2) cm
Applica
In una misura di massa è stato calcolato un valore
medio uguale a 42,531 e l’errore assoluto è uguale
a 0,21 g. Esprimi la massa con il corretto numero
di cifre significative.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
8
Errori di misura
2 Cifre significative
Numeri
n°
Cifre
significative
0,00708
0,0708
0,708
7,08
7,080
70,8
7080,0
3
3
3
3
4
3
5
Alcune regole pratiche potranno risultare utili per determinare il corretto numero di cifre significative che esprimono una misura:
sono cifre significative tutte le cifre diverse da 0;
sono cifre significative gli zeri che seguono una cifra diversa da 0;
non sono cifre significative gli zeri a sinistra della prima cifra diversa da 0.
Consultando la tabella 2 potrai esercitarti a stabilire il corretto numero di cifre
significative corrispondente a ciascun valore riportato a titolo di esempio.
Le cifre significative nei calcoli
Saper scrivere in modo corretto le cifre significative è molto importante soprattutto quando si ha a che fare con misure indirette: esse sono il risultato di operazioni matematiche, perciò occorre imparare a determinare l’opportuno numero
di cifre significative che devono comparire nei calcoli.
Somma e sottrazione
Come prima cosa è opportuno ricordare che si possono effettuare somme e sottrazioni solo tra valori espressi nelle stesse unità di misura e che il risultato finale
sarà espresso in quella stessa unità di misura.
La regola da applicare è la seguente:
il risultato deve contenere lo stesso numero di cifre significative pari
a quelle presentate dal termine meno accurato presente nel calcolo.
Per esempio, se vogliamo sommare le misure di massa 345 g + 27,3 g = 372,3 g
il risultato deve essere approssimato al numero di cifre significative del termine
meno accurato, che in questo caso è 345.
Le cifre significative sono 3, quindi il risultato viene espresso con tre cifre: 372.
Moltiplicazione e divisione
Quando si effettuano moltiplicazioni e divisioni tra numeri decimali, accade
spesso che il risultato ottenuto sia espresso da un numero di cifre significative più
elevato di quelle di partenza.
Se moltiplichiamo, per esempio, 3,21 · 2,43 otteniamo come risultato il numero
7,8003, il che matematicamente è corretto.
Tuttavia, quando si ha a che fare con delle misure può sembrare che il risultato
finale sia molto più preciso delle misure di partenza, dal momento che nel numero compaiono un numero maggiore di cifre significative dopo la virgola.
Pertanto, anche nel caso della moltiplicazione e della divisione occorrerà approssimare il risultato delle operazioni perché esso abbia un significato scientifico.
La regola da applicare è la seguente:
il risultato deve contenere tante cifre significative quante sono quelle
della misura meno accurata, quella cioè che riporta il minor
numero di cifre significative.
Per esempio, moltiplichiamo i numeri 1,1330 e 5,1260000 con una calcolatrice;
otterremo come risultato il numero 5,80775800000.
Se questi fattori, però, esprimono delle misure, occorre scrivere il risultato soltanto con 5 cifre significative, perché 5 sono le cifre significative della misura meno accurata.
Pertanto il risultato della moltiplicazione sarà 5,8077, mentre le rimanenti cifre
non hanno significato. Si può applicare la stessa regola anche per la divisione.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
9
Errori di misura
8 Errori nelle misure indirette
Come abbiamo visto, una misura indiretta si ottiene eseguendo dei calcoli mediante operazioni matematiche. La densità, per esempio, è una grandezza derivata la cui misura si ottiene dal rapporto d = m/V.
Poiché i valori di m e V sono ottenuti da misure sperimentali, e come tali sono
soggetti a errori, è necessario valutare in che modo la misura indiretta ne viene
influenzata. In altre parole, è opportuno stabilire in che modo gli errori si propagano nei calcoli e quindi individuare le regole da applicare per tutte le varie operazioni matematiche. Per semplicità di trattazione ci limiteremo al caso in cui le
grandezze misurate direttamente siano due e le indicheremo con x e y.
Somma e differenza di grandezze
Nel caso in cui la grandezza G rappresenti la somma o la differenza delle grandezze x e y, l’errore assoluto associato al valore di G, cioè EG, sarà uguale alla
somma o alla differenza dell’errore assoluto di x e di y:
EG = Ex + Ey
segui l’esempio
Calcoliamo il valore della massa totale m di una certa quantità di riso ottenuta dall’unione di
due porzioni le cui masse sono rispettivamente m1 = 4,0 ± 0,1 kg e m2 = 3,1 ± 0,1 kg:
• Il valore m della massa è dato dalla somma
m = m1 + m2 = 4,0 kg + 3,1 kg = 7,1 kg
• L’errore assoluto sarà dato invece dalla
somma dei due errori assoluti:
Em = Em1 + Em2 = 0,1 kg + 0,1 kg = 0,2 kg
• La misura di m sarà, pertanto:
m = 7,1 ± 0,2 kg
Applica
Calcola il volume totale V della quantità di acqua
ottenuta mescolando insieme due volumi di acqua
le cui misure sono rispettivamente V1 = 1,7 L ± 0,1
e V2 = 3,2 ± 0,1 L. Esprimi il risultato evidenziando l’errore assoluto.
Prodotto e rapporto di due grandezze
Nel caso in cui la grandezza G sia espressa dal prodotto o dal rapporto di due
grandezze x e y, l’errore relativo associato in entrambi i casi è uguale alla somma
degli errori relativi su x e y:
ErG = Erx + Ery
segui l’esempio
Calcoliamo la densità di un corpo di massa
m = (2,1 ± 0,1) kg e volume V = 1,8 ± 0,2 dm3.
m 2,1 kg
• d = — = ———3 = 1,2 kg/dm3
V 1,8 dm
• L’errore relativo sul valore d è la somma
degli errori relativi sui valori di m e di V:
0,1
0,2
Erd = Erm + ErV = —— + —— = 0,16
2,1
1,8
• L’errore assoluto Ed su d può essere
Ed
ricavato dalla formula: Erd = —
d
Pertanto,
risolvendo
la
formula
inversa si ha:
•
3
Ed = Erd · d = 0,16 · 1,2 kg/dm = 0,072 kg/dm3
• Poiché la precisione delle misure dirette è
espressa soltanto da due cifre significative,
anche questo errore deve essere espresso
da due cifre significative; pertanto, il
valore 0,072 kg/dm3 dovrà essere
approssimato a 0,1 kg/dm3;
• La misura di d è dunque:
d = (1,2 ± 0,1) kg/dm3
Applica
Le misure di una stanza a forma rettangolare sono
rispettivamente l1 = 3,3 ± 0,1 m e l2 = 3,0 ± 0,2 m.
Calcola la misura della superficie della stanza.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
10
Errori di misura
PROVA A ESERCITARTI
1
9
La scelta dello strumento
1
Qual è il criterio di scelta di uno strumento di
misura?
.........................................................................................................
2
Completa inserendo le parole mancanti.
a. La portata di uno strumento indica il valore
............................ della grandezza che uno strumento
è in grado di ........................................
b. La sensibilità è il valore più .......................................
della grandezza che uno strumento è in grado di
........................................
.........................................................................................................
10
2
Incertezze delle misure
3
b. Il valore di una misura coincide con il valore
............................................ degli ............................................
dell’intervallo di misura.
c. L’errore si calcola facendo la ............................................
fra gli estremi dell’............................................ di misura
e coincide con la ............................................ della soglia di sensibilità.
4
Quali sono i tipi di errori che si possono commettere durante una misura?
.........................................................................................................
5
In che tipo di errori rientrano gli errori di lettura
e quelli statistici?
.........................................................................................................
6
Completa inserendo le parole mancanti.
a. L’accuratezza di una misura indica quanto grande
è la ...................................................................... tra il valore
.................................................. della grandezza misurata
e quello .................................................. dallo strumento.
b. Si dice che una misura è ..................................................
quando ripetute misurazioni della stessa danno
valori ...................................................
c. La precisione indica la ..................................................
dei valori ottenuti da una ................................................
3
Errori di lettura
7
8
4
Errori statistici
11
Che cosa si intende per soglia di sensibilità di
uno strumento?
Da che cosa dipende l’errore di lettura?
Da che cosa sono originati gli errori statistici?
.........................................................................................................
12
A che cosa è dovuto l’errore di parallasse?
.........................................................................................................
Da che cosa dipende l’incertezza di una misura?
.........................................................................................................
Completa inserendo le parole mancanti.
a. Si definisce soglia di sensibilità la più piccola
........................................... della grandezza fisica che uno strumento è in grado di .............................................
c. Quanto ............................................... è la portata di uno
strumento, tanto .................................................. è la sua
sensibilità.
d. Un cilindro con una scala graduata da 1 a 10 mL
ha una portata di .................................................. e una
sensibilità di ...................................................
Come si esprime il risultato della misura nel caso
di errori di lettura?
13
Completa inserendo le parole mancanti.
a. Quando una misura presenta errori statistici si
assume come valore misurato la ...................................
aritmetica delle singole .............................................
b. Quando l’errore di lettura risulta ...................................
dell’errore statistico, quest’ultimo non ......................
il risultato della misura.
14
Misurando ripetutamente la massa di un libro si
sono trovati i seguenti valori: 1,26 kg, 1,23 kg,
1,26 kg, 1,24 kg, 1,27 kg e 1,24 kg. Calcola:
a. il valore medio della massa del libro;
b. l’errore assoluto;
c. il risultato della misura evidenziando l’errore statistico.
15
Usando una riga centimetrata per misurare la
lunghezza di una scrivania si è trovato il valore
di 173 cm. Prova a scrivere il valore ottenuto
mettendo in evidenza l’errore statistico.
16
Misurando il tempo impiegato da un corpo a raggiungere il suolo da una certa altezza con un cronometro al ventesimo di secondo si è ottenuto il
valore di 5,05 s. Prova a scrivere il risultato della
misura mettendo in evidenza l’errore statistico.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
2
5
PROVA A ESERCITARTI
Errori di misura
26
Errori sistematici
17
Qual è la differenza tra errori sistematici ed errori accidentali?
.........................................................................................................
18
Come si può correggere l’errore di taratura?
Misure ripetute della lunghezza di un corridoio
hanno dato i seguenti risultati: 7,00 m, 6,93 m,
6,98 m, 6,90 m e 6,94 m. Calcola:
a. il valore medio delle misure;
b. l’errore assoluto;
c. il risultato delle misure associando l’errore assoluto.
.........................................................................................................
19
Completa inserendo le parole mancanti.
7
a. Gli errori sistematici influenzano la misura sempre per ............................................ o sempre per
.............................................
b. L’errore di taratura è dovuto a una cattiva
................................ dello strumento adoperato.
6
............
Errore relativo ed errore percentuale
20
Cifre significative
27
.........................................................................................................
28
29
Che cosa intendi per errore relativo?
Perché si utilizza l’errore percentuale?
.........................................................................................................
22
Completa inserendo le parole mancanti.
a. L’errore relativo esprime il rapporto tra l’errore
.......................................................... che si commette nella misura di una grandezza fisica e il suo valore
............................................
b. L’errore percentuale rappresenta l’errore espresso
come ................................................ del valore misurato.
c. Per ottenere l’errore percentuale basta ...................
............................ per 100 l’errore .........................................
23
24
25
Date le seguenti misure di lunghezza:
l1 = (16,24 ± 0,05) m
l2 = (58 ± 2) m
trova per ciascuna l’errore relativo e percentuale
e indica quale delle due misure è più precisa.
Se un’asta è lunga (156 ± 3) cm, da quale errore
relativo e percentuale è affetta la misura?
Misurando ripetutamente il volume di un liquido
si sono trovate le seguenti misure: 1,908 L,
1,890 L, 1,920 L, 1,901 L, 1,901 L.
a. Calcola il valore medio delle misure.
b. Scrivi il risultato associando alla media dei volumi l’errore assoluto.
Da che cosa dipende il numero delle cifre significative di una misura?
.........................................................................................................
Quali sono le regole per determinare il corretto
numero di cifre significative di una misura?
.........................................................................................................
.........................................................................................................
21
Che cosa sono le cifre significative?
30
Completa inserendo le parole mancanti.
a. Una misura è tanto più precisa quanto .....................
..................................... è il numero di cifre significative che la esprime.
b. Nella somma e nella sottrazione tra valori espressi nelle stesse unità di misura il risultato
deve contenere lo ................................................ numero di cifre significative pari a quelle presentate
dal termine meno ................................................ presente nel calcolo.
c. Nella moltiplicazione e divisione tra dati numerici di misure nelle stesse unità il risultato deve
contenere un numero di cifre significative ...........
.................................... a quelle della misura meno
.................................................
31
Determina per ciascuna delle seguenti misure il
numero delle cifre significative.
a. 0,341 kg
d. 0,0243 m
b. 62,202 s
e. 2,5640 L
c. 30,00 kg
32
a.
b.
c.
d.
Esprimi le seguenti misure con tre cifre significative.
1,5437 kg
0,280 s
10,031 km
0,000320 L
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
11
2
33
a.
b.
c.
d.
e.
f.
34
a.
b.
c.
d.
e.
f.
35
PROVA A ESERCITARTI
Errori di misura
Esegui le addizioni e le sottrazioni tra le seguenti misure.
0,00680 km + 0,054 km = ................................................
201 cm + 7,3 cm = ...............................................................
25,0 g + 401,9 g = ...............................................................
75,4 mg + 0,092 mg = ........................................................
107,6 cm – 103 cm = ..........................................................
231,6 mg – 45,28 mg = .....................................................
Esegui le moltiplicazioni e le divisioni tra le seguenti misure.
23,10 kg/9,9 m3 = ................................................................
12 g/6,107 g = .......................................................................
76,8 cm · 0,10 cm = ...........................................................
26,1 m/15,0 s = .....................................................................
1,0 km · 12 km = ..................................................................
12 g · 6,102 g = ...................................................................
Le misure relative ai lati di una stanza di forma
rettangolare sono 5,75 m e 3,1 m. Calcola il perimetro e la superficie della stanza esprimendoli
con il corretto numero di cifre significative.
36
8
La misurazione dei lati del ripiano di un tavolo
ha dato come risultati l 1 = (2,0 ± 0,1) m e
l2 = (0,9 ± 0,1) m. Calcola la misura del perimetro e della superficie e i rispettivi errori assoluti.
Errori nelle misure indirette
37
Come si calcola l’errore assoluto associato a una
misura indiretta risultante dalla somma o dalla
differenza?
38
Come si calcola l’errore relativo associato a una
misura indiretta risultante dal prodotto o dal
rapporto di due grandezze?
39
Per calcolare il volume di un corpo solido di
forma irregolare, il solido è stato immerso in un
cilindro graduato contenente acqua e sono stati
misurati il volume iniziale e quello finale dopo
l’immersione. Dati il volume iniziale dell’acqua
di 43,5 dm3 ± 0,1 dm3 e quello finale di 50,6
dm3 ± 0,1 dm3, calcola:
a. il volume del corpo;
b. l’errore assoluto sul volume.
© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva
12