Risolvere sistemi lineari
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Risoluzione grafica e algebrica
Come trovo la soluzione del sistema qui sotto?
y  2x

y  3x  5
Con il grafico delle rette trovo la soluzione (1,
2).
Ma c’è anche un procedimento algebrico per
ottenere
 la soluzione. Ecco qui sotto i calcoli da
eseguire con carta e penna.
METODO DI SOSTITUZIONE
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Un sistema impossibile
y  2x

y  2x  5
Con il grafico trovo due rette parallele, con la
stessa pendenza 2, che non si incontrano.
Con il procedimento algebrico arrivo a
un’equazione
 di 1° grado impossibile.
Perciò il sistema è IMPOSSIBILE.
Uguaglianza sempre falsa, cioè
EQUAZIONE IMPOSSIBILE
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Un sistema indeterminato
y  2x

y  2x
Con il grafico trovo due rette coincidenti, che
hanno tutti i loro punti in comune
Con il procedimento algebrico arrivo a
un’equazione
 di 1° grado indeterminata.
Perciò il sistema è INDETERMINATO.
Uguaglianza sempre vera, cioè
EQUAZIONE INDETERMINATA
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Riconoscere equazioni di rette parallele
Il procedimento seguito prima si può ripetere in generale, a
partire dalle equazioni esplicite di una qualunque coppia di
rette con la stessa pendenza m: ecco che cosa si trova.
y  mx  p

y  mx  q

Uguaglianza vera, cioè
EQUAZIONE INDETERMINATA
SISTEMA INDETERMINATO
RETTE COINCIDENTI
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Uguaglianza falsa, cioè
EQUAZIONE IMPOSSIBILE
SISTEMA IMPOSSIBILE
RETTE PARALLELE
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Riconoscere equazioni di rette parallele
E se le rette sono scritte in forma implicita?
Equazioni del tipo ax + by + c = 0
Se b ≠ 0
Esplicito y e confronto le pendenze
ESEMPIO
3x + 2y = 0 e 6x + 4y – 8 = 0
Nelle equazioni trovo la
stessa pendenza, perciò
le rette sono parallele
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Riconoscere equazioni di rette parallele
E se le rette sono scritte in forma implicita?
Equazioni del tipo ax + by + c = 0
Se b = 0 e a ≠ 0
Esplicito x
ESEMPIO
3x + 2 = 0 e 4x – 8 = 0
Equazioni del tipo x = k,
perciò le rette sono parallele
fra loro, perché entrambe
parallele all’asse y.
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Attività 2
Ora un’attività per impadronirsi dei concetti e delle
tecniche appena acquisiti sui sistemi lineari.
Per lavorare dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad
ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
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Che cosa abbiamo trovato
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Sistemi e grafici con il computer
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Sistemi e grafici con il computer
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Sistemi e grafici con il computer
B(−2, 1) si trova solo sulla
retta g, perché la coppia
(−2, 1) compare solo nella
tabella della retta g.
C(−2,−4) si trova solo sulla
retta f, perché la coppia
(−2, −4) compare solo nella
tabella della retta f.
A(−1,−2) si trova su
entrambe le rette, perché la
coppia (−1,−2) compare in
entrambe le tabelle.
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Sistemi e grafici con il computer
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Calcolo letterale con carta e penna
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E se le equazioni sono più di due?
Un esempio per riflettere
GRAFICO
CALCOLI
Uguaglianza
falsa
Sistema incompatibile
La soluzione (2, -1) NON
soddisfa la terza equazione
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La terza retta NON passa per il punto
A di intersezione delle prime due
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E se le equazioni sono più di due?
Un secondo esempio
GRAFICO
CALCOLI
Uguaglianza
vera
Sistema compatibile
con soluzione (2, -1)
La soluzione (2, -1)
soddisfa la terza equazione
Daniela Valenti, Treccani Scuola
La terza retta passa per il punto A
di intersezione delle prime due
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