LE FUNZIONI ECONOMICHE
Slide rielaborate dagli allievi con esercizi ed esempi tratti dal testo: M. Venè, F. Betti Matematica per istituti ad in
Prof. Palmira Ronchi ( [email protected])
Che cos’è l’Economia?
L’economia è una scienza che studia in modo con cui i soggetti econo
Le decisioni dei soggetti economici devono essere razionali, quindi s
• minimizzare i costi;
• massimizzare i ricavi.
Cos’è una funzione economica?
Le funzioni economiche sono delle funzioni che ra
Il modello matematico
Il modello matematico è un modello che rappresenta la realtà attraver
Il problema del fruttivendolo.
Al giorno d’oggi il nostro mercato è caratterizzato da una competitività sempre più a
Per raggiungere questo obiettivo è importante analizzare le funzioni economiche, c
Tutti coloro che svolgono un’attività commerciale devono essere capaci di effettuar
Facciamo un semplice esempio.
Il fruttivendolo ha acquistato al mercato 30 Kg di pomodori, pagandoli € 1,03 al chilo. Il suo problema consiste
In un primo momento, il fruttivendolo decide di venderli a € 1,14 al chilo. Per essere sicuro della sua scelta dev
In questo caso, il fruttivendolo subirebbe una perdita perché il prezzo di vendita è minore del costo unitario.
Ma se li vende a € 1,55, è sicuro che i clienti sia disposti a pagare tale cifra?
Volendo sintetizzare il tutto, il fruttivendolo deve prevedere il comportamento della domanda e determinare se,
La funzione di domanda
La domanda di una merce è la quantità che viene richiesta ad un dato prezzo da
La funzione di domanda è decrescente rispetto al prezzo, ciò significa che all’au
INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che il singolo è disposto a chieder
GLOBALE: indica la quantità di merce che il complesso degli acquirenti in un
In matematica la domanda è rappresentata dalla seguente funzione:
x = f(p) x = quantità di merce richiesta p = prezzo Tale funzione è definita anche
Le più comuni funzioni di domanda sono rappresentate da:
a) un segmento di retta:
b) un arco di iperbole equilatera:
c) un arco di curva esponenziale:
d) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0:
e) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0:
c)
b)
a)
d)
e)
La funzione d’offerta
Si definisce offerta di una merce la quantità totale immessa sul mercato dalla t
INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che un individuo è disposto a ven
COLLETTIVA: indica la somma di tutte le offerte individuali. In matematica
x=g(p) Le curve dell’offerta più utilizzate dag
a) con a>=0, b>0;
b) con a>0, b>=0 (irrazionale);
c) con, b>0 ;
Il punto di equilibrio tra domanda e offerta
Il mercato è in equilibrio quando la quantità domandata e quella offerta si equivalgon
Ciò avviene in un mercato di concorrenza perfetta nel quale i prodotti sono omogene
Punto di equilibrio domanda offerta
Per poter capire meglio quanto detto prendiamo in considerazione un semplice esempio:
xd= (36000-p2)/4 e xs= -265+12p
te funzioni determiniamo il punto di equilibrio.
nché esista il punto d’equilibrio è necessario che xd = xs
zioni a sistema e rispettando questa uguaglianza avremo che
quindi a tale prezzo la quantità domandata sarà:
75 che sarà uguale a quella offerta: xs = -265+(12*170) = 1775
Punto di Equilibrio(170; 1775)
320.51 480.77 641.03 801.28 961.54 1121.8
L’elasticità
In generale definiamo elasticità di una funzione in un suo punto (elasticità pun
l’elasticità di una funzione può essere intesa come il limite (se esiste) del rapp
Coefficiente di elasticità
Per osservare come la domanda (o l’offerta) varia al variare del prezzo si calcola il
Se indichiamo con P1 , P2 due prezzi di uno stesso bene e con x1, x2 le corrisponden
x2 -x1
p2-p1
x1
p1
Il coefficiente di elasticità risulta:
sd
in generale in un punto è:
x2 -x1
x1
p x2 ~ x1
1
=-----------=---------------p2~p 1 x 1 p 2~p 1
*d= p'^
Questa elasticità è l'elasticità d'arco.
Se la variazione fra i prezzi p-t e P'j è notevole o non si conosce la legge della domanda,
considerato l'arco di estremi I Py Xy I e I p2 X2 ) = s^ assume come valore del rapporto
il
X
valore assunto nel punto medio della corda, che ha coordinate
,
V2
;
2)
perciò Yelasticità dell'arco è espressa dalla relazione:
Pl+P2
_ 2 À* _Pi + p2 Ax %i +x2 A/? Xj + x2 Ap
2
Se la funzione della domanda è continua e derivabile, con un passaggio al limite del rapporto incrementale per r
, si definisce elasticit
_ p dx
x cip x = f(p)
Essendo
^ *^ ^ funzione decrescente, sia l'elasticità dell'arco sia l'elasticità puntuale sono
negative. Nelle applicazioni economiche si suole prendere£^ in valore assoluto. Distinguiamo i seguenti tre casi possibili.
Se
~'d ■^ A , la domanda si dice rigida,o non elastica; si presenta questo caso quando la
variazione relativa della domanda è minore della variazione relativa del prezzo (si tratta di beni di prima necessità come pane, medicinali ecc.,
Se
A, la domanda si dice anelastica, o a spesa costante; questo avviene quando la
variazione relativa della domanda è eguale alla variazione relativa del prezzo.
Se Sd
■^ A, la domanda si dice elastica; questo caso si verifica quando la variazione relativa
della domanda è superiore alla variazione relativa del prezzo (ad esempio, spese voluttuarie). Il coefficiente di elasticità varia da punto a punto
Elasticità puntuale e d’arco: esempi
Esempio: data la seguente funzione di domanda, xs=1000-100p-10p2
calcolare la sua elasticità nel punto p=5:
l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in un suo punto sarà:
Ed=(dq/dp)*(p/q) Quindi:
Ed=(-100-20p)*(p/1000-100p-10p2)
Infine sostituendo p=5 e considerando il valore assoluto avremo che l’elasticità della funzione sarà uguale a 4. Questo rapp
Costi di produzione
Il costo totale è uguale alla somma dei vari costi , ed è funzione della
quantità x di merce prodotta.
Il costo totale è espresso dalla funzione
y=C(x) con x > = 0 Per l’analisi dei costi di produzione si
Il costo medio è dato dal rapporto tra il costo totale per produrre la quantità x e la qua
Il costo marginale può essere definito nel campo discreto e nel campo continuo.
Si definisce costo marginale nel campo discreto il costo sostenuto per ottenere un’uni
Si definisce costo marginale nel campo continuo la derivata della funzione del costo t
Rappresentazione grafica della funzione del
y=200+0.50*x
Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004
dx=h=2,34 cm
Py=f(x)= 200,20 cm Qx=x+h= 2,74 cm Qy=f(x+h)= 201,37 cm
Qy(0,00; 201,37)
Py(0,00; 200,20)
50
1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------I
2
Px(0,39;0,00) Qx(4,35; 0,00)
|---------------------1-
i---------->
Rappresentazione grafica della funzione
y=(10000+200*x+0.25*x^2)/x
Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004
°dx=h=0,66 cm
x = 13/47
Py=f(x)= 14644,62
Qy=f(x+h)= 7606,63 Qx=x+h=1,35
Py(0,00; 4644,62)
1,85 cm cm
0,66
Qy(0,00; 7606,63)
5000
i0.5 i.
-t-------------1-------------1-------------1-------------1-
-i-------------1--------------1-
-i-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-
Px(0,69;0,00)
Qx(1,08; 0,00)
^C?1
Ricavo totale e utile netto
Si definisce ricavo totale il prodotto della quantità venduta per
il prezzo di vendita,ed è espresso dalla funzione R(x)=x . p(x).
Nel caso di concorrenza perfetta p è costante.
Il ricavo medio è uguale al rapporto fra il ricavo totale e la
quantità venduta, e il ricavo marginale, se la funzione R(x) è
derivabile, è dato dal rapporto tra la derivata del ricavo totale e
la quantità prodotta.
Si definisce utile netto la differenza tra il ricavo totale e il
costo totale: U(x)=R(x)-C(x)
Calcolo del punto d’equilibrio tra costi e ricavi Break even point
QUANTITA'
0
10000
23000
36000
49000
62000
75000
88000
101000
114000
127000
140000
153000
166000
179000
192000
205000
218000
231000
244000
257000
270000
283000
296000
309000
322000
RT=p*q
0
1480000
3404000
5328000
7252000
9176000
11100000
13024000
14948000
16872000
18796000
20720000
22644000
24568000
26492000
28416000
30340000
32264000
34188000
36112000
38036000
39960000
41884000
43808000
45732000
47656000
CT=CF+CV*q
COSTI FISSI
RE=RT-CT
2748600
2748600
-2748600
4048600
2748600
-2568600
5738600
2748600
-2334600
7428600
2748600
-2100600
9118600
2748600
-1866600
10808600
2748600
-1632600
12498600
2748600
-1398600
14188600
2748600
-1164600
15878600
2748600
-930600
17568600
2748600
-696600
19258600
2748600
-462600
20948600
2748600
-228600
22638600
2748600
5400
24328600
2748600
239400
26018600
2748600
473400
27708600
2748600
707400
29398600
2748600
941400
31088600
2748600
1175400
32778600
2748600
1409400
34468600
2748600
1643400
36158600
2748600
1877400
37848600
2748600
2111400
39538600
2748600
2345400
41228600
2748600
2579400
42918600
2748600
2813400
44608600
2748600
3047400
LEGENDA
P=148 €
CV= 130€
CF= 2748600
Rappresentazione del punto d’equilibrio tra costi e ricavi
70000000 60000000 50000000 40000000 30000000 20000000 10000000 0
RT=p*q CT=CF+CV*q COSTI FIS
QUANTITA'