I VETTORI
Definizione
Sistemi di riferimento
Componenti e modulo
Somma e differenza
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Versori
Vettori
pag.1
Grandezze scalari e vettoriali
Per una descrizione completa del fenomeno sono
necessari e sufficienti
Grandezze scalari
Grandezze vettoriali
1 informazione:
•modulo = numero
4 informazioni:
•modulo = numero (risultato
•direzione
•verso
•punto di applicazione
(risultato misura)
Es.
Massa = 10 kg
direzione
modulo
verso
v
Spostamento = 10 km
in direzione nord-sud
verso nord
partendo da Siena
misura)
Es.
punto di
applicazione
Vettori
pag.2
Sistemi di riferimento
Criterio generale: semplicità
(= minor complicazione possibile!)
Sistemi cartesiani: assi x,y,z tra loro perpendicolari
cartesiano
non cartesiano
(inutile?...)
automobile, bicicletta
peso che cade
scatola cubica
fascio raggi X
...
Quale sistema
di riferimento usare?
}
}
ruota, palla
giostra
Terra, Sole, pianeti
onde elettromagnetiche
atomi, cellule
...
Dipende dalle caratteristiche
geometriche e di simmetria
del problema.
}
tubi, impianti idraulici
condotti elettrici
vasi sanguigni
bottiglie, bombole
siringhe, fiale, flebo
Vettori
Es.
coord.
cartesiane
coord.
sferiche
coord.
cilindriche
pag.3
Sistemi di riferimento
a 2 e 3 dimensioni
y
P(x1,y1 ,z1)
r
y1
r
y1
θ
O
y
P(x1,y1)
x
O
x1
φ
z θ
x
z1
x1
Ogni punto è univocamente determinato da:
in 2 dim 2 coordinate
P(x,y) o P(r,θ
θ)
in 3 dim 3 coordinate
P(x,y,z) o P(r,θ
θ,φ
φ)
Vettori
pag.4
Vettori: componenti e modulo
Un vettore è univocamente descritto
nel piano 2dim dalle sue 2 componenti
nello spazio 3dim dalle sue 3 componenti
y
vy
vx = |v|•cos(α
α)
vy = |v|•sen(α
α)
|v|2 = vx2 + vy2
v
α
O
x
vx
modulo
= |v|2•[sen2(α
α) + cos2(α
α)] = |v|2•1
Vettori
pag.5
Vettori
pag.6
Somma di vettori
y
v3y v1y
v2
v2y
O
v3 = v1 + v2
v3
v1
v1x
x
v2x
v3x
Metodo grafico:
diagonale del parallelogrammo
costruito sui vettori di partenza
Componenti:
somma delle componenti
dei vettori di partenza
Vettori
v3x = v1x + v2x
v3y = v1y + v2y
pag.7
Differenza di vettori
y
v3y
v3
v3x
v1y
v2y
O
v3 = v1 - v2
v1
v2
v1x
v1 = v3 + v2
x
v2x
Metodo grafico:
“altra” diagonale del parallelogrammo
costruito sui vettori di partenza
Componenti:
differenza delle componenti
dei vettori di partenza
Vettori
v3x = v1x - v2x
v3y = v1y - v2y
pag.8
“Moltiplicazioni” di vettori
Oltre alla somma e alla differenza
si possono definire 2 altre operazioni tra vettori
chiamate ”prodotti”, ma non corrispondono
alla consueta idea di moltiplicazione.
Prodotto scalare di 2 vettori:
il risultato è uno scalare
scalare, non più un vettore
Prodotto vettoriale di 2 vettori:
il risultato è ancora un vettore
Inciso:
Un vettore può anche essere moltiplicato per uno scalare.
Il vettore risultante ha stessa direzione; modulo pari al prodotto
dei moduli dello scalare e del vettore di partenza; il verso dipende
dal segno dello scalare: stesso (opposto) se positivo (negativo).
Vettori
pag.9
Prodotto scalare
→
v1
v2
→
v1
→
v2
v1
φ = 180°
v1
→
→
v1 • v2 = v1v2 cos φ = v1v2
+1
→
v1 • v2 = v1v2 cos φ = 0
0
v2
→
→
v2
→
v1 • v2 = v1x v2x + v1y v2y
→
→
→
→
→
→
φ = 90°
•
→
φ
φ = 0°
v1 v2 = v1 v2 cos φ
→
→
v1 • v2 = v1v2 cos φ = – v1v2
-1
Vettori
pag.10
Prodotto vettoriale
v3
→
v1
→
v2
φ
φ = 90°
φ
→
v2
→
v1
v3
v→1
φ = 0°
sovrapponendo v1 a v2 (e non viceversa!)
(pollice mano destra)
→
|v→1 ∧ v→2|= v1v2 sen φ = v1v2
v1
→
v1
verso di avanzamento di una vite
→
→
|v
∧
v
1
2|= v1v2 sen φ = 0
v→2
v3
direzione ⊥ ai 2 vettori
→
v2
φ = 180°
|v→1 ∧ v→ 2| = v1 v2 sen φ
→
v2
0
+1
→
→
|v1 ∧ v2|= v1v2 sen
φ=0
0
Vettori
pag.11
Versori
→
v
n = →
|v|
→
modulo = 1
→
direzione v
verso v→
Es.
Def. di pressione:
componente di una forza
perpendicolare a una superficie
Fn = F cosϑ
ϑ = F •n
→
n
Fn
F
ϑ
∆S
(prodotto scalare)
E’ un metodo comodo per tener conto di una direzione precisa
senza alterare – grazie al modulo unitario del versore –
il valore numerico della grandezza in esame.
Es.: vettore velocità nel moto circolare uniforme.
Vettori
pag.12
Esercizi
E1)
Dati i tre vettori a = (0, 3.5, 0.7) m, b = (1.2, -5, -4) m, c = (4, 3, 1) m,
trovare il loro vettore somma d = a + b + c e il vettore e = a – c.
E2)
Trovare l’angolo compreso tra i vettori a = (0, 3 ,4) e b = (1, √6, 3).
E3)
Dato il vettore a = (5, 2, 1) e un vettore b = (3, 4 , z) con terza
componente z incognita, trovare il valore di z affinché il prodotto
scalare c = a·b sia uguale a 25.
E4)
Dati due vettori a e b di modulo a = 4 e b = 7, quale è l’angolo che
devono formare perché il loro prodotto scalare sia a·b = 5 ?
Vettori - Esercizi
pag.13