CONVEZIONE NATURALE
1
CONVEZIONE NATURALE
Si origina quando il moto del
fluido è causato da gradienti
di densità.
Le velocità sono di norma
minori rispetto alla convezione
forzata.
I moti atmosferici, oceanici e
quelli interni alla crosta
terrestre sono fenomeni di
convezione naturale.
L’approccio sperimentale
preponderante
rispetto
quello teorico.
è
a
2
CONVEZIONE NATURALE
EQUAZIONI FONDAMENTALI
Hp: proprietà fisiche del fluido costanti ad eccezione della densità (BOUSSINESQUE)
approssimazione di strato limite:
u
u
1 p
 2u
u v

 g  2
x
y
 x
y
p
0
y
quantità di moto lungo x
quantità di moto lungo y
ne consegue che il gradiente di pressione lungo y è indipendente da y e quindi è
uguale fuori e dentro lo strato limite;
Nella zona in cui la velocità è nulla (u = v = 0) si ha:
p
  g
x
3
CONVEZIONE NATURALE
EQUAZIONI FONDAMENTALI
Sostituendo nell’equazione della q.d.m. :
u
u g
 2u
u  v       2
x
y 
y
Definendo poi il coefficiente volumetrico di dilatazione termica:
ed approssimandolo a:
1 

    
  T  T  p
1   
  
  T p
si ottiene:
u
u
 2u
u v
 g T  T    2
x
y
y
Le altre equazioni dello strato limite sono:
u v

0
x y
(continuità)
T
T
 2T
u
v
a 2
x
y
y
Le equazioni non sono più disaccoppiate
(energia)
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CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Definendo:
si ottiene:
y
y 
L
x
x 
L
v
v 
u0
*
*
u* v*
 * 0
*
x y
*
g(Tp  T )LT
u*
1  2 u*
* v
u
v * 

*
2
x
y
u0
Re y*2
*
*
T*
1  2T*
* T
u
v

*
*
x
y
Re Pr y*2
Il gruppo
T  T
Tp  T
*
*
g(Tp  T )L
T* 
*
si può scrivere come:
u 02
con
u 0L
Re 

gL3 Tp  T 
2
2
 u 0L 


  

Gr
Re 2
Dove il numero di Grashof Gr è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze
viscose ed è definito dalla:
Gr 
gL3 Tp  T 
2
5
CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Ipotizzando la lastra riscaldata, applicando il teorema di Bernoulli tra il bordo inferiore
ed un punto x:
u 2x
  gx   
2
E, tenendo conto della relazione approssimata tra r e T, si può definire la velocità
caratteristica della convezione naturale:
u c  gL Tp  T 
Ed introducendola nell’espressione del numero di Grashof si ottiene:
Assumendo u0 = uc , le equazioni diventano:
*
T*
1  2 T*
* T
u
v

2
*
*
u
y
Pr Gr y*
*
 u cL 
Gr  

  
*
u *
1  2u*
* u
*
u
v
T 
2
x *
y*
Gr y*
*
con Nu funzione sia di Gr che di Pr
6
2
CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Si definisce il numero di Rayleigh come:
Ra  Gr Pr 
gL3 Tp  T 
a
Quando, oltre alla convezione naturale, è imposta anche una convezione forzata,
l’importanza relativa è espressa dal rapporto:
Gr
Re 2
se Gr >> Re2 è prevalente la convezione naturale
se Gr  Re2 si ha convezione mista
se Gr << Re2 si ha convezione forzata
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Si utilizzano le equazioni dello strato limite,
con le condizioni al contorno seguenti:
T(x, y)
per y = 0: u = 0,
per y =

:
v = 0, T = Tp
u
T
u  0, T  T ,
 0,
0
y
y
T
u(x, y)
L’equazione della quantità
integrata sullo strato limite, è:
di
moto,
u 2
uv 
 2u
0 x dy 0 y dy  0 gT  T dy 0 y2 dy




  t
x
y
che, con le condizioni al contorno, diventa:



u
2
u dy   g  T  T dy 

x 0
y
0
y 0
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Integrando l’equazione dell’energia sullo strato limite termico:
uT 
vT 
 2T
0 x dy 0 y dy  a 0 y2 dy


che, con le condizioni al contorno, diventa:


 T 

 


u
T

T
dy


a


x 0
 y  y  0
Per poter procedere con l’integrazione delle equazioni, si introduce un’ulteriore
ipotesi sull’andamento dei profili di velocità e temperatura:
u  y  y 
  1  
u 0     
2
T  T  y 
 1  
Tp  T   
2
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del moto si ottiene:
 
1 d 2
1
u0
u 0   g Tp  T   
105 dx
3

d
u 0  60 a
dx

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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Ipotizzando che u0 e d dipendano da x secondo le relazioni seguenti:
x   C2 x n
u 0 x   C1x m
si ha:
2m  n C12C2 x 2m  n 1  1 gT
105
n


T
C
x

p

2
3
C1 m  n
x
C2
m  n C1C2 x m  n 1  2a x  n
30
C2
Affinchè le due equazioni siano indipendenti da x, gli esponenti devono essere uguali:
1
m
2
1
n
4
quindi si possono ricavare le costanti C1 e C2:
 20 a   gTp  T 
C1  5,17   

2
21



 


1
2
1
2
 20    gTp  T    
C 2  3,93   
 a
2
21
a


 
 10 
1
4

1
4

1
2
CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Lo spessore dello strato limite diventa dunque:
 gTp  T 
x   3,930,952  Pr  

2


1
4

1
4
Pr

1
2
x
1
4
Si ricava così la velocità di riferimento:
u0 
112
 
5 
336 Pr  9 

 
1
2
gT
p
 T x

1
2
Noto d, si può ricavare T dalla definizione del profilo e, conseguentemente, anche Nu:
h x
q x
x  T 
 
Nu  x 

k
Tp  T k Tp  T  y  y  0
con
1
Pertanto:
2Tp  T 
 T 
   

 y  y  0
1
1
2x

2
Nu x 
 0,508 Pr 0,952  Pr  4 Gr 4

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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Integrando sulla lunghezza, si ottiene il valore medio del coefficiente di scambio:
L
1
4
h   h x dx  h x x  L
L0
3
Allo stesso modo si ottiene il valore medio del numero di Nusselt:
1
hL
Nu L 

k
8 2
Pr
3
 
5 
336
Pr




9

 
1
4
1
4
L
Gr
La maggior parte dei problemi pratici è costituita da geometrie di un grado di
complessità tale da essere necessario il ricorso a correlazioni sperimentali, espresse
nella forma:
hX
Nu X 
 C Ra nX
k
Ra X  GrX Pr
con
C ed n che dipendono dalla geometria e dalle
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condizioni di moto
CONVEZIONE NATURALE
ESEMPIO
CILINDRO RISCALDATO
Per
104  Ra  109
Nu  2  0,43(Ra )
1
4
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CONVEZIONE NATURALE
SPAZI CONFINATI
CAVITA’ RETTANGOLARI
T1 > T2
In assenza di convezione (Ra < 103) si ha:
q
k T1  T2 
L
In presenza di convezione vale la:
q  hT1  T2 
Il coefficiente h viene determinato attraverso correlazioni sperimentali.
Per cavità anulari e canali verticali non limitati superiormente valgono le stesse
considerazioni
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