Come aiutare la mamma ….. • Oggi a cena dovremmo essere in dieci ….. • Come fare se la ricetta della torta è per sei persone? • La matematica ti potrà aiutare ….. a:b=c:d di Romilda Beltrame e Fiorenzo Barbaro Contenuti • Cos’è una proporzione • Terminologia • Proprietà fondamentale delle proporzioni • Proprietà del comporre • Proprietà dello scomporre • Proprietà dell’invertire • Proprietà del permutare Cos’è una proporzione? Proporzione Uguaglianza tra due rapporti Termini di una proporzione Si legge: a sta a b come c sta a d a : b = medi estremi c : d Quarto proporzionale Termini di una proporzione antecedenti a : b = c : conseguenti d Particolare proporzione medi uguali a : b = b : c Se i medi (oppure gli estremi) sono uguali la proporzione è continua Proprietà fondamentale delle proporzioni La proprietà fondamentale è collegata alla definizione di frazioni equivalenti. I “ prodotti in croce” sono uguali. A : B=C : D A D B C Proprietà dell’invertire • a : b = c: d b:a=d:c Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione Proprietà del permutare • a:b=c:d • a:b=c:d d:b=c:a a:c=b:d Se in una proporzione si scambiano tra loro i medi e/o gli estremi si ottiene ancora una proporzione Proprietà del comporre • a:b=c:d (a+b):a = (c+d):c • a:b=c:d (a+b):b = (c+d):d In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo ( o al secondo termine come la somma degli altri due sta al terzo (o al quarto termine) Proprietà dello scomporre • a:b=c:d (a - b):a = (c - d):c • a:b=c:d (a - b):b = (c - d):d Se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo termine (e quindi il terzo maggiore del quarto), la differenza del primo e secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto termine). Applica la proprietà fondamentale 6 : 16 = x :40 6 40 x 16 x : 7 = 6 : 14 76 x 14 Prova tu Applica la proprietà del comporre 3 x: x 2:3 5 3 x x : x 2 3 : 3 5 E quindi otteniamo 3 : x 5:3 5 3 3 x 5 5 Prova tu Applica la proprietà dello scomporre (4+x):x=5:3 (4+x-x):x=(5-3):3 E quindi: 4:x=2:3 x= 43 2 Prova tu Applica la proprietà del permutare e del comporre 2:x=6:(x+3) (x+3):x=6:2 E quindi (x+3-x):x=(6-2):2 3:x=4:2 3 2 x 4 Prova tu Grandezze direttamente proporzionali DUE GRANDEZZE SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI SE AL RADDOPPIARE, TRIPLICARE, QUADRUPLICARE … DELL’UNA RADDOPPIA, TRIPLICA, QUADRUPLICA ….. ANCHE L’ALTRA. Ad esempio il prezzo di una merce e il suo peso sono direttamente proporzionali. La quantità di benzina consumata e lo spazio percorso di un’auto. Legge di proporzionalità diretta • Se due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto di due grandezze della seconda. : = : Grandezze inversamente proporzionali DUE GRANDEZZE SONO INVERSAMENTE PROPORZIONALI SE AL RADDOPPIARE, TRIPLICARE, QUADRUPLICARE … DELLA PRIMA LA SECONDA DIVENTA UN MEZZO, UN TERZO, UN QUARTO …… Per esempio sono inversamente proporzionali il numero di ore giornaliere e il numero di giorni per eseguire un lavoro. La portata di un rubinetto e il tempo per riempire un recipiente. La grandezza di un ingranaggio e il numero di giri effettuati in un determinato tempo Legge di proporzionalità inversa Se due grandezze sono inversamente proporzionali,il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto inverso dei due valori della seconda. : = : BIBLIOGRAFIA • Manuale di algebra, Bergamini Trifone Zagnoli, Zanichelli vol. 1°; • Elementi di matematica, Dodero Baroncini Ghisetti vol.1°; • Realtà e modelli 2a, Flaccavento, Fabbri Editore. Prova tu (proprietà fondamentale) 49 x • 6:7 = 21:x 2 • 10:26 = x:13 Clicca per il risultato x5 Prova tu (proprietà del comporre) • (11- x):x=42:4 (11 x x) : x (42 4) : 4 11 4 x 46 Clicca per il risultato Prova tu (proprietà dello scomporre) • 7:2=(x+1):x 5:2=1:x Clicca per il risultato (7-2):2=(x+1-x):x x =2/5 Prova tu (proprietà del permutare e del comporre) x:12=(x+3):5 5:12=(x+3):x (x+3-x):x=(5-12):12 X=-36/7 Clicca per il risultato
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