La parabola e le equazioni di secondo grado
Prof. Carlo Alberini
15 maggio 2011
1 Preliminari
Tanto in geometria piana, quanto in geometria analitica, definiamo parabola:
Definizione 1 Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano (cartesiano)
equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta (fissa) detta direttrice non
passante per esso.
La Figura 1 è senz’altro immediata:
P
b
a
P
F
b
P
b
b
b
V
d
b
H
b
K
H
b
H
Figura 1: Esempio di costruzione geometrica della parabola.
In Figura 1 la retta d è la direttrice e il punto F è il fuoco della parabola; la retta
a ⊥ d è detta asse di simmetria , mentre il punto P è un generico punto della parabola.
Il punto V si definisce vertice della parabola ed è il punto - a questo livello puramente
geometrico - equidistante dal fuoco e dalla direttrice.
1
Il punto V soddisfa allora la relazione F V = V K .
Nel seguito, così come per tutto il corso degli studi, tratteremo delle parabole con
asse parallelo all’asse delle ordinate y (il che significa che le direttrici saranno parallele
all’asse delle ascisse x ).
Questa definizione, che trova traccia sin dai trattati sulle coniche1 di Apollonio2 di
epoca greca, si può ricontestualizzare nel piano cartesiano sfruttando l’invarianza della
misura del segmento F P rispetto a quella del segmento P H mediante la formula della
distanza.
Nella Figura 2 abbiamo messo in evidenza anche un sistema di assi cartesiani ortogonali, ed associato ai punti F, P, H le seguenti coordinate: F (p; q), P (x; y), H (x; h); mentre
si è associata alla retta d la seguente equazione cartesiana: d : y = h .
y
6
4
b
P (x; y)
2
−6
x
−3
b
−2
d :y =h
3
6
9
12
F (p; q)
−4
b
H (x; h)
−6
Figura 2: Esempio di costruzione geometrica della parabola.
in termini analitici si può allora ricavare l’equazione cartesiana di una parabola.
2 Equazione cartesiana di una parabola
Patendo dalla Figura 2 ricaviamo l’equazione corrispondente analitica ponendo:
FP = PH
1 cfr.
Appendice B
di Perge, sec. III a.C., fu matematico greco. Lavorò probabilmente ad Alesandria in
un’epoca posteriore a quella di Archimende. Di lui ci resta solo, incompleta, l’opera Conicorum Libri
nella quale sono riportati i risultati delle sue ricerche sulle coniche.
2 Apollonio
2
ovvero:
√
√
2
2
(x − p) + (y − q) = (x − x)2 + (y − h)2
(1)
Imponendo nella (1) l’uguaglianza dei radicandi, e sviluppando i calcoli si ottiene:
x 2 + p 2 − 2xp + y2 + q 2 − 2y q = y2 + h 2 − 2yh
Fattorizzando e riordinando le variabili si ottiene
y(2q − 2h) = x 2 − 2px + p 2 + q 2 − h 2
(2)
e dividendo ambo i membri per (2q − 2h), quantità sicuramente diversa da zero,
in quanto il fuoco della parabola non può giacere sulla corrispondente direttrice per
definizione, si ottiene:
1
2px
p 2 + q 2 − h2
2
y=
x −
+
(2q − 2h)
(2q − 2h)
(2q − 2h)
(3)
e infine ponendo:
a=
1
2q − 2h
b=−
c=
2p
2q − 2h
p 2 + q 2 − h2
2q − 2h
si ottiene l’equazione cartesiana di una parabola, ovvero:
y = ax 2 + bx + c
(4)
Come si può notare, una parabola è espressa nel piano cartesiano mediante un generico polinomio di secondo grado (completo). Per una più approfondita discussione sulle
funzionalità dei parametri a, b, c si rimanda alla dispensa Principali funzioni nel piano
cartesiano e loro trasformazioni analitiche.
3 Equazioni di secondo grado
Seguendo il parallelismo delle equazioni di primo grado, ovvero che equazioni di quest’ultimo tipo sono state ricontestualizzate nel piano cartesiano come intersezioni (eventuali) tra rette e asse delle ascisse x , così possiamo pensare che le equazioni di secondo
grado esprimano le (eventuali) intersezioni di parabole con l’asse delle ascisse x .
Valendo cioè:
3

2
 y = ax + bx + c

⇐⇒
y =0
ax 2 + bx + c = 0
È allora chiaro che - a seconda delle posizioni di una parabola nel piano cartesiano
rispetto all’asse delle ascisse x - possono esserci 0, 1 o 2 intersezioni reciproche3 che si
tradurranno in 0, 1 o 2 soluzioni per la corrispondente equazione di secondo grado.
La Figura 3 è senz’altro immediata:
y
6
5
4
c
3
a
2
b
1
b
−4
−3
−2
B
−1
A
b
1
2
3
b
C
x
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
Figura 3: Esempio delle possibili intersezioni tra una parabola generica e l’asse delle ascisse x .
È chiaro che la parabola a non ha alcuna intersezione con l’asse delle ascisse, la parabola b interseca l’asse delle ascisse nel punto (doppio) A ; mentre la parabola c interseca
3 Nel
caso di 1 intersezione tra parabola e asse delle ascisse, si parla di soluzioni reali coincidenti o
soluzione doppia per la corrispondente equazione di secondo grado; mentre nel caso di 2 intersezioni tra
parabola e asse delle ascisse, si parla di soluzioni reali distinte
4
l’asse delle ascisse nei punti B e C .
Inoltre, al variare della parabola nel piano cartesiano, varia anche la tipologia del
polinomio di secondo grado che la esprime. Vediamo le diverse situazioni in ogni caso
e diamo, di seguito, la dimostrazione della formula generale risolutiva per equazioni di
secondo grado.
3.1
Equazioni di secondo grado.
Definizione 2 Definiamo equazione di secondo grado (completa) una scrittura algebrica
del tipo:
ax 2 + bx + c = 0
(5)
con a, b, c ∈ R. Supporremo inoltre sempre nel seguito che a ̸= 0.
Inoltre, la nomenclatura tradizionale scientifica distingue le equazioni di secondo grado
in pure , spurie e complete. Precisamente si definiscono pure le equazioni di secondo
grado prive del termine in x, spurie le equazioni di secondo grado prive del termine noto
e complete le equazioni in cui compaiono sia i termni in x che il termine noto.
Esempio 1 Diamo di seguito gli esempi delle possibili tipologie di equazioni di secondo
grado:
• equazione di secondo grado pura: ax 2 + c = 0, con a, c ∈ R.
• equazione di secondo grado spuria: ax 2 + bx = 0, con a, b ∈ R.
• equazione di secondo grado completa: ax 2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R.
Per le equazioni di secondo grado pure e spurie non si incontrano difficoltà di risoluzione, potendo o estrarre direttamente le soluzioni, mediante radice quadrata, o fattorizzare
l’equazione; infatti:
3.1.1
Metodologia di risoluzione per eqauzioni di secondo grado pure
Risolvere un’equazione del tipo
ax 2 + c = 0
(6)
significa domandarsi se
ax 2 = −c.
A questo punto bisogna prestare attenzione al termine noto. Se −c > 0, ovvero c <
0, possiamo fattorizzare l’equazione stessa trattandola come una differenza di quadrati,
ovvero:
5
√ )(
√ )
(
c
c
c
ax − c = 0 ⇐⇒ x − = 0 ⇐⇒ x −
x+
.
a
a
a
2
2
Mentre se −c < 0, ovvero c > 0, l’equazione di secondo grado di partenza non ha radici
reali; infatti
ax 2 + c = 0 ⇐⇒ x 2 +
c
c
= 0 ⇐⇒ x 2 = − .
a
a
Quando un quadrato, ovvero un numero maggiore od uguale a zero, può essere uguale
ad un numero negativo? L’equazione quindi non ammette radici reali.
Applicando, infine, la legge di annullamento del prodotto si ottengono le soluzioni
√
c
x =±
,
a
(7)
Osservazione 1 Un’equazione di secondo grado pura, o ammette due soluzioni reali, o
non ammette alcuna soluzione reale; √
inoltre, se ammette soluzioni reali, queste sono tra
loro opposte, ovvero della forma x = ±
c
c
, prestando sempre attenzione al fatto che
sia
a
a
un numero positivo, in quanto argomento di una radice quadrata.
Esempio 2 Si risolva l’equazione x 2 − 3 = 0.
Svolgimento. Utilizzando la scomposizione polinomiale tipica del somma per differenza
in R, otteniamo
p
p
x 2 − 3 = (x − 3)(x + 3) = 0
p
che restituisce - secondo la legge di annullamento del prodotto - le soluzioni x = ± 3.
3.1.2
Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado spurie
Risolvere un’equzione del tipo
ax 2 + bx = 0
(8)
significa domandarsi se
x(ax + b) = 0.
ha soluzioni.
Dopo questa fattorizzazione, peraltro sempre fattibile in questo caso, è necessario
applicare la legge di annullamento del prodotto per ricavare le soluzioni cercate, ovvero
b
a
richiedere che x = 0, oppure x = − .
6
Osservazione 2 Un’equazione di secondo grado spuria, quindi, ammette sempre due
soluzioni, di cui una sempre obbligatoriamente nulla.
3.1.3
Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado complete
Trattiamo ora la tipoligia più generale di equazione di secondo grado, ovvero le equazioni
nella forma
ax 2 + bx + c = 0
(9)
Per ricavare una formula risolutiva plausibile, valida in generale in ogni caso, procediamo con espedienti noti fino alla soluzione del problema:
Dimostrazione.
Sia
ax 2 + bx + c = 0,
fattorizzando in modo opportuno, si ottiene quanto segue:
(
)
b
a x + x + c = 0.
a
2
Applicando i due principi di equivalenza per le quazioni, si ha:
(
)
b
c
x + x =− .
a
a
2
La quantità a primo membro ricorda nella forma un quadrato di binomio, di cui
riconosciamo il primo quadrato e il doppio prodotto; manca, però il secondo quadrato.
Per ovviare a ciò, aggiungiamo e sottraiamo una stessa quantità in modo da non alterare
l’equivalenza dei passaggi algebrici, e “ricostruire” così il prodotto notevole mancante.
(
x2 +
)
b
b2
b2
c
x+ 2 − 2 =− .
a
4a
4a
a
A questo punto possiamo scrivere l’equazione precedente nella forma
(
b
x+
2a
)2
−
c
b2
=
−
.
4a 2
a
Ovvero:
(
b
x+
2a
)2
=
7
c
b2
−
.
4a 2 a
Osservazione 3 Questa equazione, seppur di difficile forma, non è altro che un’equazione
di secondo grado pura! Tutti questi calcoli hanno permesso di approdare ad un’equazione
di secondo grado pura partendo da un’equazione di secondo grado completa, operando
fattorizzazioni e applicando i principi di equivalenza per le equazioni.
Facendo denominatore comune a secondo membro, si ottiene:
(
b
x+
2a
)2
=
b 2 − 4ac
.
4a 2
Estraiamo a questo punto le radici, come si conviene per equazioni di secondo grado
pure:
(
)
x+
√
b
=±
2a
b 2 − 4ac
.
4a 2
Osservazione 4 A questo punto riveste particolare importanza il termine b 2 − 4ac, in
quanto discriminante tra equazioni di secondo grado con o senza soluzioni reali, essendo
l’unico responsabile della positività o meno dell’intero argomento della radice. Questo
discriminante è indicato dalla lettera greca maiuscola ∆. Si pone pertanto ∆ = b 2 − 4ac. è
chiaro quindi che, se ∆ > 0, l’equazione di secondo grado di partenza ha due soluzioni reali
distinte, se ∆ = 0, l’equazione di secondo grado di partenza ha due soluzioni reali coincidenti
b
del tipo x = − , se ∆ < 0, l’equazione di secondo grado di partenza non ha soluzioni reali,
2a
essendo, in questo caso, negativo l’intero argomento della radice in questione.
Diamo, pertanto, la formula risolutiva di un’equazione di secondo grado completa,
nel caso in cui ∆ ≥ 0 e risolvendo per quanto possibile la radice a secondo membro ed
applicando il primo principio di equivalenza per equazioni al termine
p
−b ± ∆
x 1,2 =
2a
b
:
2a
(10)
Esempio 3 Si risolva l’equazione 3x 2 − 4x − 2 = 0.
Svolgimento. Come prima cosa, si calcola il discriminante ∆ = b 2 − 4ac, in quanto,
se già preventivamente negativo, rende possibile la dichiarazione: l’equazione di secondo
grado data non ammette alcuna soluzione reale. Quindi:
∆ = b 2 − 4ac ⇐⇒ (−4)2 − 4 · 3 · (−2) = 40 > 0.
Allora l’equazione data ammette due soluzioni reali distinte, date dalla formula:
8
p
p
−b ± ∆
+4 ± 40
x 1,2 =
⇐⇒ x 1,2 =
2a
6
Con semplici calcoli algebrici, si giunge alle soluzioni
p
2 ± 10
x 1,2 =
.
3
In modo analogo si risolvono tutte le altre tipologie di equazioni di secondo grado
complete, ricordando che la presente formula, con le dovute modifiche del caso, è applicabile benissimo anche per equazioni di secondo grado pure e spurie, ma per le quali si
predilige la risoluzione mediante i procedimenti sopra esposti.
9
A La parabola - formule cartesiane utili
Diamo di seguito - senza dimostrazione - le principali formule relative della parabola nel
piano cartesiano con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate y .
Data una generica parabola nel piano cartesiano y = ax 2 + bx + c , con a, b, c ∈ R si ha
che:
Tabella 1: Formule cartesiane per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y .
(
b
∆
vertice: − ; −
2a 4a
direttrice: y =
)
(
b 1−∆
fuoco: − ;
2a 4a
−1 − ∆
4a
)
asse di simmetria: x = −
10
b
2a
B Le coniche
Le coniche occupano un ruolo fondamentale in geometria (analitica). Dallo studio di
queste particolari curve è possibile approdare a risultati notevoli che spaziano dalla fisica (pensando, ad esempio, allo studio di particolari traiettorie di punti materiali) alla
geometria delle costruzioni, all’astronomia, ecc.
Nel presente approfondimento discuteremo delle coniche solo da un punto di vista
puramente geometrico e non analitico.
La definizione rigorosa di queste curve (che tra breve elencheremo) si basa sulla nozione
di cono matematico, ovvero di un luogo di rette uscenti da un punto V detto vertice e che
si appoggiano - in generale - su una curva C . Non è detto - a questo livello che la curva
C sia chiusa. Deve essere, inoltre, per definizione che V ̸∈ C .
Per poter parlare di coniche in senso tradizionale, è necessario, però, che C sia una circonferenza4 e l’asse del cono a (che passa anch’esso per V ) sia perpendicolare al diametro
della circonferenza di base. La Figura 4 è senz’altro immediata.
asse a
b
A
b
C
V
α = 90◦
b
B
Figura 4: Esempio di cono matematico.
4 In
geometria si definisce circonferenza il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
11
Sempre a partire dalla Figura 4, si definiscono generatrici del cono le rette uscenti
da V e appoggiate a C ; mentre si definiscono falde le due regioni di spazio (sopra e sotto
V ) che lo compongono.
Da questa premessa per ottenere le cosiddette coniche bisogna sezionare - in diversi
modi - il cono matematico con un piano π.
Questo piano ha due possibilità: passare per V oppure no. Se V ̸∈ π le coniche che si
generano si definiscono coniche non degeneri ; mentre se V ∈ π le coniche che si generano
si definiscono coniche degeneri .
Iniziamo con le coniche non degeneri. Sezioniamo, quindi, la superficie conica con il
piano π per cui V ̸∈ π in modo che esso non risulti perpendicolare all’asse a del cono e
ne intersechi per intero una sola delle due falde. La sezione che così si ottiene si chiama
ellisse. La Figura 5 è senz’altro immediata.
asse a
b
V
π
A
b
b
B
C
Figura 5: Esempio di ellisse.
Nelle stesse condizioni geometriche di sopra, ma con la sola eccezione che a ⊥ π, si
ottiene una circonferenza.
12
Nel caso, invece, che il piano di sezione π sia parallelo ad una delle generatrici del cono,
ma rimanga sempre relegato ad intersecare una sola delle due falde del cono matematico,
si ottiene una parabola. La Figura 6 è senz’altro immediata.
asse a
π
b
A
V
b
b
B
C
Figura 6: Esempio di parabola.
Infine, se il piano di sezione π è parallelo all’asse a del cono, e quindi questa volta
il piano di sezione π interseca compiutamente entrambe le falde del cono matematico,
si ottiene un’iperbole , di cui due generatrici del medesimo ne sono i cosiddetti asintoti,
(ovvero due rette che “tendono” ad avvicinarsi alla conica senza mai intersecarla). Questo
comportamento sarà meglio chiarito nella ricontestualizzazione dell’iperbole nel piano
cartesiano. Se poi, infine, gli asintoti risultano perpendicolari tra di loro, l’iperbole è
detta iperbole equilatera. La Figura 7 è senz’altro immediata.
Nel caso, infine, che il piano di sezione π passi per il vertice del cono, ovvero che
V ∈ π, si ottengono quelle che di definiscono coniche degeneri : in particolare se il solo
elemento in comune tra cono matematico e piano di sezione è il punto V , è chiaro che la
conica “degenera” in un solo punto (V ); mentre se - oltre al vertice V - vi è in comune
anche un’intera generatrice, la conica “degenera” in una sola retta (quella che appartiene
contemporaneamente a π e al cono matematico) passante per V ; infine, se il piano di
13
sezione interseca compiutamente le due falde del cono matematico e passa per V , la conica
“degenera” in una coppia di rette reali incidenti (il cui punto di intersezione comune è V ).
asse a
b
A
π
V
b
b
B
C
Figura 7: Esempio di iperbole.
Rimandiamo la trattazione analitica completa di coniche degeneri e non degeneri ad
altra sede.
14
Indice
1 Preliminari
1
2 Equazione cartesiana di una parabola
2
3 Equazioni di secondo grado
3.1 Equazioni di secondo grado. .
3.1.1 Metodologia di risoluzione
3.1.2 Metodologia di risoluzione
3.1.3 Metodologia di risoluzione
. . . . . . . . . .
per eqauzioni di
per equazioni di
per equazioni di
. . . . .
secondo
secondo
secondo
. . . .
grado
grado
grado
. . . . . .
pure . . .
spurie . .
complete
3
5
5
6
7
A La parabola - formule cartesiane utili
10
B Le coniche
11
Indice
15
Elenco delle figure
15
Elenco delle tabelle
15
Riferimenti bibliografici
16
Indice analitico
17
Elenco delle figure
1
2
3
4
5
6
7
.
.
.
.
.
.
.
1
2
4
11
12
13
14
Formule cartesiane per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y . . . . . . . .
10
Esempio
Esempio
Esempio
Esempio
Esempio
Esempio
Esempio
di costruzione geometrica della parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
di costruzione geometrica della parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
delle possibili intersezioni tra una parabola generica e l’asse delle ascisse x .
di cono matematico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
di ellisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
di parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
di iperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
Elenco delle tabelle
1
15
Riferimenti bibliografici
[1] Per la voce Apollonio di Perge vedi: Enciclopedia Garzanti, L’Universale volume “Le scienze” - Edizioni Garzanti Libri - s.p.a. Milano, 2005.
16
Indice analitico
Apollonio di Perge, 2
circonferenza, 11, 12
centro, 11
coniche, 2, 11, 12
degeneri, 12, 13
non degeneri, 12
cono matematico, 11
asse, 11
falde, 12
generatrici, 12
vertice, 11
ellisse, 12
equazione di II grado, 5
complete, 5, 7
discriminante, 8
formula risolutiva, 5, 8
pure, 5
spurie, 5, 6
iperbole, 13, 14
asintoti, 13
equilatera, 13
legge di annullamento del prodotto, 6
parabola, 1, 10, 13
asse di simmetria, 1, 10
direttrice, 1, 10
equazione cartesiana, 3
fuoco, 1, 10
vertice, 1, 10
soluzioni di un’equazione di II grado, 3
coincidenti, 4
distinte, 4
17