MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2010-2011
Complementi ed esercitazioni 2
Tema I – I sistemi di numerazione
Rappresentazione simbolica dei numeri e decomposizione aritmetica
Ogni sistema di rappresentazione simbolica dei numeri naturali si basano su una
decomposizione del numero usando alcuni numeri privilegiati (ad esempio l’unità, dieci, sessanta,
le potenze di dieci) e l’addizione oppure l’addizione e la moltiplicazione. Sui sistemi di
numerazione e la matematica antica: Lezioni di matematica e didattica della matematica, lezione 2
e All’inizio fu lo scriba, capitolo 1. Altri testi:
Wilma Di Palma e altri 1987 L’alba dei numeri, Edizioni Dedalo, Bari (un libretto semplici
e interessante, lo trovate sia nella Biblioteca delle Torri (Scientifica), sia in quella di Scienze della
Formazione
E tre libri per bambini illustrati
Raffaella Petti, 2008, Uri il piccolo sumero e Ahmose e i 999999 lapislazzuli, Pisa, Il
Giardino di Archimede (Biblioteca di Scienze della Formazione)
Denise Schmandt Besserat 1999, The history of counting, Morrow Junior Books, New York
(Biblioteca delle Torri).
ESERCIZI
1) Consideri il numero centoquarantatre. Scriva le rappresentazioni simboliche di questo
numero nel attuale sistema di numerazione, nel sistema di numerazione romano, nel sistema
di numerazione egizio, nel sistema di numerazione sumero e in quello erudito babilonese.
Per ogni rappresentazione, scriva la decomposizione del numero soggiacente.
2) In una tavoletta sumerica risalente al 2850 a.C. ca. sono indicati le seguenti quantità (con in
calce, forse, una firma): quindici sacchi d’orzo, trenta sacchi di grano, sessanta sacchi di ?,
quaranta sacchi di ?, quindici volatili, centoquarantacinque sacchi vari, quindici volatili.
Rappresentare le quantità usando il sistema di numerazione dei Sumeri e indicare attraverso
un’espressione aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi
numeri.
Aiuto. Per rappresentare i numeri, bisogna prima chiedersi quale è il simbolo che rappresenta il numero maggiore
che possiamo adoperare, e poi “raggruppare”. Ad esempio, per rappresentare il numero centoquarantacinque
iniziamo da raggruppare per sessanta, poi per dieci, poi per uno (non possiamo raggruppare per seicento).
3) Rappresentare il numero 2360 usando il sistema di numerazione sumerico e indicare
attraverso una espressione aritmetica la decomposizione usata. In una tavoletta sumerica
risalente al 2650 a.C. si trova registrata il numero 2360 usando una decomposizione basata
anche sulla sottrazione 2400 – 40. Provi a scrivere in questo modo il numero usando sempre
i simboli numerici dei sumeri e scriva l’espressione aritmetica della decomposizione usata.
Confronti il numero di simboli utilizzati nelle due rappresentazioni dello stesso numero.
1
4) In una tavoletta sumerica risalente al 2650 a.C. e relativa a una ripartizione di orzo è
indicato il numero 164.571 di uomini. Rappresenti questa quantità usando il sistema di
numerazione dei sumeri e indichi attraverso un’espressione aritmetica la decomposizione
usata. Questa tavoletta è riprodotta in una delle lezioni del materiale didattico, dove può
verificare la rappresentazione trovata.
5) Rappresenti centosessantatre, duecentosettantacinque, duemiladue usando il sistema di
numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione aritmetica la
decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri. Quanti simboli ha
utilizzato per ognuno di questi numeri.
6) Nella testa della mazza del re Narmer (3050 a.C. ca.) è rappresentato un bottino ricavato dal
sovrano: 400.000 bovini, 1422.000 ovini e 120.000 prigionieri. Rappresenti queste quantità
usando il sistema di numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione
aritmetica la decomposizione usata per rappresentare ognuno di questi numeri.
7) Sul monumento alla vittoria del re Khasekhemi (2750 a.C. ca.) il numero dei ribelli del
Basso Egitto che sono “sotto la pianta del re” è 47.208. Rappresenti tale numero usando il
sistema di numerazione geroglifico degli Egizi e indichi attraverso un’espressione aritmetica
la decomposizione usata per rappresentarlo.
Parole-numero: esercizi sulla legge di formazione dei numerali
8) Sostituisca le nove cifre del sistema di numerazione posizionale decimale con le prime nove
lettere dell’alfabeto e lo zero con la lettera j. Provi a scrivere i numeri da dieci fino a centouno
adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
9) Rappresenti i numerali cardinali italiani a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali
con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine) e provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino
a centouno adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
10) Rappresenti i numerali cardinali inglesi a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali
con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine) e provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino
a centouno adoperando questi nuovi simboli. Scriva anche centoventicinque.
11) Ricordi i numerali cardinali cinesi a partire dai quali si formano tutti i numerali cardinali e li
rappresenti con le lettere dell’alfabeto (rispettando l’ordine).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
yi
er
san
si
wu
liu
qi
ba
jiu
shi
bai
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
2
1000
10000
qian
wan
l
m
Provi a scrivere i numerali cardinali da dieci fino a centouno adoperando questi nuovi simboli.
(Ricordi che cento si dice yi bai, mille si dice yi qian). Scriva anche centoventicinque.
12) Provi a ripetere l’esercizio in altre lingue da lei conosciute (spagnolo, francese, tedesco….)
3
Le cifre indiane in Europa
Nella biblioteca del monastero di El Escorial, in Spagna, si conserva un manoscritto scritto in
latino, il Codex Vigilanus, risalente all’anno 976, che è il documento europeo più antico nel quale si
ritrovano le cifre da 1 a 9 di origine indiana che erano adoperate correntemente anche nelle terre
dell’Islam.
Il monaco Vigila (da cui il nome del manoscritto) scrive:
“E sempre a proposito delle cifre dell’aritmetica, è necessario sapere che gli indiani possiedono un’intelligenza
straordinariamente sottile, e che gli altri concetti cedono loro il passo per quanto riguarda l’aritmetica, la
geometria e le altre discipline liberali. Questo si rende evidente del modo migliore nelle nove cifre tramite le
quali esprimono ogni grado di qualsiasi livello.”
Si attribuisce a un monaco benedettino, Gerberto di Aurillac, che diventò papa con il nome di
Silvestro II nell’anno 999, l’introduzione in Europa di questi simboli. Tuttavia, in Europa i simboli
numerici adoperati correntemente erano quelli in uso nell’Impero Romano, e per eseguire le
operazioni si adoperava l’abaco.
In un manoscritto di matematica risalente all’XI secolo si trovano lo zero e le nove cifre con
una parola latina per indicare ognuno dei numeri rappresentati: ad esempio le parole per quattro e
per otto sono deformazioni della corrispondente parola in arabo.
A partire dal XIII secolo, grazie all’opera di Leonardo Pisano (detto Fibonacci) – il quale
soggiornando da ragazzo nel NordAfrica aveva studiato il sistema di numerazione di origine indiana
– si diffuse in Italia e poi in tutta Europa l’uso di tale sistema per rappresentare i numeri e per
eseguire le operazioni.
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