Cognome
Anno imm.
Nome
Matricola
Compito di MS per SAN
3 febbraio 2015
Se il compito deve essere valutato solo per la parte di Matematica o di Statistica, e/o solo per un
certo numero di crediti (a causa di riconoscimenti parziali, trasferimento da altri corsi di studio, ecc),
indicatelo nei righi successivi, dando gli estremi dei rilevanti provvedimenti del Consiglio di Corso di
Studi o della Segreteria Studenti.
Svolgete gli esercizi direttamente sul testo a penna, negli spazi previsti, scrivendo chiaramente in
buon italiano. “Scrivere” significa dare solamente il risultato finale, mentre “calcolare”, “risolvere”,
“determinare” significa fornire anche il procedimento, almeno in forma schematica. Dovete consegnare
solo il foglio del testo: nessun foglio di brutta.
Per ogni domanda è indicato il relativo punteggio. Se la risposta è corretta tale punteggio viene
aggiunto al totale, inizialmente pari a 0; se la risposta è errata viene sottratto un punto. L’assenza di
risposta non influisce sul punteggio totale.
Potete usare una calcolatrice (non il cellulare) e la tavola della funzione degli errori di Gauss; niente
libri, appunti o altro. Tenete il libretto universitario sul banco. La durata della prova è di 3 ore (se deve
essere valutato tutto il compito), o di 90 minuti (se deve essere valutata solo la parte di Matematica o
di Statistica).
Calcolate preliminarmente i parametri a e b da usare negli esercizi: α è la penultima cifra del numero
di matricola e β l’ultima.
βπ απ = ......,
b = 5 + 2 cos
= ......
a = 2 cos
3
3
*********************** MATEMATICA ***********************
Esercizio 1. Sia f la funzione definita da f (x) = (3 − ax) exp(x/a).
1. Scrivere il dominio e disegnare il grafico di f .
3pt
2. Calcolare
3pt
Z
2
f (x) dx.
0
Esercizio 2. Sia A la frase “Per ogni x esiste y tale che f (x) > y” e B la frase “Esiste y tale che per
ogni x si ha f (x) > y”.
1. Indicare, se esiste, una funzione f : R → R per cui una delle due frasi sia vera e l’altra falsa;
1pt
2. Indicare, se esiste, una funzione f : R → R per cui entrambe le frasi siano vere;
1pt
3. Indicare, se esiste, una funzione f : R → R per cui entrambe le frasi siano false.
1pt
Esercizio 3. Sia a0 , a1 , a2 , . . . una successione in R. Scrivere il significato esatto della frase limn→∞ an =
3.
3pt
Esercizio 4. Enunciare correttamente il Teorema dell’Hopital (sul retro).
3pt
*********************** STATISTICA ***********************
Esercizio 5. Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità e siano A e B due eventi. Scrivere la definizione
corretta delle seguenti frasi:
1. A e B sono mutuamente esclusivi;
1pt
2. A e B sono indipendenti;
1pt
3. A condiziona negativamente B.
1pt
Esercizio 6. Una ditta produce biglietti gratta-e-vinci in tre stabilimenti diversi; il primo stabilimento
produce il 40% del totale, e ciascuno dei altri due il 30%. Il 10% dei biglietti prodotti nel primo
stabilimento è vincente, contro il 20% del secondo stabilimento e il 25% del terzo.
1. Qual è la probabilità di vincita comprando un biglietto?
2pt
2. Avendo effettivamente comprato un biglietto vincente, qual è la probabilità che esso provenga dal
primo stabilimento?
2pt
Esercizio 7. Sia c = 2/3, e sia f : R≥0 → R la funzione di densità di probabilità definita da


su [0, 1];
cx,
f (x) = −cx/2 + 3c/2, su [1, 3];


0,
altrimenti.
1. Calcolare la corrispondente funzione di distribuzione cumulativa F e disegnare sia f che F (sul
retro).
2pt
2. Calcolare il venticinquesimo percentile di una variabile aleatoria avente distribuzione f .
2pt
3. Spiegare perché ponendo c = 1 la funzione f non è più una funzione di densità di probabilità.
2pt
Esercizio 8. In un centralino si attendono 100 chiamate per ora e ogni chiamata dura un minuto. Quanti
centralinisti bisogna assumere affinché la probabilità di trovare occupato in un minuto (effettuando
esattamente una chiamata in tale minuto) sia minore del 5%? (sul retro).
2pt