Integrazioni al corso di Economia Politica (anno accademico 2013-2014)¤ Marianna Belloc 1 L’elasticità Come è già noto, la funzione di domanda di mercato indica la quantità che il mercato è disposto ad aquistare espressa in funzione del prezzo. Cioè: = () Elasticità puntuale De…nizione: L’elasticità della domanda rispetto al prezzo corrisponde al valore assoluto del rapporto fra la variazione percentuale della quantità domandata e la variazione percentuale del prezzo: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ %¢ () ¯ ¯ () ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ = ¢ %¢ ¯ ¯ () ¯ (1) Il prodotto () ¢ () è in genere negativo. Infatti, nei casi normali, ad aumenti del prezzo corrispondono riduzioni della quantità domandata, dunque il segno del rapporto () è negativo, mentre il rapporto () è sempre positivo per de…nizione (quantità e prezzo non possono essere negativi). Per convenzione però l’elasticità della domanda viene sempre presa in valore assoluto (cioè senza il segno). La formula (1), calcolata punto per punto, ci dà l’elasticità della domanda puntuale, cioè l’elasticità della domana punto per punto. Essa indica la reazione della quantità domandata a una variazione del prezzo, nello spostamento da un punto a un altro lungo la curva di domanda. In particolare, a seconda del valore assunto dall’elasticità, la domanda viene de…nita anelastica, unitaria o elastica, come mostrato nella tabella sotto: ¤ Nota Bene: Simboli e nomi delle variabili in queste dispense potrebbero essere diversi da quelli utilizzati in classe e dal libro. I signi…cati sono ovviamente gli stessi. 1 Domanda Elasticità Variazioni % anelastica 1 %¢ %¢ ad elasticità unitaria = 1 %¢ = %¢ elastica 1 %¢ %¢ Se la domanda è anelastica, a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda meno che proporzionali; se è unitaria, a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda esattamente proporzionali; se è elastica a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda più che proporzionali. Nota bene: Anche quando la funzione di domanda ha pendenza costante (cioè è lineare), l’elasticità della domanda varia punto per punto. Infatti il valore di è dato da un rapporto di due termini () e (). Se la funzione di domanda è lineare il primo termine, () (che rappresenta la pendenza della funzione), è costante, il secondo termine invece, (), varia punto per punto. Consideriamo per esempio la seguente funzione di domanda lineare: () = 8 ¡ L’elasticità puntuale è data da: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ %¢ () ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ = ¯¡1 ¢ = ¯ ¯ %¢ () () Essendo ¢ () ¢ sempre uguale a ¡1, il valore assunto dall’elasticità della domanda punto per punto è dato dal valore assoluto del rapporto (). Illustriamo gra…camente questo caso. Per convenzione, la funzione di domanda viene rappresentata con il prezzo sull’asse delle ordinate e la quantità domandata sull’asse delle ascisse. Introduciamo quindi la funzione di domanda inversa. La funzione di domanda inversa è data dalla funzione di domanda risolta rispetto al prezzo (il prezzo è quindi espresso come funzione della quantità domandata) e ci dice qual’è il prezzo che si deve …ssare sul mercato perchè venga venduta una certa quantità del bene considerato. Nel nostro caso abbiamo quindi: = 8¡ 2 che è rappresentata in Figura 1. Consideriamo ora tre possibili valori del prezzo: = 6, = 4 e = 2. Come si osserva per = 6 viene venduta una quantità pari a 2, per = 4 viene venduta una quantità pari a 4, e per = 2 viene venduta una quantità pari a 6. Possiamo quindi ora calcolare facilmente l’elasticità della domanda nei tre punti considerati (6 2), (4 4), e (2 6). Abbiamo: Punto ( = 6 = 2) ( = 4 = 4) ( = 2 = 6) Elasticità 6 = 1 ¢ = 3 1 2 = 1 2 = 1 ¢ = 13 1 6 Variazioni % Domanda %¢ %¢ Elastica %¢ = %¢ Elasticità unitaria %¢ %¢ Inelastica Osservando la …gura possiamo quindi a¤ermare che nel punto la funzione di domanda è elastica, nel punto è unitaria, e nel punto è anelastica. p Elastica D 8 Ad elasticità unitaria p/Q=6/2>1 6 A Inelastica 4 B p/Q=4/4=1 p/Q=2/6<1 2 O C 2 4 6 E 8 Q Figura 1 Poichè l’elasticità è 1 per tutti i prezzi 4, e 1 per tutti i prezzi 4, si ottiene che la domanda è elastica nell’intervallo e anelastica nell’intervallo . 3 Elasticità media nell’intervallo A volte tuttavia siamo interessati a conoscere l’elasticità media in un certo intervallo. In questi casi si adotta la convenzione che il valore base della variazione percentuale di una variabile è sempre il valore intermedio fra quello iniziale e quello …nale. Quindi l’elasticità media della domanda nell’intervallo di prezzo 2 1 è data da: ¯ ¯ ¯ 2 ¡ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ (1 + 2 ) 2 ¯ ¯ = ¯¯ ¡ ¯ 2 1 ¯ ¯ ¯ (1 + 2 ) 2 ¯ (2) Casi particolari: Il caso di domanda perfettamente anelastica è il caso in cui variazioni del prezzo non provocano alcuna variazione nella quantità domandata. Questi sono i casi in cui i consumatori desiderano un certo bene solo in una data quantità. In genere questo caso si veri…ca per beni necessari per alcune categorie di individui e che non hanno sostituti (per esempio l’insulina). Il caso di domanda perfettamente (o in…nitamente) elastica è il caso in cui variazioni anche piccolissime del prezzo provocano una variazione enorme nella quantità domandata. Questi sono i casi in cui il bene domandato ha molti sostituti perfetti (per esempio se ci fossero molte marche di sale, poichè il sale è un prodotto omogeneo, ad un aumento piccolissimo del prezzo del sale di una certa marca, tutti i consumatori passerebbero ad un’altra marca). Figura 2 4 Elasticità e spesa totale La spesa totale è data da: Spesa = ¢ () Essa viene rappresentata gra…camente dall’area del rettangolo che ha per altezza il prezzo e per base la quantità domandata corrispondente a quel prezzo, come si vede in Figura 3. p p0 Spesa 0 Q0 Q Figura 3 Esiste una corrispondenza precisa fra elasticità della domanda ed elasticità della spesa. Quando la domada è anelastica rispetto al prezzo, la spesa totale si muove nella stessa direzione del prezzo; quando la domanda è elastica, la spesa totale si muove nella direzione opposta al prezzo; in…ne, se la domanda presenta un’elasticità unitaria, la spesa totale non varia alle variazioni del prezzo. L’elasticità della spesa è data da: = %¢ [ () ¢ ] [ ¢ ()] = %¢ ¢ () 5 che può essere espressa come: %¢ [ () ¢ ] [ ¢ ()] = = %¢ ¢ () · ¸ () = () ¢ +¢ = £ () · ¸ () () = ¢ + ¢ = () () · ¸ () = 1+ ¢ = 1 ¡ () = Quindi per 1, 0, per 1, 0, e per = 1, = 0. Da cui: Se la domanda è E¤etti di aumento di p E¤etti di diminizione di p anelastica (%¢ %¢) incrementa la spesa unitaria (%¢ = %¢) elastica (%¢ %¢) riduce la spesa non causa variazioni non causa variazioni nella spesa nella spesa riduce la spesa incrementa la spesa Esempio 1. Data la funzione di domanda di un bene: () = 5000 ¡ 10 1. calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da 1 = 150 a 2 = 200 2. esporre gra…camente il risultato Soluzione 1: L’elasticità della domanda calcolata secondo il metodo usuale è (utilizzando il rapporto incrementale): ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ () ¯ ¯¯ ¯¯ 5000 ¡ 10 £ 200 ¡ 5000 + 10 £ 150 150 ¯ ¯ = ¯ ¢ =¯ ¢ ¯ () 50 5000 ¡ 10 £ 150 ¯ ¯ ¯ ¯ 10 £ 50 150 ¯ 1500 ¯ ¯= = ¯¡ ¢ = 043 50 3500 ¯ 3500 6 Oppure (utilizzando la derivata prima): ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ () ¯ ¯¯ ¯¯ (5000 ¡ 10) ¯¯ ¯¯ ¯ ¯= = ¯ ¢ =¯ ¢ = ¯¡10 ¢ ¯ ¯ () () 5000 ¡ 10 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1500 150 ¯ ¯= = ¯¡10 ¢ = 043 5000 ¡ 1500 ¯ 3500 Come si veri…ca facilmente l’elasticità della domanda calcolata secondo questo metodo cambia punto per punto in un certo intervallo. L’elasticità della domanda media nell’intervallo di variazione del prezzo è invece: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¡ 2 ¯ ¯ 3000 ¡ 3500 ¯ ¯ ¡500 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1 + 2 ) 2 ¯ ¯ (3500 + 3000) 2 ¯ ¯ 65002 ¯ 0154 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¡ ¯=¯ ¯ = ¯ 50 ¯ = 0286 = 0538 200 ¡ 150 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1 + 2 ) 2 ¯ ¯ (150 + 200) 2 ¯ ¯ (350) 2 ¯ Scriviamo quindi la funzione di domanda inversa: = 500 ¡ 1 10 e rappresentiamola su un gra…co come mostrato sotto: p 500 200 175 150 0 3000 3500 5000 Q 3250 Figura 4 La domanda è anelastica dunque al variare del prezzo corrisponde una variazione meno che proporzionale della quantità. Se viene richiesta l’elasticità media della domanda in un intervallo, la formula (2) è quella corretta perchè ci consente di de…nire l’elasticità della domanda in 7 quell’intervallo di prezzo senza che il risultato dipenda dal punto esatto che viene considerato all”interno dell’intervallo stesso. Nel caso in cui venga richiesta l’elasticità puntuale deve essere invece usata la (1). Esempio 2: Se la funzione di domanda di un bene è data da: () = 80 ¡ 4 e il prezzo del bene è = 6 E’ conveniente per i produttori aumentare il prezzo? Soluzione 2: Per il produttore è conveniente aumentare il prezzo quando la domanda del bene è anelastica, cioè a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda meno che proporzionali perchè, in tal caso, la spesa dei consumatori (e i ricavi dei produttori) aumentano. Calcoliamo l’elasticità della domanda (nel punto = 6): ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ () ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ 6 ¯¯ ¯¯ 24 ¯¯ ¯¯ 3 ¯¯ ¯ = ¯ ¢ = ¡4 ¢ = ¡4 ¢ = ¡ = ¡ = 0428 1 () ¯ ¯ 80 ¡ 4 ¯ ¯ 80 ¡ 24 ¯ ¯ 56 ¯ ¯ 7 ¯ La domanda nel nostro caso è anelastica. Se ne deduce che ad aumenti del prezzo corrispondono aumenti della spesa totale ( = () £ ) è dunque conveniente per il produttore aumentare il prezzo. Per dar una rappresentazione gra…ca della soluzione, scriviamo la funzione di domanda inversa: 1 = 20 ¡ 4 La rappresentazione della funzione è mostrata in Figura 5. Si osserva che per il prezzo = 6 la quantità domandata è = 56 e la spesa totale corrisponde al rettangolo (= 336). Se il prezzo viene aumentato (ad esempio) a = 10, la quantità domandata è = 40 e la spesa totale risulterà corrispondente al rettangolo (= 400) che ha area maggiore di . 8 p 20 15 6 10 F E C B 5 0 D 40 20 A 60 80 Q 56 Figura 5 Esempio 3: Data la seguente funzione di domanda inversa: = 12 ¡ 03 £ stabilire per quali valori di la domanda è elastica e per quali valori è anelastica. Soluzione 3: La funzione di domanda è: () = 12 ¡ = 40 ¡ 03 03 03 da cui si ottiene l’elasticità della domanda: ¯ ¯ ¯ ¯ () ¯ ¯ 1 ¯ = ¯¡ = ¯¯ ¢ £ () ¯ ¯ 03 40 ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ £ 03 ¯ ¯ ¯ = ¯¡ ¯ £ ¯ = ¯¡ ¯ ¯ 03 12 ¡ 12 ¡ ¯ 03 La domanda è elastica quando a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda più che proporzionali, cioè quando 1 Viceversa la domanda è anelastica quando a variazioni del prezzo corrispondono variazioni della domanda meno che proporzionali, cioè quando 1 9 Abbiamo quindi: 1 ! per 6 ! Domanda elastica 12 ¡ 1 ! per 6 ! Domanda anelastica 12 ¡ = 1 ! per = 6 ! Domanda ad elasticità unitaria 12 ¡ Nota bene che la condizione 12 ¡ 0 è sempre soddisfatta (in quanto per valori del prezzo superiori a 12 la funzione di domanda individua quantità negative che non vengono considerate). p Ad elasticità unitaria Elastica 12 Inelastica 6 O 30 40 Figura 6 2 I costi Si consideri un’impresa la cui funzione di costo totale di breve periodo sia: () = 4 3 ¡ 20 2 + 50 + 455 dove q indica la quantità di output. Ricavare: 1. Il costo …sso; 2. Il costo variabile; 10 Q 3. Il costo marginale; 4. Il costo totale medio; 5. Il costo medio variabile; 6. il costo medio …sso. Soluzione: I costi …ssi sono semplicemente dati dalla componente di costo che non dipende dalla quantità. Essi rappresentano la spesa sostenuta dall’impresa per dotarsi di impianti per iniziare un’attività e vengono a¤rontati anche se l’impresa non produce nulla. Nel nostro caso: = 455 I costi variabile sono invece dati dalla componente di costo che dipende dalla quantità. Essi rappresentano la componente di costi che vengono sostenuto dall’impresa per portare avanti la produzione. Nel nostro caso: () = 4 3 ¡ 20 2 + 50 Il costo marginale è dato dalla derivata prima (rispetto alla quantità) della funzione del costo totale. Essi rappresentano il costi sostenuto dall’impresa per la produzione di una unità in più di prodotto. Nel nostro caso: = () = 12 2 ¡ 40 + 50 Il costo medio totale è dato dal costo totale diviso la quantità e rappresenta il costo (totale) sostenuto in media per una data quantità di prodotto: = () 4 3 ¡ 20 2 + 50 + 455 = Il costo medio variabile è dato dal costo variabile diviso la quantità e rappresenta il costo variabile sostenuto in media per una data quantità di prodotto: = () 4 3 ¡ 20 2 + 50 = Il costo medio …sso è dato dal costo …sso diviso la quantità e rappresenta il costo …sso sostenuto in media per una data quantità di prodotto: = () 455 = 11 Rappresentazione delle curve dei costi In Figura 6 riportiamo le curve dei costi totali, costi variabili totali e costi …ssi totali. Costo TC TVC TFC TFC O Unità di prodotto Figura 7 Nella Figura 8 descriviamo come si ottiene la curva dei costi marginali a partire da quella dei costi variabili). Il costo marginale è dato dalla pendenza punto per punto della curva dei costi totali (uguale alla pendenza della tangente punto per punto alla curva dei costi totali. E’ irrilevante se consideriamo i costi totali inclusivi dei costi …ssi o i costi totali variabili, perchè queste due curve sono parallele). Il costo marginale corrisponde dunque, punto per punto, alla misura dell’angolo . 12 C VC q MC MC q1 q2 q3 q4 q Figura 8 In Figura 9 descriviamo come si ottiene la curva dei costi medi variabili a partire dalla curva dei costi totali. Essa si trova calcolando la pendenza di ciascuna retta che unisce ciascun punto della curva dei costi variabili e l’origine degli assi. Il costo medio variabile dunque corrisponde punto per punto alla misura dell’angolo . (Il costo medio totale si ottiene in maniera analoga a partire dalla curva del costo totale. Oppure semplicemente sommando, unità per unità, al costo medio variabile una quota pari al costo …sso diviso il numero di unità prodotte). 13 C VC q AVC AVC q1 q2 q3 q4 q5 q Figura 9 In…ne in Figura 10 riportiamo insieme le curve di costi marginali, costi medi totali, costi medi variabili e dei costi medi …ssi. 14 MC Costo AFC ATC AVC AFC O q Figura 10 Relazione fra costi marginali e costi medi Il costo marginale e il costo medio variabile partono pressocchè dallo stesso punto perchè per una piccola unità prodotta, il costo sopportato dall’impresa ha sia natura di costo medio variabile che di costo marginale. Successivamente le due curve decrescono, ma la curva dei costi medi variabili decresce meno lentamente di quella dei costi marginali. Questo dipende dal fatto che i costi medi variabili sono una media fra il costo dell’ultima unità (che è minore dei precedenti proprio perchè il costo marginale sta decrescendo) e quello delle precedenti unità. Il costo marginale ad un certo punto inizia a crescere, ma …nchè esso è inferiore al costo medio variabile, quest’ultimo continua a decrescere in quanto esso è la media fra il il costo medio delle precedenti unità e il costo dell’ultima unità che è maggiore di quello delle precedenti ma ancora minore del costo medio. Quando il costo marginale è uguale al costo medio variabile, quest’ultimo è costante (perchè dà alla media un contributo uguale alla media stessa mantenendola costante). In…ne, quando il costo marginale sale sopra il costo medio variabile, quest’ultimo inizia ad aumentare perchè il costo di una nuova unità (costo marginale) è superiore al costo medio delle precedenti. Il costo marginale si troverà però al di sopra del costo medio (cioè aumenta a ritmo maggiore) in quanto il costo medio variabile sconta sempre l’apporto della media del costo delle unità 15 precedenti che è ora sempre minore di quello dell’ultima unità. Consideriamo il seguente esempio. Supponiamo che un’impresa la cui una tecnologia determina le seguenti funzioni di costo marginale e medio variabile: MC Costo AVC 1 0.90 0.80 0.83 0.75 0.70 0.73 0.50 O 20 30 40 50 55 60 q Figura 9 Supponendo che la produzione aumenti di 10 unità alla volta otteniamo la seguente tabella dei costi. = ¢ ¢ = 10 10 ¡ 1010 = 1 20 18 (18 ¡ 10) (20 ¡ 10) = 080 1820 = 090 30 25 (25 ¡ 18) (30 ¡ 20) = 070 2530 = 083 40 30 (30 ¡ 25) (40 ¡ 30) = 050 3040 = 075 50 36 (36 ¡ 30) (50 ¡ 40) = 060 3650 = 072 55 39 (39 ¡ 36) (50 ¡ 40) = 070 3950 ' 070 60 44 (44 ¡ 36) (60 ¡ 50) = 080 4460 = 073 16
Scarica
