1
1
c
COMPUTER
b
a
h
d
e
g
f
i
l
2
Nella diapositiva precedente
abbiamo visto delle grandi
invenzioni che hanno cambiato la
vita dell’uomo.
Ordinale secondo un tuo criterio di
importanza
3
Alcune grandi invenzioni oggi
sono, per noi, scontate
(pensa alla ruota, alla stampa...)
altre ci appaiono più complesse
(il computer, la televisione…)
Quale invenzione, non solo tra
quelle già elencate, ti affascina
maggiormente?
4
Il Teorema di Pitagora!
La scrittura posizionale dei numeri!
Il logaritmo! Keplero : ”il logaritmo ha allungato
la vita degli astronomi.”
Ti piacerebbe fare i conti usando i numeri
romani? Prova a calcolare in modo
ROMANO e POSIZIONALE a) XVIII+LVII
b) XIII•XVII
5
GRANDE
Pensa ad un’altra
grande
INVENZIONE
MATEMATICA
RI
VO
LU
ZIO
NA
RIA
6
Cogito
ergo sum!
y
u
•
O
.
•
P(x,y)
x
Sapresti calcolare
la distanza tra i
punti A(0,3) e
B(4,0)?
7
Nel ‘600 grazie a
Pierre de Fermat (1601-1665)
e
René Descartes (1596-1650)
nasce la
I punti sono collegati ai numeri, le linee alle
equazioni, l’algebra e la geometria si
fondono insieme.
Descartes :”È applicando l’algebra dei
moderni alla geometria degli antichi
che si sono trovati i fondamenti di
8
una scienza meravigliosa”
Le coordinate cartesiane non esistono
senza un opportuno riferimento cartesiano.
Sai cosa si intende per:
riferimento cartesiano del piano?
- Penso di sì
riferimento cartesiano dello spazio?
- Forse sì
riferimento cartesiano della retta?
- Ho dei dubbi
9
u
u
P
La retta cartesiana R
.
x
.
PR (x)P
z
.P
O
O
y
u
y
P
O
Il piano cartesiano R2
P R2 (x,y)P
x
x
Lo spazio cartesiano R3
P R3 (x,y,z)P
10
Consideriamo l’equazione x -1=0
1 Quanti e quali punti di R soddisfano
tale equazione? …
2
x
–1 0 1
2
2 Quanti e quali punti di R soddisfano
tale equazione? …
x= –1
–1
y
1
3 Quanti e quali punti di R3 soddisfano
z
tale equazione? …
x= 1
x
x=1
x= –1
x
y
11
Consideriamo l’equazione x +1=0
1 Quanti e quali punti di R soddisfano
tale equazione? …
2
2
2 Quanti e quali punti di R soddisfano
tale equazione? …
3
3 Quanti e quali punti di R soddisfano
tale equazione? …
12
Sapendo che l’equazione X3+1=0 ha come
unica soluzione reale x=-1,cosa descrive la
2
3
stessa equazione su R, su R e su R ?
R:
1) Ø
2) un punto
3) una retta
4) 3 rette
2
R:
1) Ø
2) un punto
3) una retta
4) 3 rette
3
R:
1) Ø
2) un piano
3) una retta
4) 3 rette
13
La stessa equazione può
rappresentare luoghi diversi a
seconda dell’insieme in cui
cerchiamo le soluzioni!
2
2
Ancora un’esempio: x +y =1 ...
0
... non ha senso su R
y
-1
z
... è una circonferenza su R
0 1
2
x
... è un cilindro su R
3
y
0
x
14
Da qui in avanti lavoriamo nel piano R
2
le soluzioni delle equazioni che trattiamo
saranno da ricercarsi nell’insieme delle
coppie di numeri reali (x,y)
VERO o
FALSO ?
32
A
2  1,42
C
15
a) 3N
prova a leggere
le seguenti
affermazioni:
b) -2N c) -2Z d) 2/3Z
e) 2/3Q f) 2  Q
g)
2 R
h) R
i) NZQR l) R-Q
m) NZ=Z
n) N  Z=N
16
Ritorniamo al piano
cartesiano R2 e

consideriamo l’equazione xy=0
Quale sottoinsieme di R essa rappresenta?
2
Ricorda: Legge di annullamento del prodotto 
a,bR
ab=0  a=0 oppure b=0
Ed allora ...
17
x,yR
2
 
 

/ xy  0  x, y  R 2 / x  0  x, y  R 2 / y  0
Ovvero l’unione degli assi x e y
Cosa rappresenta l’equazione: x2y2=0 ??????????????
b) due rette
c) l’origine
18
In R2
consideriamo le soluzioni del
sistema:
cioè l’insieme







(x, y)R 2 /








x  y  0

x  y  0
xy0
xy0








2
(x, y)R / x  y  0  (x, y)R 2 / x  y  0



= intersezioni delle due bisettrici= il punto O(0,0)
N.B: le coppie di
rette che passano
per O sono
infinite!
y
O
x
19
È vero che x2+y2=0
2
rappresenta O in R ?
1) Si: perché è una circonferenza di centro O e raggio 0
2) No:perché
x 2  y 2  0  x  y   0
2
rappresenta una retta
3) Si: perché la somma di due numeri positivi è zero 
sono entrambi nulli
4) Non lo so
20
Cosa rappresenta
2
2
x =0 in R ?
1) 2 rette coincidenti
2) O
3) L’insieme vuoto
4) 1 retta
21
Ogni equazione lineare in x e y, ovvero di primo
grado in x e y, RAPPRESENTA in R2 una retta
y
Es:
O
y-2x+1=0
(1/2,0) x
(0,-1)
Cosa rappresenta (x2+y2)(x-1)=0?
1
2 punti
3
3 rette
1 retta e 1 punto
2
4
Non lo so
22
Un’equazione di secondo grado in x e y
rappresenta in R2 uno dei seguenti
a) b) 1 punto c) 1 retta d) 2 rette e) 1 circonferenza
sottoinsiemi:
f) 1 ellisse
g) 1 parabola
h) 1 iperbole
Riconosci
l’iperbole,
l’ellisse e la
parabola?
Esempi:
a) x2+y2+1=0  
b) x2+y2=0  O (0,0)
c) x2=0  l’asse y contato 2 volte
2
2
2
2
1)
2x
+y
=1
d) x +y -1 =0  circonferenza
e) x2-y2 =0  2 rette
2) 2x2-y=1
3) 2x2- y2 =1
23
y
y=ax2
F
O
x
Mediante una
rotazione ed una
traslazione
l’equazione di
una parabola può
essere scritta
nella forma
Galileo (1564-1643) scopre
che: la traiettoria di una
pallina da golf è una
parabola! MA la scoperta è
la traiettoria
parabolica o
il golf ?
24
Fari d’automobile
F
Antenna
Parabolica
F
Il punto F è detto fuoco della
parabola
Attenzione nel
Biliardo Parabolico
fuoco può fare
veramente
caldo!
Bel tiro!
clack!
F
25
Mediante una
rotazione ed una
traslazione
l’equazione di una
ellisse può essere
scritta nella forma:
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
y
(b , 0)
(-a , 0)
F1
(-c , 0)
Keplero (1609): “Le orbite dei
pianeti del sistema solare sono
ellittiche ed il sole occupa uno
dei due fuochi”.
(I legge)
F2
(a , 0)
O (c , 0) x
(-b , 0)
N.b.:
b2+c2=a2
26
P
F1
P
Sono archi di ellisse
F2
La superficie di un liquido
P
in una caraffa cilindrica
Proprietà:
inclinata ha un contorno
PF1+PF2=COSTANTE ellittico
27
Mediante una
rotazione ed una
traslazione l’equazione
di un’iperbole può essere
scritta nella forma:
2
2
x y
 2 1
2
a b
Si disegnano
sempre
prima
gli asintoti (le 2
rette verdi), poi
l’iperbole.
L’equazione x 2
y2
 2 0
2
a
b
rappresenta i due
asintoti dell’ iperbole
28
xy  k
Iperbole equilatera (a  b)
riferita agli asintoti
N.B.:
Gli asintoti
coincidono
con
gli
assi x, y.
29
L’ombra
di un
paralume
può avere
un
contorno
iperbolico
F1
F1
F2
F2
30
I punti
Bicorno
Strofoide destra evidenziati
(di grado 4)
(di grado 3)
in rosso
sono detti
Curva di
punti
Cissoide
Lissajuos
singolari
(di grado 3)
(di grado 8)
Gli incroci
Trifoglio
si chiamano Curva ornamentale
(di grado 4)
nodi, le (di grado 18)
punte
Curva del
(cissoide e
diavolo
bicorno)
(di grado 4)
31
cuspidi
Finora abbiamo visto solo
curve algebriche cioè luoghi di punti del
piano che soddisfano un’equazione f(x,y)=0,
dove f(x,y) è un polinomio in x e y.
Ora cambiamo un po’!
32
Se f(x,y)= y-senx allora
la curva y-senx=0 ha
come grafico :
y=sinx
ANALOGAMENTE:
Se f(x,y)= y-cosx allora
la curva y-cosx=0 ha
come grafico :
y=cosx
33
a) sen(3.14)>sen()
b) cos(1)>cos(/3)
y=sen7x+cos8x
34
Combinando un
numero opportuno di
seni e coseni è
possibile ricostruire,
con buona
approssimazione, il
grafico di una
qualsiasi onda!
(Sviluppo di Fourier)
Per questo motivo i computer possono
suonare la musica e leggere le parole!
35
y
1 2
sin3x 
f(x)   sinx 
2 
3 
f(x) 
1
-2
-
0

2
3
4
x
1 2
sin3x
sin7x 
 sinx 
 ... 
2 
3
7 
f(x) 
1 2
sin3x
sin7x sin9x
sin31x 
 sinx 
 ... 

 ... 
2 
3
7
9
31 
36
4
x
y=e
55
2
0.5
e metri  un miliardo di anni luce
34
16
e metri  un anno luce  10 metri
14
3
e mm  1Km = 10 metri
e7 mm  1Km=100metri
e-1 mm  0.036 mm
3
-2
e mm  2 cm
e metri  0.013 mm
2
-3
e mm  7 mm
e metri  0.04 mm
e1 mm  2.7 mm
e-7 metri  0.001mm
0
e mm  1 mm
37
-0.5
x
Ribaltando y=e rispetto alla retta
y=x otteniamo:
y=log x
Il logaritmo misura delle aree particolari:
y
1
x
lg x =+A
A
lg 1 = 0
1 x
1
y
x
lg x = -A
A
x 1
38
La magnitudo m dei terremoti si misura con la
scala Richter, mediante la seguente formula:
a
m  Log( )  B
b
Il pH, che misura l’acidità delle soluzioni, è
una scala logaritmica:
1
ecc.
pH  Log[
]
ecc.
H 3O 
ecc.
ecc.
Che curva è il profilo della coda del pianoforte?
39
Nel piano non esiste solo il riferimento
cartesiano ortogonale.
Ad esempio un altro riferimento è quello polare:
un punto P nel piano risulta essere individuato
da un raggio detto  e da un angolo  il tutto
rispetto ad una retta fissata e ad una origine O
individuata su di essa.
P(, )

O

40
Nel sistema di riferimento polare:
 = costante è l’equazione di una circonferenza
 = k  è una spirale di Archimede, con k costante
 = ek  è una spirale logaritmica o di Bernoulli,
con k costante
41
 =4, 02
 =5, 02
 = e 0,2 , - 3 3
42
43