Emma Frigerio
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milano
nel CDO dal 1986
[email protected]
Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici
valenze educative dell’origami…
 sviluppo di varie abilità
 abitudine alla concentrazione e alla pazienza
 cooperazione e lavoro individuale
 recupero di alcuni handicap
...e la sua potenzialità per fare matematica
 le pieghe più comuni sono assi e bisettrici
 l’approccio multisensoriale favorisce l’interiorizzazione e
la memoria a lungo termine
Idee- base
 Foglio = Piano
 Piega = Retta
 Ogni piega realizza una simmetria
 Se con una o più pieghe due “cose” si sovrappongono
esattamente, queste due “cose” sono uguali
Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
Un rombo, con le sue diagonali.
Scuola primaria
Usiamo il rombo per
piegare un modello
Pappagallo
modello di Emma Frigerio
Scuola secondaria di primo grado
Osservazioni sulle diagonali:
 sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà;
 sono anche bisettrici.
Scuola secondaria di secondo grado
Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato?
Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra
loro e si tagliano scambievolmente a metà, allora
 i lati di Q sono congruenti e a due a due
paralleli, dunque Q è un rombo;
 le diagonali bisecano gli angoli.
NON abbiamo dimostrato che in un rombo le
diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.
Un nuovo teorema (Justin)
Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo
da ottenere una figura piatta.
Allora i tre vertici risultano allineati.
Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893
Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e
Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), …
anni ’80
Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893
Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara),
anni ’30
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e
Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), …
anni ’80
Un po’ di storia 2
Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di
costruzione impossibili con riga e compasso:
 Duplicazione del cubo;
 Trisezione di un angolo.
La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l’origami,
dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico
sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella
delle costruzioni possibili con riga e compasso.
Origami, matematica e tecnologia
 Matematica dell’origami
 Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere
matematicamente problemi di origami)
Lang, E. Demaine (USA)
 Tecnologia dell’origami (applicazione dell’origami alla
soluzione di problemi che nascono nell’ingegneria, nel
design, e nella tecnologia in generale).
Esempi 1
Map folding (K. Miura)
Prototipo di “Eyeglass”
Lawrence Livermore National
Laboratory, Livermore, California
R. Lang
Esempi 2
Stent origami (prototipo)
Trasporto di medicinali
Protein Folding
Piegatura di airbags
Nella lezione di matematica 1
 Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure
piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, …
 Geometria solida: poliedri
Ma anche…
Nella lezione di matematica 2







Problem solving
Problemi di colorazione
Calcolo combinatorio
Trigonometria
Coniche
Limiti
Frattali
Spugna di Menger (J. Mosley)
Modello di van Hiele 1
Pierre e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni ’50)
distinguono 5 livelli nell’apprendimento della geometria
1. Visualizzazione (figure come un tutto)
2. Analisi (identificazione e analisi di alcune caratteristiche
geometriche)
3. Astrazione (comprensione di relazioni e differenze tra
poligoni; classificazione insiemistiche di poligoni in famiglie
e loro relazione; per esempio: quadrati, rettangoli, rombi)
4. Deduzione (sviluppo di successioni di affermazioni
concatenate logicamente)
5. Rigore (comprensione e confronto di sistemi assiomatici)
Modello di van Hiele 2
La definizione di un concetto è possibile solo quando si conosce
già, in qualche misura, la cosa che si vuole definire.
La mia esperienza di professore di geometria mi ha convinto che
troppo spesso gli studenti non raggiungono il livello di astrazione
informale. Di conseguenza, falliscono nello studio della
geometria euclidea, fondata sulla deduzione formale.
(Pierre van Hiele)
L’origami può utilmente accompagnare i 5 livelli e facilitare la
transizione da un livello al successivo.
Miri Golan e l’Origametria
In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 –
12 anni), tenute da persone appositamente formate, con un
progetto creato da Miri Golan.
Da qualche anno ha creato il programma
Kindergarten Origametria, che è
stato approvato dal Ministero Israeliano
per l’Educazione.
Thomas Hull
Corsi nelle università degli Stati
Uniti e un libro, dal titolo
Project Origami
in cui presenta dettagliatamente
molte e varie attività matematiche
adatte a studenti delle superiori.
Emma Frigerio…
Dal 2000 laboratori di Matematica con l’origami per
 corso di Laurea in Scienze della
Formazione Primaria di Milano-Bicocca
 SSIS di Milano (scuola media)
per un totale di più di 450 persone.
In essi
 come si piega
 come si decodificano le istruzioni dei libri
 come si insegna
 come si può fare matematica
…con Sonia Spreafico
Dal 2010 laboratori alla Scuola Primaria
“Chicca Gallazzi” di Busto Arsizio (Varese)
Il progetto, ispirato al metodo di Miri Golan, si è concluso
nell’anno scolastico scorso e ha seguito due classi parallele
prevededalla prima alla quinta con 3 – 4 incontri all’anno.
A breve libretto con i laboratori tenuti.
Il programma
Primo biennio
 Riconoscimento forme geometriche (triangolo, quadrato,
rettangolo, rombo, esagono)
 Assi di simmetria (quadrato, rettangolo, rombo, esagono)
Secondo biennio
 Rette (posizione reciproca), angoli (retti, acuti, ottusi, …),
equiestensione e aree, frazioni
 Triangoli (classificazione), misure di angoli, aree.
Quinta
 aree (scelta dell’unità di misura più idonea e calcolo), volumi,
triangoli, …
 Problem solving con lavori individuali e di gruppo
Il progetto
CHI: Emma Frigerio e Maria Luisa Sonia Spreafico
QUANDO: dal 2010/11 al 2014/15
DOVE: Scuola Primaria “Chicca Gallazzi”
Busto Arsizio (VA)
COME: 4 o 5 laboratori all’anno per accompagnare il
programma di matematica svolto in classe
dall’insegnante.
PERCHE’?
Aspetti educativi
• Abilità manuale
(importanza di un lavoro
accurato)
• Concentrazione
(nell’esecuzione e nel
seguire le istruzioni)
• Autostima
(nel tempo la precisione
migliora)
• Memoria
(ripetizione di pieghe)
Aspetti didattici
• Visualizzazione oggetti
matematici
(e loro posizione nel piano e
nello spazio)
• Approccio ludico-manuale
(importante per chi ha
difficoltà in matematica)
• Utilizzo costruttivo degli
interventi
Le regole per gli allievi…
 Si ascolta la spiegazione e si aspetta prima di piegare
 Dopo ogni piega si appoggia il modello sul banco
 Si alza la mano per intervenire
… e per gli insegnanti
 Non ci si sostituisce al bambino nel piegare
 Ci si accerta che tutti abbiano eseguito le istruzioni prima di
proseguire
 Non si riprende il bambino per la mancanza di precisione
La lezione-tipo
 Non si svela prima che cosa si piegherà (sorpresa!)
 Si inizia trovando, insieme ai bambini, la forma
geometrica coinvolta nel mondo che li circonda.
 Lezione dialogata, cercando di coinvolgere tutti
• Quanti triangoli ci sono?
• Vedete rettangoli di forme diverse?
• Che piega occorre fare per rendere il modello simmetrico?
• Caccia a… (al rombo, alle rette parallele, agli angoli retti…)
 Spesso si invita a pensare insieme la risposta.
Raramente, scheda da compilare in gruppo.
Classe I
 La diagonale
 Il triangolo
 I quadrati e i rettangoli
 Le simmetrie del quadrato
Esempio 1: la diagonale
 Riconoscimento
(conteggio triangoli)
 Lati, vertici
 Diagonale (nuovo termine)
Classe seconda
 Le simmetrie del rettangolo
 Le simmetrie dell’esagono
 Le simmetrie del rombo
 Ripasso
 Due solidi modulari
Esempio 2: il rettangolo
 Ricerca sperimentale degli assi di simmetria del rettangolo
(mediane).
 Osservazione sulle diagonali: ciascuna divide il rettangolo in
due triangoli uguali, ma questi NON si sovrappongono
esattamente mediante la piega!
 Assi di simmetria
Quali sono?
Lo rimangono anche
nel modello piegato?
Come piegare perché
una certa retta sia asse
dopo la piega?
 Rettangoli
In (6) quanti tipi di
rettangoli vedi?
Classe terza
 Posizione reciproca tra rette
 Angoli retti, acuti, ottusi
 Frazioni
 Area
Esempio 3: le frazioni
In vari stadi del modello, si chiede quale frazione del tutto è la
parte colorata e quale la parte bianca.
Frazioni equivalenti, frazioni complementari.
Classe quarta
 Classificazione dei triangoli
(da un’idea di Stefania Serre)
 Misurazione di angoli
 Una piramide
 Il Tangram
Esempio 4: classificazione dei triangoli
Barca piegata con un triangolo rettangolo isoscele
Come cambia la barca se si usa un altro triangolo?
Classe quinta
Aree (equiestensione, unità di misura e calcolo)
 Aree (e volumi)
 Un’attività di problem solving
 Un frattale
Aree…
In vari passaggi si determina l’area usando diverse unità di
misura.
Area(B) = 2 T ,
Area(C) = 8 T , quindi
Area(C) / Area(B) = 4
(indipendentemente
dall’unità di misura usata)
Confronto per equiscomposizione:
B=2S+2t
quindi
Area(B) = Area(C)
… e volumi
Usando un foglio di dimensioni doppie:
• i segmenti si raddoppiano
• le aree si quadruplicano
• i volumi si moltiplicano per 8
Qualche consiglio
 Decidere l’argomento matematico.
 Trovare un modello origami adatto (anche più di uno!) Lo
stesso modello può servire per diversi argomenti.
 Tarare la durata (per esempio, svolgere attività introduttive il
giorno prima, o rinunciare a qualche domanda se la classe è
stanca.)
 Ma, soprattutto, divertirsi insieme ai ragazzi!
Per finire…
La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli
argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi
aspetti, al saper nuotare o all’andare in bicicletta, due
abilità che non possono essere raggiunte stando fermi.
H.S.M. Coxeter
Grazie per l’attenzione
e…
buone pieghe matematiche a tutti !