Emma Frigerio
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milano
nel CDO dal 1986
[email protected]
Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici
valenze educative dell’origami…
 sviluppo di varie abilità
 abitudine alla concentrazione e alla pazienza
 cooperazione e lavoro individuale
 recupero di alcuni handicap
...e la sua potenzialità per fare matematica
 le pieghe più comuni sono assi e bisettrici
 l’approccio multisensoriale favorisce l’interiorizzazione e
la memoria a lungo termine.
Idee- base
 Foglio = Piano
 Piega = Retta
 Ogni piega realizza una simmetria
 Se con una o più pieghe due “cose” si sovrappongono
esattamente, queste due “cose” sono uguali.
Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
Un rombo, con le sue diagonali.
Scuola primaria
Usiamo il rombo per
piegare un modello
Pappagallo
modello di Emma Frigerio
Scuola secondaria di primo grado
Osservazioni sulle diagonali:
 sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà;
 sono anche bisettrici.
Scuola secondaria di secondo grado
Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato?
Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra
loro e si tagliano scambievolmente a metà, allora
 i lati di Q sono congruenti e a due a due
paralleli, dunque Q è un rombo.
 le diagonali bisecano gli angoli.
NON abbiamo dimostrato che in un rombo le
diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.
Un nuovo teorema (Justin)
Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo
da ottenere una figura piatta.
Allora i tre vertici risultano allineati.
E le pieghe curve?
Sono possibili, ma…
E le pieghe curve?
Sono possibili, ma… si ottengono oggetti 3D.
Eric e Martin Demaine
David Huffman
Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893
Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e
Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), …
anni ’80
Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893
Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara),
anni ’30
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e
Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), …
anni ’80
Un po’ di storia 2
Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di
costruzione impossibili con riga e compasso:
 Duplicazione del cubo
 Trisezione di un angolo
La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l’origami,
dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico
sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella
delle costruzioni possibili con riga e compasso.
Origami, matematica e tecnologia
 Matematica dell’origami
 Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere
matematicamente problemi di origami)
Lang, E. Demaine (USA)
 Tecnologia dell’origami (applicazione dell’origami alla
soluzione di problemi che nascono nell’ingegneria, nel
design, e nella tecnologia in generale).
Esempi 1
Map folding (K. Miura)
Prototipo di “Eyeglass”
Lawrence Livermore National
Laboratory, Livermore, California
R. Lang
Esempi 2
Stent origami (prototipo)
Trasporto di medicinali
Protein Folding
Piegatura di airbags
Nella lezione di matematica 1
 Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure
piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, …
 Geometria solida: poliedri
Ma anche…
Nella lezione di matematica 2
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Problem solving
Problemi di colorazione
Calcolo combinatorio
Trigonometria
Coniche
Limiti
Frattali
Spugna di Menger (J. Mosley)
Modello di van Hiele
Piet e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni ’50)
distinguono 5 livelli nell’apprendimento della geometria
 Visualizzazione (figure come un tutto)
 Analisi (proprietà)
 Astrazione (argomentazioni, relazioni tra figure)
 Deduzione (teoremi, c.n.s.)
 Rigore (geometrie non euclidee)
L’origami può utilmente accompagnare tutti questi livelli.
Miri Golan e l’Origametria
In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 –
14 anni), tenute da persone appositamente formate, con un
progetto creato da Miri Golan.
Da qualche anno ha creato il programma
Kindergarten Origametria, che è
stato approvato dal Ministero per
l’Educazione.
Thomas Hull
Corsi nelle università degli Stati
Uniti e un libro, dal titolo
Project Origami
in cui presenta dettagliatamente
molte e varie attività matematiche
adatte a studenti delle superiori.
Per finire…
La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli
argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi
aspetti, al saper nuotare o all’andare in bicicletta, due
abilità che non possono essere raggiunte stando fermi.
H.S.M. Coxeter
Grazie per l’attenzione !