TERMOFLUIDODINAMICA
APPLICATA
Convezione
Ing.
g Lorenza Magnani
g
Lezione 1
1 marzo 2010
Analisi dimensionale
Il coefficiente di convezione dipende da:
1.
forma ed estensione della superficie di scambio, per il deflusso
esterno, o della sezione di deflusso nel caso di deflusso
interno, lunghezza caratteristica L o diametro equivalente D
2. condizioni fluidodinamiche medie nella posizione d’interesse:
- velocità media w
3 proprietà fisiche del fluido che influenzano direttamente il
3.
campo di moto del fluido:
- densità , la viscosità dinamica  ,
- il trasporto di calore:
- conduttività termica  e calore specifico cp.
1
Analisi dimensionale
Risoluzione delle equazioni che governano la convezione 
Approccio semplificato: analisi dimensionale
Obiettivo: ricerca di gruppi adimensionali ottenuti
grandezze che influenzano il fenomeno.
combinazioni delle g
come
Le relazioni funzionali tra i gruppi adimensionali vanno ricercate
utilizzando dati sperimentali.
Relazioni di scambio termico con validità in un ampio campo di
variazione dei parametri significativi.
p
una conoscenza a p
priori di tutte le variabili che
E’ indispensabile
influenzano il fenomeno in osservazione.
Analisi dimensionale
Esempio: convezione forzata su lastra piana
elencazione di tutte le grandezze significative, ovvero:
-il coefficiente di scambio termico convettivo h,
h
-la conducibilità termica del fluido f,
-la viscosità dinamica del fluido μ,
-la densità del fluido ρ,
-il calore specifico (a pressione costante) del fluido cp,
-la velocità (indisturbata) del fluido w∞,
-la distanza generica L dal bordo d’attacco.
2
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
7 grandezze indipendenti e significative
Dalla loro combinazione è possibile risalire ad un certo numero di
gruppi adimensionali indipendenti
indipendenti..
Secondo il teorema di Buckingham
il numero di gruppi adimensionali indipendenti è dato dal
numero totale n di grandezze fisiche indipendenti
meno
il numero delle dimensioni fondamentali m richieste per esprimere le
formule dimensionali delle n grandezze fisiche.
fisiche.
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
In riferimento al problema con n=7, adottando come dimensioni
fondamentali:
lunghezza L, tempo t, massa M, temperatura T
il numero di gruppi da individuare è pari a 7 − 4 = 3
tre gruppi adimensionali π1, π2 e π3
La relazione da ricercare è del tipo π1 = F(π2 , π3)
ciascun termine πi è espresso da una opportuna combinazione delle
variabili indipendenti:
π = La fb w∞c ρd μe cpf hg
3
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
Legame tra il coefficiente di scambio termico h e le altre grandezze
significative.
Formule dimensionali:
π = La fb w∞c ρd μe cpf hg
[-] = [L]a[M L / t3 T]b[L / t]c[M/ L3]d[M / L t]e[L2 / t2 T]f [M / t3 T]g
Da cui segue, per l’omogeneità dimensionale:
per M,
b+d+e+g=0
per L,
a + b + c -3d -e +2f = 0
per t,,
p
-3b - c - e -2f -3g
g=0
per T
-b - f -g = 0
Sistema di 4 equazioni nelle 7 incognite (a,b,c,d,e,f,g)
Sottodimensionato  può essere risolto fissando arbitrariamente il
valore di tre delle sette incognite.
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
per M, b + d + e + g = 0
per L, a + b + c -3d -e +2f = 0
per t, -3b - c - e -2f -3g = 0
per T -b - f -g = 0
π = La fb w∞c ρd μe cpf hg
Per h: g=1 (è il dato che si cerca di determinare)
per semplificare i calcoli, c = d = 0.
Dalla risoluzione del sistema
sistema: a=1,
a 1, b
b= -1,
1, e
e=f=0
f 0
Il gruppo h L /f adimensionale, rappresenta uno dei tre
possibili gruppi significativi.
Nu = h L /f = numero di Nusselt
4
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
π=
La fb
w∞
c
ρd
μe
cpf
per M, b + d + e + g = 0
per L, a + b + c -3d -e +2f = 0
per t, -3b - c - e -2f -3g = 0
per T -b - f -g = 0
hg
Volendo ricavare un gruppo adimensionale che tenga
conto della variabile cinematica w∞, si potrà porre c=1.
Inoltre si fissa g=0 (per non far apparire nuovamente h)
e quindi f=0. Dai calcoli: a=d=1, e=-1.
Re = w∞L ρ /μ = numero di Reynolds
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
per M, b + d + e + g = 0
per L, a + b + c -3d -e +2f = 0
per t, -3b - c - e -2f -3g = 0
per T -b - f -g = 0
π = La fb w∞c ρd μe cpf hg
Il terzo gruppo adimensionale si ricava ponendo c=g=0
(per non far comparire velocità e coefficiente di
scambio) e ponendo f=1
Si ottiene a=d=0, e=1, b=-1, che dà origine al terzo
parametro adimensionale
Pr = cp μ / f = numero di Prandtl
dipende unicamente dalle proprietà termofisiche del
fluido.
5
Analisi dimensionaledimensionale-convezione forzata su lastra piana
possibile relazione funzionale tra i tre parametri
adimensionali:
π1 = F (π2, π3) = C π2w π3z
π1 rappresenta un gruppo adimensionale contenente h
π2, π3 gruppi adimensionali indipendenti da cui dipende π1
π1 = Nu = h L/ f
π2 = Re = w∞L ρ /μ
π3 = Pr = cp μ / f =  / a
costante C e gli esponenti w e z vanno determinati facendo
ricorso all’analisi sperimentale.
Analisi dimensionaledimensionale-convezione naturale su lastra piana
moto naturale di un fluido che lambisce una piastra
verticale a temperatura Tw>T∞.
alle variabili che influenzano il fenomeno si aggiunge il
termine βg (Tw−T∞), relativo alla spinta di galleggiamento,
perde di significato w∞ (lontano dalla parete la velocità è
circa zero).
Si possono identificare ancora tre gruppi adimensionali:
π1 = Nu = h L/ f
π2 = Gr = βg (Tw−T∞) L3 ρ2 / μ2
π3 = Pr = cp μ / f =  / a
Ra = Gr Pr = numero di Rayleigh
6
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Convezione forzata esterna
Nu = C Rew Prz
a) convezione forzata su lastra piana, regime laminare
Re < 5 105, Pr > 0.5
Nu = 0.332 Re0.5Pr1/3
lunghezza caratteristica = coordinata “corrente” x
b) convezione forzata su lastra piana, regime turbolento
Re > 5 105, Pr > 0.5
0 8Pr
N = 0.0296
Nu
0 0296 R
Re0.8
P 1/3
lunghezza caratteristica = coordinata “corrente” x
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Convezione forzata esterna
Nu = C Rew Prz
a) convezione forzata su lastra piana, regime laminare
Re < 5 105, Pr > 0.5
Nu = 0.664 Re0.5Pr1/3
Valore medio su tutta la piastra
b) convezione forzata su lastra piana, regime turbolento
Re > 5 105, Pr > 0.5
0 8Pr
N = 0.037
Nu
0 037 R
Re0.8
P 1/3
Valore medio su tutta la piastra
7
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Convezione forzata interna
Nu = C Rew Prz
c) convezione forzata all
all’interno
interno di condotti a sezione circolare
(lunghezza L e diam.interno D)
regime laminare, Re < 2200:
Nu = 1.86 (Re Pr D/L)1/3
lunghezza caratteristica = D interno
d) convezione forzata all’interno di condotti a sezione circolare,
regime
i
pienam.
i
tturbolento,
b l t R
Re > 104
Nu = 0.023 Re0.8Prn
lunghezza caratteristica il D interno
n=0.3 in caso di raffreddamento del fluido
n=0.4 in caso di riscaldamento).
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Convezione naturale o libera (Ra = Pr Gr): Nu = C Rax
a) convezione naturale su lastra piana verticale isoterma
regime laminare (10 < Ra < 109)
Nu = 0.59 Ra0.25
lunghezza caratteristica l’altezza verticale della lastra
b) convezione naturale su lastra piana verticale isoterma
regime turbolento (Ra > 109)
Nu = 0.14 Ra1/3
lunghezza caratteristica l’altezza verticale della lastra
8
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Convezione naturale o libera (Ra = Pr Gr): Nu = C Rax
c) convezione naturale su lastra piana orizzontale isoterma
regime laminare (104 < Ra < 107) e flusso termico diretto dal
basso verso l’alto:
0 25
N = 0.54
Nu
0 54 Ra
R 0.25
lunghezza caratteristica il rapporto tra area e perimetro
d) convezione naturale su lastra piana orizzontale isoterma
regime laminare (104 < Ra < 107) e flusso termico diretto dall’alto
verso il basso:
Nu = 0.27 Ra0.25
l
lunghezza
h
caratteristica
tt i ti il rapporto
t ttra area e perimetro
i t
e) convezione naturale su lastra piana orizzontale isoterma
regime turbolento (Ra > 107)
Nu = 0.14 Ra1/3
lunghezza caratteristica il rapporto tra area e perimetro
Correlazioni tra gruppi adimensionali
Occorre introdurre il valore delle proprietà fisiche
d l fl
del
fluido
id (f ,  , α ecc.),
) che
h dipendono,
di
d
anche
h in
i
misura notevole, dalla temperatura.
Occorre considerare il valore delle proprietà ad una
temperatura possibilmente intermedia tra quella
parete solida e quella
q
del fluido
della p
temperatura Tm = (Tp + Tfl) / 2.
9
Strato limite
Viscosità
i fluidi in moto sono soggetti,
oltre che alle forze di
pressione, gravità ed inerzia,
anche a forze di tipo
VISCOSO
le forze viscose sono azioni
tangenziali
che si sviluppano quando
un fluido ha una velocità
relativa rispetto alle pareti
in queste condizioni la parete risente
di una forza di attrito nel senso del
moto, mentre il fluido risente di una
forza uguale e contraria
y
u1
parete mobile
F
h
u
parete
fissa
x
sulla parete il
fl id h
fluido
ha la
l
stessa velocità
della parete
stessa (condizione
di non
slittamento)
10
Viscosità
y
u1
parete mobile
F
gli sforzi tangenziali si
trasmettono a tutto il
fluido creando un p
profilo
di velocità
l’intensità
delle forze
di attrito
dipende
h
parete
fissa
dai moti relativi entro il fluido
2
da una proprietà fisica
caratteristica,
caratteristica
che esprime l’attitudine intrinseca
del fluido a produrre azioni di
attrito interno
VISCOSITA’
dinamica
y
h
u
x
per una classe
vastissima di fluidi, lo
sforzo di taglio è
proporzionale al
gradiente di velocità
area della
parete
VISCOSITA’ CINEMATICA
parete mobile
parete
fissa
forza di
attrito
costante
t t di proporzionalità
i
lità =
VISCOSITA’ DINAMICA
u1
F
F forza di trascinamento
(uguale e contraria alla forza
di attrito)
u
 
y
x
1
Viscosità
sforzo di taglio =
u
µ



FLUIDI
NEWTONIANI
11
Viscosità

u
y
     y    N2   
     y    N2   
m 
 Pa  s
1 
 u  m  m  s 

m  
m 1
 kg  2  2   s  kg  m1  s1
1 
 u  m  m  s   s m 


     m2  s1


LIQUIDI
GAS

indipendente dalla
pressione, aumenta
al diminuire di T
indipendente dalla pressione
(solo in prima approx),
aumenta con T
fluidi pastosi
polimeri complessi
FLUIDI
NONNEWTONIANI
STRATO LIMITE DI VELOCITÀ
moto di un fluido su lastra piana
La velocità varia da w = 0 a w = w
La regione all’interno
ll
della
d ll quale
l sono presenti
le forze di taglio viscose originate dalla
viscosità del fluido è detta
Strato limite di velocità
12
Strato limite dinamico - termico
STRATO LIMITE
DINAMICO
La velocità varia
da w = 0 a w = w
STRATO LIMITE
TERMICO
La temperatura varia
da t = tp a t = t
Spessore strato limite dinamico – termico
13
Moto su lastra piana orizzontale
= F (/a) = F (Pr)
Moto su lastra piana orizzontale
a
a>
a
14
Moto su lastra piana orizzontale
a
a>
a
Moto su lastra piana orizzontale
a
a>
a
15
STRATO LIMITE idrodinamico
ALL'INTERNO DI UN CONDOTTO
STRATO LIMITE termico ALL'INTERNO
DI UN CONDOTTO
16
Regione di ingresso
Li, laminare  0.05 Re D
Lt, laminare  0.05 Re Pr D
Li, turbolento  Lt, turbolento  10 D
I coefficienti di attrito e di
scambio termico restano
costanti nella regione di
flusso completamente
sviluppato
STRATO LIMITE termico ALL'INTERNO
DI UN CONDOTTO
17
Regimi di moto
Regimi di moto
flusso
turbolento
flusso
laminare
ESPERIENZA DI REYNOLDS
il fumo di sigaretta
sale secondo un
pennacchio ordinato
per i primi
centimetri, per poi
iniziare una casuale
fluttuazione in tutte
le direzioni
inchiostro colorato dello stesso peso
specifico dell’acqua iniettato nella
sezione di ingresso del condotto
per piccole velocità:campo di moto assiale
L velocità
La
l ità in
i ciascuna
i
sezione
i
è costante
t t
su superfici cilindriche coassiali
FLUSSO
LAMINARE
si ipotizza che il moto relativo tra
fluido e parete sia tale che non vi sia
scorrimento, che avvenga per lamine
18
Regimi di moto
FLUSSO LAMINARE
all’aumentare della portata si
raggiunge un regime di moto
nel quale si attenua
la regolarità del
il filo colorato di
campo di velocità
l ità
inchiostro inizia a
mescolarsi con
REGIME DI
l’acqua e la sua
TRANSIZIO
traccia,
NE
precedentemente
ben definita, inizia
a sfilacciarsi
FLUSSO TURBOLENTO
aumentando ulteriormente la portata
si determina, nelle sezioni finali del
condotto, la completa dispersione della
traccia di inchiostro che tende a
colorare uniformemente l’acqua
al moto assiale è
sovrapposto un campo
di rapide fluttuazioni
radiali che determinano
il mescolamento
NUMERO DI REYNOLDS
w 2
Forzed' inerzia
wD wD
Re 
 D 

w
Forzeviscos e

v
2
D
w= velocità di corrente libera [m/s]
D= lunghezza caratteristica della geometria [m]
=/= viscosità cinematica del fluido [m2/s]
= viscosità dinamica [kg/ms]
19
Reynolds e Regimi di moto in un condotto
Re 
w D

Re  2300
2300  Re  4000
Re  4000
Recr  2300
Flusso laminare
Transizione alla
turbolenza
Flusso turbolento
Convezione naturale e forzata
CONVEZIONE FORZATA
il moto del fluido è causato da agenti esterni
((ventilatori,
il
i pompe, agentii atmosferici)
f i i)
CONVEZIONE NATURALE O LIBERA
il moto, in un campo
gravitazionale, è causato
da forze di galleggiamento
dovute a gradienti di
densità, a loro volta
indotti da un campo di
temperatura non uniforme
20
NUMERO DI
PRANDTL
valori tipici
per fluidi
comuni
Fluido
Metalli liquidi
Gas
Acqua
Fluidi organici
Olii
Glicerina
Pr
0.004-0.030
0.7-1.0
1.7-13.7
5-50
50-100.000
50
100.000
2000-100.000
Il calore si diffonde più velocemente della quantità di
moto nei metalli liquidi (Pr<<1) e più lentamente negli
olii (Pr>>1)
Convezione naturale
Principio di
Archimede
Fnetta= P - Fgall= corpog Vcorpo- fluidog Vimmerso =
= g(
g(corpoVcorpo- fluidoVimmerso ) =
= (
(corpo- fluido)gVcorpo*
21
Coefficiente di dilatazione cubica 
1   
  
  T p

1/ K 
1 
 T
  T
(p  cos t )
Per un gas perfetto

1
T
Dove T = temperatura
assoluta
Numero di Grashoff
Gr 
  T
forzedigalleggiament o gV  gTV


forzevis cos e
 2
 2
Gr 
N.GRASHOF
N.REYNOLDS
gTs  T 3
2
g=accelerazione di gravità [m/s2]
=coeff. di dilatazione cubica [1/K]
Ts=temp. della superficie [°
[°C]
T=temp. del fluido sufficientemente
distante dalla superficie [[°
°C]
=lunghezza caratteristica della
superficie [m]
=viscosità cinematica del fluido
[m2/s]
22
NUMERO DI NUSSELT
Nu 
 ' conv. ht

t
 ' cond.

D
Numero di Nusselt
Nu 
rapporto tra
hc L
λ
quantità di calore trasmessa per convezione (h t)
quantità
tità che
h verrebbe
bb trasmessa
t
per conduzione
d i
se il
fluido fosse fermo (
( T/
T/
x)
In generale:
Nu = funzione (Re, Pr, Gr)
Convezione
naturale: velocità dipendente dalla temperatura
Gr >> Re2
Nu = cost.
cost Prn Grm
forzata: trascurato il moto per differenza di densità
Gr << Re2
Nu = cost. Prn Rep
mista:
effetti combinati
Gr  Re2
Nu = cost. Prn Rep Grm
23
Convezione naturale
Coefficiente
costante
Nu= C Ran
N. Nusselt
Dove:
Ra  Gr Pr 
n=1/4
n=1/3
C
Esponente
costante
N. Rayleigh
Nu 
gTs  T 3
Pr
2
h
n
 CGr Pr   CRan

Flusso laminare
Flusso turbolento
Varia con la geometria
Numero di Nusselt:
lunghezza caratteristica per lastra piana
24