Grafici di rette
e
funzioni lineari
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Piano dell’attività
A. Riconoscere equazioni di rette e tracciarne
il grafico
A. Riconoscere e rappresentare graficamente
fenomeni descritti da funzioni lineari
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Riconoscere l’equazione di una retta
Esempi di equazioni che descrivono rette
3
3
y = - x + 2 y = 2x y = y = 0 x = 2 x = 0 3x + 2y - 4 = 0
2
2
Sono tutte equazioni lineari: le lettere x e y
compaiono al massimo al 1° grado.
Esempi di equazioni che NON descrivono rette
3 2
y = - x +2
5
2
y = Ы xy = 2
x
y = 2x 3 - 3x 2
Sono tutte riconducibili a equazioni polinomiali
che hanno grado maggiore di 1.
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y = 2x
y non è data da
una potenza di x
3
Tracciare il grafico di un’equazione lineare
Primo esempio
Equazione
Per due punti passa
una sola retta
x=2
Un punto P percorre la
retta solo se la sua
ascissa x vale 2
A e B sono due punti
che hanno ascissa 2
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Tracciare il grafico di un’equazione lineare
Secondo esempio
Equazione
y = 2x
Per due punti passa
una sola retta
Un punto P percorre la
retta solo se la sua
ordinata y vale 2 volte
l’ascissa x
O e A sono due punti che
hanno x ed y legate
dall’equazione y = 2x
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Procedimento per tracciare il grafico di
un’equazione lineare
Esempio
Funzione lineare
y = mx + q
•Con l’aiuto di una tabella si determinano
due punti A e B con le coordinate legate
dall’equazione.
•Si indicano A e B sul piano cartesiano.
•Con l’aiuto di un righello si congiungono A
e B.
y=-
3
x+2
2
Equazione lineare
ax + by + c = 0 con b ≠ 0
Si esplicita y e si torna al caso precedente.
Esempio 3x + 2y - 4 = 0 Ю y = Daniela Valenti, Treccani Scuola
3
x+2
2
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Leggi lineari nella realtà
La realtà suggerisce vari fenomeni che conducono a
studiare leggi lineari.
Ecco un esempio.
Quanto costa l’abbonamento ad una palestra?
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Costo dell’abbonamento ad una palestra
Secondo i primi calcoli l’abbonamento B ha il costo più basso.
Ma il grafico mostra che l’abbonamento A diventa il meno costoso,
quando vado in palestra per più di 3 mesi.
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Riflessioni su formule e grafici
• Riconosco leggi lineari, anche quando le variabili sono indicate con lettere
diverse da x e y.
CA = 40t + 50
CB = 60t
• Costo dell’abbonamento e tempo non possono essere numeri negativi,
perciò, per tracciare il grafico, basta il 1° quadrante di un piano
cartesiano.
• Ho scelto l’unità di misura sui due assi cartesiani in modo da ottenere un
grafico ben visibile.
Diversa unità di
misura sui due assi
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Leggi lineari e proporzionalità
LEGGE LINEARE
1. La legge: è una funzione lineare
del tipo CA = mt + q
2. Il grafico: i punti (t; CA) si trovano
su una retta.
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PROPORZIONALITÀ
1. La legge: è una funzione lineare del tipo
CB = mt
(con q = 0)
2. La tabella: se raddoppia t, raddoppia
CB;
3. Il grafico: i punti (t; CB) si trovano su10
una retta che passa per l’origine O(0; 0).
Proporzionalità e leggi lineari
Una legge di proporzionalità diretta è una
particolare legge lineare.
LEGGI LINEARI
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P
R
O
P
O
R
Z
I
O
N
A
L
I
T
À
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Attività 2. Grafici di rette e funzioni lineari
Ora dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone per
un’attività su due tematiche:
- lavorare sui grafici di rette;
- risolvere problemi descritti da funzioni lineari.
Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro
da completare.
Avete 30 minuti di tempo
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Che cosa abbiamo ottenuto?
I. Riconoscere funzioni lineari e
loro grafici
II. Risolvere problemi descritti da
leggi lineari
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Riconoscere funzioni lineari
Monomi di 2° grado
Ricorda: un’equazione lineare è somma di monomi
con x e y al massimo al 1° grado
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Riconoscere grafici di funzioni lineari
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Problemi sui grafici di funzioni lineari
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Risolvere problemi lineari
4. Un negozio ha venduto in un mese 90 tablet al prezzo di 100 euro; il mese
successivo ha aumentato il prezzo di 20 euro, vendendo però soltanto 80 tablet.
Ipotizza che il numero d di tablet acquistati dai consumatori in un mese diminuisca
linearmente all’aumentare del prezzo p e risolvi i seguenti quesiti:
a. rappresenta i dati e il grafico della legge;
b. scrivi la legge che lega d a p;
c. calcola il numero di tablet che si prevede di vendere al prezzo di 200 euro;
d. calcola a quale prezzo si prevede di non vendere alcun tablet.
a. Rappresento i punti A(100, 90) e B(120, 80); traccio
poi il segmento di retta AB nel I quadrante, dato
che d e p non possono essere negativi.
b. Scrivo l’equazione della retta per i due punti A e B.
pendenza m = (80 – 90) : (120 – 100) = –0,5
d – 90 = –0,5(p – 100) d = –0,5p + 140
c. Calcolo d corrispondente a p = 200
d = –0,5 200 + 140 = 40
d. Calcolo p corrispondente a d = 0
0 = –0,5p + 140 p = 140 : 0,5 = 280
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Risolvere problemi lineari
5. La massa M dei rifiuti in una discarica aumenta linearmente al
passare del tempo t (in ore); ad un certo istante la massa è di 30 kg
e 2 ore dopo è 60 kg. Risolvi i seguenti quesiti:
a. rappresenta i dati e il grafico della legge;
b. scrivi la legge che lega M a t;
c. calcola la massa di rifiuti dopo 4 ore;
d. calcola quanto tempo occorre per avere una massa di 180 kg.
b. Legge lineare, cioè del tipo M = mt + q
q = 30
pendenza m = (60 – 30) : 2 = 15
M = 15t + 30
c. Calcolo la massa M dopo 4 ore
M = 15  4 + 30 = 90
d. Calcolo il tempo t corrispondente a M = 180
180 = 15 t + 30
esplicito t = (180 – 30) : 15 = 10
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Risolvere problemi lineari
6. La massa M dei rifiuti in una discarica aumenta proporzionalmente al tempo
t (in ore) e, 2 ore dopo l’apertura della discarica, la massa è 60 kg.
a. rappresenta i dati e il grafico della legge;
b. scrivi la legge che lega M a t;
c. calcola la massa di rifiuti dopo 4 ore;
d. calcola quanto tempo occorre per avere una massa di 180 kg..
b. Legge di proporzionalità diretta, cioè del
tipo M = mt
pendenza m = 60 : 2 = 30
M = 30t
c. Valuto la massa M dopo 4 ore.
M = 120 kg
perché la massa raddoppia al raddoppiare del
tempo. [M = 30  4 = 120]
d. Valuto il tempo t corrispondente a M = 180
t = 6 ore
perché la massa triplica al triplicare del
tempo. [180 = 30t da cui t = 180 : 30 = 6]
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Fenomeni lineari nella fisica
I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi
e vari specialmente in fisica. Ecco qualche esempio.
Nel moto rettilineo con velocità
costante v la distanza percorsa s è
legata al tempo t dalla legge lineare
s = s0 + vt
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Fenomeni lineari nella fisica
I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi
e vari specialmente in fisica. Ecco qualche esempio.
Nel moto rettilineo con accelerazione
costante a la velocità istantanea v è
legata al tempo t dalla legge lineare
v = v0 + at
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Fenomeni lineari nella fisica
I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi
e vari specialmente in fisica. Ecco un ultimo esempio.
La lunghezza L di una molla è legata al peso p, fissato
ad un estremo, dalla legge lineare
L = L0 + kp
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