UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO
Facoltà di Ingengneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Corso di
TECNICA DELLE COSTRUZIONI I
Seconda Esercitazione Progettuale
PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
CARMINE LIMA
e-mail: [email protected]
url: www.carminelima.eu
Bozza del 14 Marzo 2010
Anno Accademico
2009 / 2010
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Analisi delle Sollecitazioni
secondo il
Metodo dei vincoli ausiliari.
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I – a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
www.enzomartinelli.eu
a cura di: Carmine Lima
Bozza del 30 Marzo 2010
2
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Soluzione
Esempio:
Combinazione
di carico n.2
Vincoli ausiliari
(carrelli ad asse
orizz.)

(S)
R3
(0)
Cedimento di imposto
al carrello i-esimo R3(1)
R2(0)

R2(1)
R2(3)

a2
R1(1)
R1(0)
(S0)
R2(2)

a1
R3(3)
R3(2)
a3
R1(3)
R1(2)
(S1)
(S2)
(S3)
La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione
delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli:
Ri(j): reazione del vincolo ausiliare iesimo sullo schema j-esimo
a cura di: Carmine Lima
Ri  Ri
( 0)
ns
  a j Ri
( j)
j 1
Bozza del 30 Marzo 2010
0
i  1...ns
3
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Si ottiene un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli
ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione aj:
 R1( 0)  a1 R1(1)  a 2 R1( 2)  a 3 R1(3)  0
 (0)
(1)
( 2)
( 3)
R

a
R

a
R

a
R
0
 2
1 2
2 2
3 2
 R ( 0)  a R (1)  a R ( 2)  a R (3)  0
1 3
2 3
3 3
 3
a1,a 2 ,a3 
Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle
soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello
schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come
segue:
( 0)
(1)
( 2)
( 3)
M ij  M ij
 a1M ij  a 2 M ij
 a 3 M ij
Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi
S0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si
conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale
sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto)
gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo
schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti
gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in
termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali
(per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure
le reazioni dei vincoli ausiliari
a cura di: Carmine Lima
Bozza del 30 Marzo 2010
4
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross
con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la
soluzione dello schema a nodi fissi S0 ed un numero di schemi Sj a nodi traslati
pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura.
Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi
traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema
strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo
schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni
in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo
della terna di valori (a1, a2, a3) relativa alla combinazione in oggetto.
E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj sia
scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso
ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S0 per effetto
dei carichi.
2
qd  lt  l pil
qd  l 2
qd  lt

 

pil
12
72  EI pil
12  U ij
2
U ij
pil
a cura di: Carmine Lima
2
100  (5000) 2  (3000) 2 1 104  105

 
[mm]
72  300  6003 / 12
E
E
Bozza del 30 Marzo 2010
5
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Lij
[cm]
Asta
b
[cm]
h
[cm]
Inerzia
4
[cm ]
Wij
[kNm]
Vij
[kNm]
Uij
[kN]
Asta
Wij
[kNm]
1_4
4_5
4_7
119047,70
120000,00
119047,70
2_5
4_5
5_6
238095,10
120000,00
108000,00
5_8
3_6
5_6
238095,10
119047,70
108000,00
6_9
119047,70
4_7
119047,70
7_8
7_10
120000,00
119047,70
5_8
7_8
238095,10
120000,00
8_9
8_11
6_9
8_9
9_12
108000,00
238095,10
119047,70
108000,00
119047,70
7_10
10_11
8_11
10_11
11_12
9_12
11_12
119047,70
120000,00
238095,10
120000,00
108000,00
119047,70
108000,00
1_4
4_7
7_10
350
350
350
40
40
40
50
50
50
416.667,00
416.667,00
416.667,00
119.047,70
119.047,70
119.047,70
59.523,90
59.523,90
59.523,90
51.020,40
51.020,40
51.020,40
4
2_5
5_8
8_11
350
350
350
80
80
80
50
50
50
833.333,00
833.333,00
833.333,00
238.095,10
238.095,10
238.095,10
119.047,60
119.047,60
119.047,60
102.040,80
102.040,80
102.040,80
5
3_6
6_9
9_12
350
350
350
40
40
40
50
50
50
416.667,00
416.667,00
416.667,00
119.047,70
119.047,70
119.047,70
59.523,90
59.523,90
59.523,90
51.020,40
51.020,40
51.020,40
6
4_5
5_6
450
500
30
30
60
60
540.000,00
540.000,00
120.000,00
108.000,00
60.000,00
54.000,00
40.000,00
32.400,00
7_8
8_9
450
500
30
30
60
60
540.000,00
540.000,00
120.000,00
108.000,00
60.000,00
54.000,00
40.000,00
32.400,00
10_11
11_12
450
500
30
30
60
60
540.000,00
540.000,00
120.000,00
108.000,00
60.000,00
54.000,00
40.000,00
32.400,00
10
7
4
1
11
8
5
2
a cura di: Carmine Lima
12
9
6
3
Asta
Wij
[kNm]
7
8
Vij
[kNm]
tij
9
10
1_4
2_5
3_6
119047,70
238095,10
119047,70
59523,90
119047,60
59523,90
0,500
0,500
0,500
4_5
5_6
4_7
120000,00
108000,00
119047,70
60000,00
54000,00
59523,90
0,500
0,500
0,500
5_8
6_9
7_8
238095,10
119047,70
120000,00
119047,60
59523,90
60000,00
0,500
0,500
0,500
8_9
108000,00
54000,00
0,500
7_10
119047,70
59523,90
0,500
8_11
9_12
238095,10
119047,70
119047,60
59523,90
0,500
0,500
10_11
11_12
120000,00
108000,00
60000,00
54000,00
0,500
0,500
Bozza del 30 Marzo 2010
SWij
Nodo
11
12
[kNm]
358095,40
704190,20
346095,40
tij
0,332
0,335
0,332
0,338
0,170
0,153
0,338
0,344
0,312
0,344
0,332
358095,40
704190,20
346095,40
239047,70
466095,10
227047,70
0,335
0,332
0,338
0,170
0,153
0,338
0,344
0,312
0,344
0,498
0,502
0,511
0,257
0,232
0,524
0,476
Momenti di incastro perfetto
4,5= -62,07 kNm
5,6= -76,63 kNm
7,8= -62,07 kNm
8,9= -76,63 kNm
10,11= -48,87 kNm
11,12= -60,33 kNm
5,4= 62,07 kNm
6,5= 76,63 kNm
8,7= 62,07 kNm
9,8= 76,63 kNm
11,10= 48,87 kNm
12,11= 60,33 kNm
6
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
- coefficienti di trasporto per le varie aste
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
www.enzomartinelli.eu
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
10
11
12
7
8
9
4
5
6
Nodo
1
-48.87 kNm
11,12= -60.333 kNm
10,11=
2
3
4
5
6
7
11,10=
12,11=
48.87
60.33
kNm
kNm
8
9
7,8= -62.066 kNm
8,9= -76.625 kNm
4,5= -62.066 kNm
5,6= -76.625 kNm
8,7=
9,8=
5,4=
6,5=
62.07
76.63
kNm
kNm
62.07
76.63
kNm
kNm
10
11
12
Asta
4-1
4-5
4-7
5-2
5-4
5-6
5-8
6-3
6-5
6-9
7-4
7-8
7-10
8-5
8-7
8-9
8-11
9-6
9-8
9-12
10-7
10-11
11-8
11-10
11-12
12-9
12-11
W ij
[kNm]
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
SjW ij
[kNm]
4E+05
7E+05
3E+05
4E+05
7E+05
3E+05
2E+05
5E+05
2E+05
tij
0.332
0.335
0.332
0.338
0.170
0.153
0.338
0.344
0.312
0.344
0.332
0.335
0.332
0.338
0.170
0.153
0.338
0.344
0.312
0.344
0.498
0.502
0.511
0.257
0.232
0.524
0.476
Trasporto
sull’asta 10-11
Equilibrio del nodo 10
Meq  (0  48.87)  48.87 kNm
M11,10  24.53  0.50  12.27 kNm
M10,11  48.87  0.502  24.53 kNm
24.34
24.53
Trasporto
sull’asta 10-7
M7,10  24.34  0.50  12.17 kNm
12.17
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M10,7  48.87  0.498  24.34 kNm
12.27
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
www.enzomartinelli.eu
Equilibrio del nodo 11
Meq  (48.87  60.33  12.27)  0.81 kNm
M11,8  0.81  0.501  0.41 kNm
M11,12  0.81  0.232  0.19 kNm
Trasporto
sull’asta 11-10
-0.10
-0.21
-0.19
M10,11  0.21  0.50  0.10 kNm
Trasporto
sull’asta 11-8
-0.21
M8,11  0.41  0.50  0.21 kNm
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DELLE COSTRUZIONI I
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M12,11  0.19  0.50  0.09 kNm
-0.41
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M11,10  0.81  0.257  0.21 kNm
Trasporto
sull’asta 11-12
-0.09
Equilibrio del nodo 12
Meq  (60.33  0.09  0)  60.24 kNm
M12,11  60.24  0.476  28.65 kNm
M11,12  28.65  0.50  14.33 kNm
-14.33
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
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-28.65
-31.59
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M12,9  60.24  0.524  31.59 kNm
Trasporto
sull’asta 12-11
Trasporto
sull’asta 12-9
M9,12  31.59  0.50  15.79 kNm
-15.79
Soluzione a convergenza
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
Si procede con il “giro” senza
tornare su un nodo prima che non
siano stati equilibrati tutti gli
altri. La convergenza è raggiunta
quando gli squilibri nodali sono non
maggiori di 0.01 kNm
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
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SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
tagli dei pilastri superiori
(0)
(0)
Ri(0)   Fi  Tsup
 Tinf(0)
Ri
Fi
tagli dei pilastri inferiori
Asta
Lij
[cm]
(0)
Mij
[kNm]
(0)
Mji
[kNm]
qji
[kN/m]
(0)
Tij
[kN]
(0)
Tji
[kN]
1_4
4_7
350
350
8,94
24,91
17,89
22,98
0,00
0,00
-7,67
-13,68
-7,67
-13,68
7_1
2_5
5_8
8_11
3_6
6_9
9_12
4_5
5_6
7_8
8_9
10_11
11_12
350
350
350
350
350
350
350
450
500
450
500
450
500
24,07
2,46
6,61
6,49
-11,84
-32,57
-31,64
-42,79
-85,13
-47,07
-83,16
-27,08
-70,08
27,08
4,93
5,84
7,92
-23,68
-29,62
-36,60
73,57
56,26
70,84
61,26
62,13
36,61
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
36,78
36,78
36,78
36,78
28,96
28,96
-14,61
-2,11
-3,56
-4,12
10,15
17,77
19,50
75,92
97,72
77,47
96,33
57,37
79,09
-14,61
-2,11
-3,56
-4,12
10,15
17,77
19,50
-89,59
-86,18
-88,04
-87,57
-72,95
-65,71
a cura di: Carmine Lima
Bozza del 30 Marzo 2010
Tij 
pd Lij
2
T ji  
Fi
[kN]
102,48
98,35
49,18

pd Lij
2
ΣTsup
(0)
[kN]
0,00
0,77
0,53
M ij  M ji
Lij

M ij  M ji
Lij
ΣTinf
(0)
[kN]
0,77
0,53
0,37
Ri
(0)
[kN]
-101,71
-98,59
-49,34
12
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj
- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
4,7=
7,4=
1,4=
4,1=
- coefficienti di trasporto per le varie aste
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
25.51
25.51
kNm
kNm
5,8=
-25.51
-25.51
kNm
kNm
2,5=
8,5=
5,2=
51.02
51.02
kNm
kNm
6,9=
-51.02 kNm
-51.02 kNm
3,6=
9,6=
6,3=
25.51
25.51
kNm
kNm
-25.51
-25.51
kNm
kNm
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
www.enzomartinelli.eu
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj:
Calcolo dei momenti
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA
DELLE COSTRUZIONI I
a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLI
www.enzomartinelli.eu
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj A NODI TRASLATI
Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
tagli dei pilastri superiori
(1)
Ri
(1)
Ri(1)  Tsup
 Tinf(1)
tagli dei pilastri inferiori
Asta
1_4
4_7
7_1
2_5
5_8
8_11
3_6
6_9
9_12
4_5
5_6
7_8
8_9
10_11
11_12
Lij
[cm]
350
350
350
350
350
350
350
350
350
450
500
450
500
450
500
Mij(3)
[kNm]
-0,43
2,19
-14,97
-0,91
4,41
-29,39
-0,47
2,22
-14,42
-1,33
-1,25
9,29
8,51
13,58
12,67
a cura di: Carmine Lima
Mji(3)
[kNm]
-0,86
5,68
-13,58
-1,81
11,53
-26,41
-0,95
5,86
-12,82
-1,35
-1,27
9,35
8,56
13,74
12,82
Tij(3)
[kN]
qji
[kN/m]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,37
-2,25
8,16
0,78
-4,55
15,94
0,41
-2,31
7,78
0,59
0,5
-4,14
-3,41
-6,07
-5,1
Tji(3)
[kN]
0,37
-2,25
8,16
0,78
-4,55
15,94
0,41
-2,31
7,78
0,59
0,5
-4,14
-3,41
-6,07
-5,1
Bozza del 30 Marzo 2010
Tij 
pd Lij
2
T ji  
Fi
[kN]
0.00
0.00
0.00

pd Lij
2
ΣTsup
(3)
[kN]
0,00
31,88
-9,11
M ij  M ji
Lij

M ij  M ji
Lij
ΣTinf
(3)
[kN]
31,88
-9,11
1,55
Ri
(3)
[kN]
31,88
-40,99
10,66
15
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e
dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i
valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli
ausiliari:
 R1( 0)  a1 R1(1)  a 2 R1( 2)  a 3 R1(3)  0
 (0)
(1)
( 2)
( 3)
 R2  a1 R2  a 2 R2  a 3 R2  0
 R ( 0)  a R (1)  a R ( 2)  a R (3)  0
1 3
2 3
3 3
 3
103.20
-57.51
10.66
-57.51
85.88
-40.99
10.66
-40.99
31.88
Reazioni sullo
schema S2
a1
a2
a3
=
a cura di: Carmine Lima
0.0239
0.0316
0.0326
0.0316
0.0718
0.0818
0.0326
0.0818
0.1256
49.34
98.59
101.71
Bozza del 30 Marzo 2010
a1
a2
a3
=
49.34
98.59
101.71
Reazioni sullo schema
S0 (cambiate di
segno)
7.61
= 16.95
22.44
16
SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO
SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI
TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
M ij  M ij
( 0)
 a1M ij  a 2 M ij
(1)
( 2)
 a 3 M ij
( 3)
Mij(0)
Mij(1)
Mij(2)
Mij(3)
Mij
Mji(0)
Mji(1)
Mji(2)
Mji(3)
Mji
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
1,4
8.94
-24.97
3.59
-0.43
-129.84
17.89
-24.44
7.18
-0.86
-65.67
4,7
24.91
22.78
-18.12
2.19
-59.86
22.98
18.45
-21.50
5.68
-73.83
7,10
24.07
-6.85
20.85
-14.97
-10.46
27.08
-2.31
15.56
-13.58
-31.45
2,5
2.46
-49.88
7.36
-0.91
-272.52
4.93
-48.74
14.71
-1.81
-157.01
5,8
6.61
45.47
-35.84
4.41
-156.13
5.84
36.51
-42.73
11.53
-182.00
8,11
6.49
-14.04
41.39
-29.39
-58.28
7.92
-4.61
30.35
-26.41
-105.36
3,6
-11.84
-24.91
3.77
-0.47
-148.01
-23.68
-24.30
7.54
-0.95
-102.00
6,9
-32.57
22.69
-17.71
2.22
-110.49
-29.62
18.05
-21.22
5.86
-120.60
9,12
-31.64
-7.19
20.53
-14.42
-61.83
-36.60
-2.30
14.77
-12.82
-91.30
4,5
-42.79
1.65
10.94
-1.33
125.53
73.57
1.69
11.03
-1.35
243.19
5,6
-85.13
1.58
10.09
-1.25
69.91
56.26
1.61
10.17
-1.27
212.50
7,8
-47.07
-11.60
0.66
9.29
84.30
70.84
-11.71
0.68
9.35
203.02
8,9
-83.16
-10.75
0.66
8.51
37.26
61.26
-10.86
0.69
8.56
182.41
10,11
-27.08
2.31
-15.56
13.58
31.45
62.13
2.37
-15.77
13.74
121.21
11,12
-70.08
2.24
-14.58
12.67
-15.89
36.61
2.30
-14.77
12.82
91.30
Asta
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Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari
Momenti in tm
a cura di: Carmine Lima
Bozza del 30 Marzo 2010
17
DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE
COMBINAZIONI DI CARICO
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18