INTERPOLAZIONE
Si parla di processo di interpolazione quando, conoscendo
una serie di dati, sperimentali o statistici, riguardo ad un
evento, si vuole determinare una funzione che sia in grado di
descrivere la relazione che lega le variabili, e che possa essere
utilizzata per determinare altri dati non compresi nella serie
che si ha a disposizione.
MATEMATICA
L’interpolazione può
essere:
STATISTICA
INTERPOLAZIONE MATEMATICA
Problema:
Un istituto agrario sta effettuando delle sperimentazioni sulla crescita di una
pianta.La tabella registra l'altezza raggiunta dalla pianta in epoche diverse, a
partire dal momento in cui è stata interrata. Si vuole conoscere l'altezza della
pianta alla fine del secondo e terzo mese, e prevedere quella che sarà
raggiunta alla fine del quinto mese.
mesi
0
1
4
altezza
32
46
98
I dati che abbiamo a disposizione sono quelli riportati nella
tabella. Con essi facciamo un’ipotesi, di tipo probabilistico,
sull’andamento della crescita della pianta, e cerchiamo i dati
mancanti utilizzando l’ipotesi fatta.
Rappresentiamo i dati che abbiamo con un grafico a dispersione, per osservare
come sono distribuiti (mettendo in ascissa i mesi e in ordinata le altezze
corrispondenti)
120
100
80
60
altezza
40
mesi
0
1
4
altezza
32
46
98
20
0
0
1
2
3
4
5
mesi
Ora cerchiamo una funzione che passi esattamente per i tre punti che abbiamo. Ci sono
infinite funzioni che passano esattamente per tre punti dati. La scelta spetta a noi.
Usualmente si cercano funzioni razionali intere (polinomi: retta, parabola, cubica…)
perché sono più facili da manipolare.
Guardando il grafico, i tre punti possono sembrare allineati.
Cerchiamo la retta che passa per due di essi e verifichiamo se passa anche per il
terzo punto (i calcoli si possono fare a mano – retta per due punti- , con un foglio
elettronico o con Derive – meglio!):
I tre punti non sono allineati. Occorre cercare un’altra
funzione interpolante.
Cerchiamo di interpolare con una parabola: per tre punti distinti del piano passa
sempre una sola parabola (infatti i coefficienti da determinare sono tre – a, b, c – e le
tre condizioni da porre per determinare i coefficienti sono il passaggio del grafico per
i tre punti)
L’ equazione della parabola si trova risolvendo un sistema di tre equazioni nelle tre
incognite a, b, c (i coeff. dell’eq. della parabola), ottenute sostituendo ad x e y le
coordinate dei tre punti. Facendo i conti (a mano, con un foglio elettronico o con
Derive) si ottiene:
y= 5/6 x2 + 79/6 x + 32
cfr. dalla dia n.7
Ora, avendo a disposizione l’equazione della parabola interpolante, possiamo
rispondere alle domande del problema:
qual era (presumibilmente / approssimativamente) l’altezza della pianta dopo
due e tre mesi dall’interramento, e quale sarà dopo cinque mesi?
y= 5/6 x2 + 79/6 x + 32
x
y
0
32
1
46
2
185/3
3
79
4
98
5
365/3
RICERCA DELLA PARABOLA INTERPOLANTE CON DERIVE
Apriamo un foglio di lavoro algebra di Derive, e scriviamo l’equazione della
parabola generica e la matrice dei tre punti che conosciamo, per avere le coordinate a
portata di “vista”:
Scriviamo le tre equazioni del sistema (che avrà come incognite a, b, c), copiando per
tre volte nella barra di inserimento l’equazione della parabola (posizionarsi nella
barra, avendo selezionato l’equazione da copiare e premere F3)
e sostituendo ad x e y le coordinate dei tre punti noti:
Inviamo le tre equazioni nella finestra di algebra:
Risolvi
sistema
ottenendo così le equazioni che formeranno il sistema.
Risolviamo il sistema
Tre equazioni
Le tre equazioni
copiate dalla
finestra algebra
Nelle tre incognite
a, b, c
risolvi
Otteniamo i valori dei coefficienti a, b, c
E quindi possiamo scrivere l’equazione della parabola cercata:
INTERPOLAZIONE CON POLINOMI DI GRADO
SUPERIORE
A seconda del numero di dati a disposizione, si può decidere di interpolare con funzioni
razionali intere di grado maggiore. Più alto è il grado del polinomio, migliore è
l’approssimazione. Per esempio, supponendo di avere a disposizione quattro coppie di
dati, si può cercare la cubica (polinomio di terzo grado=quattro coefficienti da
determinare) interpolante.
compito
1.Un parcheggio dispone dei seguenti dati relativi al numero di vetture
parcheggiate relativamente ai giorni di una settimana.
lun
230
mar
mer
gio
230
245
ven
sab
dom
Mediante interpolazione quadratica determina il dato intermedio mancante e
formula una previsione sui dati successivi.
Ha senso, dal punto di vista statistico, questo problema?
2. Trova il polinomio interpolante, di quarto grado, passante per i punti:
(-2, 1), (-1,-3), (0,1), (1,1), (2,9)