Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2004/05
Applicazione del Metodo di
Hardy-Cross allo schema di
trave continua per l’analisi
delle sollecitazioni del solaio
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Dati Numerici
Dati Geometrici
Lsb=
1.15 m
L1=
5.25 m
L2=
6.10 m
L3=
4.40 m
Valori dei carichi
gk+gk'=
5.80 kN/m
gk,sb+gk,sb'=
4.30 kN/m
Fk=
1.50 kN
q k=
2.00 kN/m
qk,sb=
4.00 kN/m
Hk=
1.00 kN
- COMBINAZIONE 1 (SLU):
psb=
Fd=
Hd=
m=
p1=
p2=
p3=
4.30
1.50
0.00
4.57
11.12
5.80
11.12
kN/m
kN
kN
kNm
kN/m
kN/m
kN/m
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2004/05
Coefficienti di Ripartizione e di Trasporto
I coefficienti di ripartizione
vanno definiti per ogni nodo
con riferimento alle (due)
aste che vi convergono.
ij 
Wij
Wij  Wik
I coefficienti di trasporto vanno determinati sulle aste secondo la relazione seguente:
tji 
Vji
Wij
Nel caso in esame essi hanno valore non nullo solo per la campata intermedia e valgono
tBC=tCB=0.5. Sulle campate di riva, invece, i momenti sull’estremo appoggiato sono noti a
priori ed indipendenti dalle rotazioni nodali che si registrano in B e C.
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2004/05
Momenti di incastro perfetto
Asta AB:
 BA
p1 LAB2 m 11.12  5.252 4.57

 

 36.03 kNm
8
2
8
2
Asta BC:
 BC
p2 LBC 2
5.80  6.10 2


 17.98 kNm
12
12
 BC
p2 LBC 2 5.80  6.10 2


 17.98 kNm
12
12
Asta CD:
 CD  
p3LCD2
8
11.12  4.402

 26.91 kNm
8
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Prima Iterazione
Equilibrio del nodo B
- Momento squilibrato
MB ( s)  36.03  17.98 
 18.05 kNm
-8.40
-9.64
-4.82
- Momento equilibrante
MB(e)  MB(s)  18.05 kNm
- Ripartizione tra le aste
MBA  BA  MB ( e) 
 0.466   18.05  8.40 kNm
MBC  BC  MB ( e) 
- Trasporto sull’asta BC
MCB  tCB  MBC 
 0.5   9.64  4.82 kNm
 0.534   18.05  9.64 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Seconda Iterazione
Equilibrio del nodo C
- Momento squilibrato
MC ( s)  17.98  26.91 
 4.82  13.75 kNm
- Momento equilibrante
3.37
6.74
7.01
MC (e)  MC (s)  13.75 kNm
- Ripartizione tra le aste
MCB   CB  MC ( e) 
 0.490  13.75  6.74 kNm
MCD   CD  MC ( e) 
 0.510  13.75  7.01 kNm
- Trasporto sull’asta BC
MBC  tBC  MCB 
 0.5  6.74  3.37 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Terza Iterazione
Equilibrio del nodo B
- Momento squilibrato
MB(s)  3.37 kNm
- Momento equilibrante
MB(e)  MB(s)  3.37 kNm
-1.57
-1.80
-0.90
- Ripartizione tra le aste
MBA  BA  MB ( e) 
 0.466   3.37   1.57 kNm
MBC  BC  MB ( e) 
 0.534   3.37   1.80 kNm
- Trasporto sull’asta BC
MCB  tCB  MBC 
 0.5   1.80  0.90 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Quarta Iterazione
Equilibrio del nodo C
- Momento squilibrato
MC (s)  0.90 kNm
- Momento equilibrante
MC (e)  0.90 kNm
0.22
0.44
0.46
- Ripartizione tra le aste
MCB   CB  MC ( e) 
 0.490  0.90  0.44 kNm
MCD  CD  MC ( e) 
 0.510  0.90  0.46 kNm
- Trasporto sull’asta BC
MBC  tBC  MCB 
 0.5  0.44  0.22 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Quinta Iterazione
Equilibrio del nodo B
- Momento squilibrato
MB(s)  0.22 kNm
- Momento equilibrante
MB(e)  0.22 kNm
-0.10
-0.12
-0.06
- Ripartizione tra le aste
MBA  BA  MB ( e) 
 0.466   0.22  0.10 kNm
MBC  BC  MB ( e) 
 0.534   0.22  0.12 kNm
- Trasporto sull’asta BC
MCB  tCB  MBC 
 0.5   0.12  0.06 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Sesta Iterazione
Equilibrio del nodo C
- Momento squilibrato
MC (s)  0.06 kNm
- Momento equilibrante
MC (e)  0.06 kNm
- Ripartizione tra le aste
MCB   CB  MC ( e) 
 0.490  0.06  0.03 kNm
MCD   CD  MC ( e) 
 0.510  0.06  0.03 kNm
0.01
0.03
0.03
- Trasporto sull’asta BC
MBC  tBC  MCB 
 0.5  0.03  0.01 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Metodo di Cross: Settima Iterazione
Equilibrio del nodo B
- Momento squilibrato
MB(s)  0.01 kNm
- Momento equilibrante
MB(e)  0.01 kNm
- Ripartizione tra le aste
-0.01
-0.01
MBA  BA  MB ( e) 
 0.466   0.01  0.01 kNm
MBC  BC  MB
( e)

Convergenza Raggiunta!
 0.534   0.01  0.01 kNm
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2004/05
Metodo di Cross: Soluzione
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2004/05
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Verifica di congruenza
Alla fine del procedimento di convergenza che, come visto nella lezione teorica, consiste
nell’imporre di volta in volta l’equilibrio nodale in corrispondenza degli appoggi interni. Alla
fine del procedimento di ricerca dell’equilibrio è comunque opportuno accertarsi della
congruenza delle rotazioni negli stessi nodi come esposto nel seguito.
Nodo B:
BA
BC
MB LAB mL AB p1 LAB3 25.95  5.25 4.57  5.25 11.12  5.253
17.6402







3EI
6EI
24EI
3EI
6EI
24EI
EI
MBLBC MC LBC p2LBC3
25.95  6.10 19.41  6.10 5.80  6.10 3
17.6442







3EI
6EI
24EI
3EI
6EI
24EI
EI
BA  BC


 17.6402  17.6442
17.6422
 2.2  10 4
Questo errore si ritiene tollerabile perché non superiore rispetto allo scarto assunto per
la convergenza nella ripartizione dei momenti (0.01/10=10-3).
a cura di Enzo Martinelli