Interventi
Il potenziamento in matematica
nella scuola secondaria di 2° grado:
il successo di particolari strategie
cognitive
Anna Baccaglini-Frank
Dipartimento di Educazione e
Scienze Umane, Università di
Modena e Reggio Emilia
Benedetta Lucatello
Lucia Micheletto
Mario Perona
Mia Tubertini
Centro per le difficoltà di
apprendimento – Fondazione Opera
Edimar, Padova
Sommario
In questo articolo viene presentato un progetto di potenziamento attuato con successo per studenti del biennio della
scuola secondaria di 2° grado che presentavano difficoltà
nell’ambito numerico. Il progetto mirava a: rilevare specifiche
difficoltà nel calcolo; motivare e rimotivare allo studio della
disciplina attraverso compiti nei quali gli studenti potessero
sperimentare il successo; suggerire strategie e strumenti per
favorire lo studio della matematica e l’apprendimento attivo
degli studenti; potenziare le capacità di calcolo attraverso
training individualizzati e centrati sui specifici processi cognitivi. Il confronto delle prestazioni dei soggetti nel pre- e
post-test mostra come le particolari strategie cognitive usate
durante il potenziamento siano risultate efficaci.
U
n’elevata percentuale di studenti incorre in disavventure scolastiche,
bocciature o ritiri dalla scuola, tanto che ormai non stupisce un dato allarmante: già
dal primo anno della scuola primaria circa il 20% degli alunni presenta difficoltà d’apprendimento in matematica (Lucangeli, 2005), che spesso non migliorano nel corso della
loro vita scolastica senza l’aiuto di un esperto. Se poi si analizzano più nello specifico i
risultati ottenuti nell’area matematica dagli studenti del biennio superiore, questo dato
è ancora più evidente e riflette una situazione di forte disagio e di incompetenza degli
stessi (Impedovo, Orlandoni e Paola, 2011). Studi nazionali e internazionali indicano
come il processo di apprendimento per molti studenti risulti ostacolato, «affaticato» o
comunque non facilitato (Di Martino e Zan, 2005; Iannitti e Lucangeli, 2005; Di Martino,
2009) a causa di molteplici fattori quali la mancanza di motivazione (Farmer, Riddick
e Sterling, 2002; Spafford e Grosser, 1996), la mancanza dei prerequisiti necessari per
il particolare corso di studi scelto (Levine, 1993; Spafford e Grosser, 1996), o anche
l’inadeguatezza delle strategie didattiche e l’inesperienza degli insegnanti (Marshall,
2003). La debolezza di uno studente, che può esistere anche in altre aree, risulta più
Difficoltà in matematica Edizioni Erickson Trento
Vol. 9, n. 2, febbraio 2013
(pp. xx)
ISSN 1123-928X
7
Difficoltà in matematica
n. 2, febbraio
2013
evidente in matematica e, dal punto di vista emotivo-motivazionale (Zan, 2007), genera maggiore ansia rispetto a quanto accade nelle altre discipline (Zan, 2000a; 2000b;
Farmer, Riddick e Sterling, 2002; Kogelman e Warren, 1978; Sharma, 1990).
Inoltre alcuni studenti possono manifestare veri e propri disturbi specifici dell’apprendimento (DSA) in matematica. Il DSA maggiormente conosciuto e studiato in
matematica riguarda la cognizione del numero, quindi l’ambito aritmetico, e si chiama
discalculia (Butterworth, 2005; Geary, 2000; Kosc, 1974; Rourke e Conway, 1997;
Sharma, 1990; Weedon, 1992). Studenti con discalculia manifestano molti dei disagi
causati dai fattori descritti sopra, ma è importante per un educatore saper distinguere
la presenza di un caso di discalculia (o in generale di un DSA) da altre situazioni di
difficoltà, per poter intervenire in modo adeguato. In questo articolo parleremo di
«studenti con difficoltà» perché l’intervento attuato che descriveremo è stato svolto
con piccoli gruppi studenti che, pur avendo profili di apprendimento del calcolo simili
a quelli di studenti discalculici, nella maggior parte dei casi non presentavano un vero
deficit cognitivo. È proprio con questi studenti che si ottengono i migliori risultati con
interventi di potenziamento mirato come quello che descriveremo.
Oggi si stanno studiando e mettendo in atto diverse strategie didattiche per migliorare il rapporto dello studente con la matematica sia dentro che fuori dall’aula scolastica
(per esempio, Lucangeli e Mammarella, 2010; Longo e Barbieri, 2008; Benazzato, 2010;
Baccaglini-Frank, Perona, Bettini e Lucangeli, 2011; Lucatello et al., 2012; Maffei e
Mariotti, 2012; Baccaglini-Frank, 2012; Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi, 2012;
Baccaglini-Frank et al., in corso di stampa), attraverso percorsi di potenziamento mirati.
Non essendo possibile descrivere in questo contributo la ricchezza e il dettaglio di diversi
percorsi di potenziamento, delineeremo alcune delle attività proposte all’interno di un
progetto di potenziamento attuato con successo per studenti della scuola secondaria
di 2° grado (in particolare del biennio) che presentavano difficoltà in matematica (in
particolare nell’ambito numerico).
Metodo e procedura
Gli interventi di potenziamento oggetto di questo studio nascono all’interno del
progetto di potenziamento in matematica «Quando imparare è difficile: come è possibile
potenziare l’apprendimento in matematica attraverso adeguate strategie cognitive»,1
diretto dalla prof.ssa Daniela Lucangeli (Università di Padova). Il progetto aveva come
Il progetto è stato finanziato dalla Fondazione Umana Mente (Gruppo Allianz) e dalla Fondazione Antonveneta. Il progetto si è svolto tra ottobre 2011 e giugno 2012 a Padova e provincia.
1
8
Il potenziamento in matematica nella scuola secondaria di 2° grado
obiettivo principale il potenziamento cognitivo di soggetti segnalati dal sistema scolastico2
come aventi difficoltà nell’apprendimento della matematica nel biennio superiore. Dopo
un’analisi del profilo di apprendimento matematico di ciascun soggetto, una squadra di
esperti ha costruito l’intervento educativo di potenziamento più adatto alle caratteristiche
del soggetto stesso, ponendo particolare attenzione a:
– rilevare specifiche difficoltà nel calcolo;
– motivare e rimotivare allo studio della disciplina attraverso compiti nei quali
gli studenti potessero sperimentare il successo;
– suggerire strategie e strumenti per favorire lo studio della matematica e l’apprendimento attivo degli studenti;
– potenziare le capacità di calcolo (recuperando le carenze presenti negli apprendimenti di base) attraverso training individualizzati e centrati sui specifici
processi cognitivi.
Ciascun percorso di potenziamento è consistito di 10-12 incontri tra un esperto
e un piccolo gruppo (3-5 studenti), ciascuno della durata di un’ora e mezza, a cadenza
settimanale. In totale 71 studenti, da 9 diverse scuole secondarie di secondo grado di
una stessa città del nord Italia, hanno frequentato l’intero percorso (diviso in due cicli).
All’inizio e al termine degli interventi, per la valutazione dei risultati raggiunti
dai soggetti coinvolti nel percorso, si è somministrato il test AC-MT 11-14 (Cornoldi
e Cazzola, 2004). Questo, inizialmente, consente di valutare le abilità numeriche e
di calcolo e di riconoscere tra le diverse aree testate quelle in cui i processi cognitivi
sono più deboli; al termine del ciclo di potenziamento consente di valutare l’efficacia
dell’intervento.
Ciascun intervento di potenziamento è stato costruito seguendo due linee. La prima
riguarda il recupero di eventuali carenze rilevate a livello di comprensione e produzione
del numero (si veda il «modello modulare» di McCloskey, Caramazza e Basili, 1985).
In queste attività vengono proposte attività specifiche riguardanti la lettura e scrittura
di numeri (processi lessicali), il riconoscimento delle varie posizioni delle cifre e del
loro valore (processi sintattici), il posizionamento sulla linea dei numeri, l’ordinamento
di numerosità (processi semantici). Una diagnosi e un successivo potenziamento basati
su questi processi consentono di lavorare in maniera mirata sulle aree più deficitarie
di ciascuno studente (si veda l’impostazione del test ABCA di Lucangeli et al., 1998).
La seconda linea riguarda il recupero di eventuali carenze (rilevate dal test AC-MT
11-14, dall’analisi dei compiti per casa assegnati dall’insegnante e da sessioni di lavoro
con lo studente) rispetto agli argomenti di aritmetica e algebra trattati parallelamente
nella classe di provenienza dello studente. Questa linea aveva un duplice obiettivo:
Questi soggetti sono stati poi sottoposti a screening per verificare se effettivamente necessitassero di un
intervento di potenziamento.
2
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Difficoltà in matematica
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2013
da un lato promuovere un buon rapporto con gli insegnanti coinvolti nel progetto, che
venivano costantemente aggiornati sulle attività, sulla frequenza e sull’andamento dei
loro studenti; dall’altro lato far percepire agli studenti del progetto una sinergia tra il
Centro e le loro istituzioni scolastiche, in un clima di collaborazione avente come finalità
il loro benessere e il superamento delle loro difficoltà scolastiche.
Nella tabella 1 riportiamo un esempio di percorso di potenziamento, svoltosi in
10 incontri, costruito per uno dei piccoli gruppi di lavoro, il gruppo di C.S., di cui
analizzeremo alcuni dettagli prototipici per quanto riguarda le strategie cognitive usate.
Tabella 1 Esempio di percorso di potenziamento – gruppo di Stefano #?
Incontri
10
Contenuti
1
Somministrazione prova AC-MT 3a media collettiva
2
I monomi: cos’è un monomio, coefficiente numerico e parte letterale, monomi
simili, creazione di una mappa compensativa con proprietà e regole per le
operazioni con i monomi
3
Le frazioni: significato di «frazionare», posizionamento di una frazione sulla
linea dei numeri, cosa significa «propria», «impropria», «apparente». Riferimento
alle quantità (< 1, > 1), riduzione di una frazione ai minimi termini
4
Calcolo scritto: incolonnamento e procedure di addizione, sottrazione,
moltiplicazione
Le frazioni: confronto tra frazioni, potenza di una frazione; calcolo con le
frazioni: somma, differenza, moltiplicazione, divisione
5
Ordinamento di numerosità: ordinare numeri razionali, relativi, potenze, misto
I numeri interi relativi: confronto tra numeri relativi, posizionamento sulla linea
dei numeri; calcolo con i numeri relativi: somma, differenza, moltiplicazione,
divisione
6
Calcolo a mente: strategie di calcolo a mente
I polinomi: cos’è un polinomio, riduzione in forma normale, ordinamento di
polinomi
7
Calcolo scritto: incolonnamento e procedura della divisione
I polinomi: operazioni ed espressioni
8
Calcolo a mente: strategie di calcolo a mente
Prodotti notevoli fondamentali: somma per differenza, quadrato di un binomio,
cubo di un binomio, quadrato di un trinomio
9
Serie logiche: esercizi per il potenziamento del ragionamento aritmetico
Prodotti notevoli
10
Somministrazione prova AC-MT 3a media collettiva
Il potenziamento in matematica nella scuola secondaria di 2° grado
Alcune strategie cognitive usate per il calcolo
Per quanto riguarda il potenziamento delle abilità di comprensione e produzione
del numero, riteniamo sia utile lavorare sui processi sintattici e semantici a base sintattica. Descriviamo alcune attività da adattare e proporre durante il potenziamento,
che riguardano il calcolo scritto, il calcolo approssimativo, la stima e il calcolo a mente.
Calcolo scritto
Per potenziare il calcolo scritto, si è ritenuto opportuno proporre delle attività mirate
al recupero delle procedure relative a ciascuna operazione, cercando di aumentarne
gradatamente la difficoltà. Partendo dalla proposta di operazioni con numeri interi senza
prestito e senza riporto, si può poi passare a procedure più complesse fino ad arrivare
a lavorare con i numeri decimali.
Spesso studenti con difficoltà commettono errori nell’incolonnamento delle cifre,
in particolar modo quando sono presenti numeri decimali, e nel posizionamento della
virgola (completa mancanza della virgola o suo posizionamento scorretto nel risultato).
Questo mette in luce come gli studenti abbiano scarsa padronanza della virgola in quanto
non ne hanno acquisito il significato rispetto alla notazione posizionale. In questi casi
diventa necessario andare a rinforzare le procedure di calcolo con numeri decimali.
Inoltre, nel potenziamento, si è ritenuto importante non lavorare soltanto su procedure «standard» ma stimolare anche riflessioni su altri tipi di consegna. Ad esempio,
per lavorare sulle operazioni si possono proporre esercizi di questo tipo.
Trova le cifre mancanti in addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni in modo
che i calcoli risultino corretti.
9 __ +
__ 8 =
1 __ 7 +
35 __ =
8 __ 4 +
__ 6 __ =
__ __ –
2 6 =
__ __ __
•
4 =
__
__ 44
__ 83
657
43
532
__ 0 __
3•
7=
91 __ : 4 = __ __ 8
7 __ __ : 5 = __ 49
Determina possibili valori numerici da attribuire alle lettere in gioco, in modo tale
che le operazioni risultino corrette.
AB +
AB +
AB =
BC
ABC +
ABC =
DCA
AB +
AB +
AB +
AB =
CBA
ABC +
CBA =
DDD
11
Difficoltà in matematica
n. 2, febbraio
2013
Inserisci la virgola nella posizione corretta.3 Ad esempio:
4,26 • 30,6 = 130356
Calcolo approssimativo, stima e calcolo a mente
Nel potenziamento riteniamo sia fondamentale sviluppare le abilità di approssimazione e di stima, utili sia per l’esecuzione di calcoli che per la valutazione finale di una
soluzione raggiunta (e dunque anche per lo sviluppo di processi metacognitivi). Infatti
queste abilità consentono di confrontare un risultato preciso, ottenuto dallo svolgimento
di un calcolo (o più calcoli), con uno invece approssimato, conseguito elaborando i dati
iniziali. Gli interventi proposti miravano ad aiutare gli studenti a sviluppare strategie
che facilitassero e velocizzassero le procedure di calcolo mentale. Presenteremo qualche esempio per quanto riguarda il potenziamento dei processi di stima nella sezione
sulle strategie cognitive usate per potenziare l’area delle frazioni (si veda di seguito) e
rimandiamo a Lucangeli e colleghi (2010) e a Baccaglini-Frank e colleghi (in corso di
pubblicazione) per ulteriori esempi e approfondimenti.
Strategie cognitive usate per potenziare l’area delle frazioni
Molto spesso studenti con difficoltà in matematica presentano gravi carenze rispetto
al concetto di frazione (Sowder e Schappelle, 1995; Hart, 2000), al punto che arrivano
a temerlo (Ashcraft, 2002). Addirittura non si può dare per scontato che sappiano che
una frazione rappresenta una divisione o un rapporto tra due numeri, il numeratore e
il denominatore, che è un numero, e che si può dunque determinare il suo ordine di
grandezza e un suo valore approssimativo.
La rappresentazione di frazione come numero di parti (uguali) da considerare di
una (o più) unità — il modello conosciuto come modello «della torta» o «della pizza»
— può essere utile, ma è bene che non sia l’unica rappresentazione che gli studenti
si costruiscono. In questo senso il nostro lavoro si è basato molto sul potenziamento a
livello metacognitivo, perché gli studenti arrivassero a controllare il proprio ragionamento e il tipo di rappresentazione richiamato di volta in volta. Inoltre, più che insistere
su particolari procedure (ad esempio di addizione tra frazioni) abbiamo ritenuto utile
richiamare il concetto di frazione in una situazione problematica. Quando viene incontrata una frazione, è possibile chiedere agli studenti:
Leggi: 2
5
Questo tipo di esercizio può essere molto utile anche per potenziare lo sviluppo di strategie di approssimazione per controllare il risultato di operazioni, soprattutto per quel che riguarda il suo ordine di
grandezza.
3
12
Il potenziamento in matematica nella scuola secondaria di 2° grado
Che cosa vedi? Cosa «sta sopra»? Cosa «sta sotto» (e rispetto a cosa)?
Confronta i due numeri naturali.
Si può così arrivare al bisogno di stimare la frazione rispetto all’unità, per comprendere la situazione problematica di partenza in cui la frazione è emersa. Una prima
strategia di stima che abbiamo proposto agli studenti consiste nel
confrontare numeratore e denominatore: se il numeratore è maggiore del denominatore, allora la frazione è un numero maggiore di 1; se il numeratore è minore del
denominatore, allora la frazione è un numero minore di 1.
In questo modo lo studente si forma una prima rappresentazione di quantità corrispondente alla frazione, che può essere utile per stimare la posizione della frazione
sulla linea dei numeri. Ora è possibile riprendere la situazione problematica del contesto
iniziale con una maggiore consapevolezza della quantità rappresentata dalla frazione e
quindi del suo significato nel contesto di partenza.
In generale riteniamo che sia fondamentale (anche in base ai risultati raggiunti
nelle neuroscienze, si vedano ad esempio Dehaene, Piazza, Pinel e Cohen, 2003; Zorzi,
Priftis e Umiltà, 2002) costruire una rappresentazione del numero che passi per il suo
posizionamento sulla linea dei numeri. A questo proposito, per quanto riguarda la stima
e il posizionamento delle frazioni sulla linea dei numeri, può essere utile far esercitare
frequentemente gli studenti con difficoltà con applicativi come MotionMath, un esempio
di applicativo per iPad o iPhone (si veda www.motionmathgames.com/motion-math). Lo
scopo del gioco è far cadere, stimandone la posizione corretta su una linea dei numeri,
una palla contenente una frazione. La linea dei numeri su cui fare la stima cambia di
livello in livello (figura 1). Per ogni stima sbagliata il programma fornisce dei suggerimenti progressivi rispetto alla posizione corretta. A partire dall’attività dello studente
durante il gioco (usando la funzione «pausa» o il passaggio di livello) è possibile aiutarlo
a elaborare il significato di frazione.
Vedere le frazioni sulla linea dei numeri,
sulla stessa linea che contiene anche gli interi,
può aiutare gli studenti a trovare relazioni tra
diversi tipi di numero. Per esempio, in questo
modo è possibile far notare agli studenti che i
numeri interi possono essere scritti sotto forma di
frazione e che quindi fanno parte dell’insieme dei
numeri razionali.
!
Usando la definizione di frazione come rapporto tra due numeri, si può introdurre la nozione Fig. 1 Una schermata di MotionMath.
Qui lo studente deve far cadere la
di frazioni equivalenti aiutando gli studenti a
frazione 4/5 al posto corretto sulla
scoprire che ci sono infiniti modi (diverse fraziolinea dei numeri da 0 a 1.
13
Difficoltà in matematica
n. 2, febbraio
2013
ni) per indicare uno stesso rapporto. È utile proporre agli studenti di trovare modi per
generare da soli frazioni equivalenti. Possono arrivare così a scoprire che è sufficiente
moltiplicare (o dividere) per un numero diverso da zero sia numeratore che denominatore. Diversi modi di visualizzare questo passaggio possono essere utili per fissare
l’idea anche visivamente, ad esempio:
1
2
×2
2
4
Dopo aver affrontato la somma e il prodotto tra frazioni, abbiamo proposto esercizi
in cui si chiedeva la costruzione dei passaggi per semplificare un’espressione contenente
frazioni. Agli studenti veniva consegnata un’espressione e poi delle «tessere» in cui
erano svolti diversi passaggi (anche errati o inutili per l’espressione data). La consegna
era trovare fra le numerose tessere quelle che corrispondevano a passaggi successivi
corretti per lo svolgimento dell’espressione iniziale.
Strategia cognitiva usata per potenziare l’area dei prodotti notevoli
Dovendo stare al passo con il programma svolto in classe, anche gli studenti con
difficoltà si trovano ad affrontare i cosiddetti «prodotti notevoli». Per questi studenti la
memorizzazione di tali prodotti, come nel caso delle tabelline, risulta molto faticosa e
non utile. Abbiamo dunque aiutato ogni studente a costruirsi una scheda con i prodotti
e le annotazioni personali che potevano servirgli negli esercizi, da usare come strumento
compensativo. In appendice è riportata la scheda costruita e usata da uno degli studenti.
!
Fig. 2 Studentessa che calcola il cubo di un binomio usando una delle «regole» a
disposizione, riportate dalla sua scheda sulla lavagna.
14
Il potenziamento in matematica nella scuola secondaria di 2° grado
Abbiamo poi lavorato secondo le seguenti modalità:
1. proponendo esercizi in cui decidere quali prodotti applicare e quando, tenendo
la scheda a portata di mano (figura 2);
2. prendendo una «regola» dalla scheda, poi chiedendo di mettere via la scheda
e di riprodurre una parte di dimostrazione (non a memoria ma usando proprietà
delle operazioni nel calcolo letterale) per poi
3. «controllarla» sostituendo numeri alle lettere (un ottimo modo per capire il ruolo
del «controesempio» in matematica, nei casi in cui la regola venga richiamata in
modo errato o siano stati commessi errori nei passaggi della dimostrazione). La
figura 3 mostra come uno studente abbia controllato la «regola» che ricordava
per lo sviluppo del quadrato di un binomio sostituendo dei numeri alle lettere.
Non trovando un controesempio dopo la sostituzione numerica, lo studente ha
dimostrato la correttezza di quanto si ricordava usando la definizione di quadrato
e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. In questo
modo si sono potute potenziare le procedure di calcolo, la possibile memorizzazione della regola e la visualizzazione di forme utili di rappresentazione di
un certo prodotto notevole.
Fig. 3 Uno studente controlla la «regola» che si ricordava per lo sviluppo del quadrato di un binomio
sostituendo dei numeri alle lettere. Poi lo studente ha dimostrato la correttezza di quanto si ricordava usando la definizione di quadrato e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto
all’addizione.
15
!
Difficoltà in matematica
n. 2, febbraio
2013
Risultati e discussione
I soggetti che hanno partecipato al progetto hanno dimostrato nella maggior parte
dei casi un atteggiamento positivo e collaborativo; la serietà e la richiesta di continuità nell’adesione al percorso hanno sollecitato un’alta motivazione, che ha spinto gli
studenti a un maggiore impegno e responsabilità. Di seguito riportiamo alcuni grafici
che illustrano i risultati principali raggiunti al termine dell’intero percorso. Per tutti
gli indici considerati si è fatto riferimento alla distribuzione in 4 fasce di prestazione
(Ottimale, Sufficiente, Richiesta di Attenzione, Richiesta di Intervento Immediato). Per
semplicità, sono state unificate sia le due fasce di prestazione più elevate (Sufficiente/
Ottimale) sia le due fasce che corrispondono a una prestazione al di sotto della media
(Richiesta di Attenzione/Richiesta di Intervento Immediato).
La tabella 2 riporta le singole prove del test AC-MT con la segnalazione dei miglioramenti significativi riscontrati a fine percorso.
Tabella 2 Prestazioni alle prove AC-MT prima e dopo l’intervento e segnalazione dei
miglioramenti significativi riscontrati a fine percorso
Prove
Pre
Post
Miglioramenti
RA
S
X
Espressioni
S
S
Grandezza
RA
S
S
S
Completamento
RA
S
X
Trascrizione
RA
S
X
Calcolo approssimativo
S
S
Fatti
S
S
Calcolo scritto collettivo
RA
S
X
Comprensione e produzione
RA
S
X
S
S
RA
S
AC-MT collettiva
Operazioni scritte
Cifre
X
Macrovariabili
Ragionamento aritmetico
Totale prova collettiva
16
X
il PotenziAMento in MAteMAticA nellA scuolA secondAriA di 2° grAdo
aC-MT individuale
Calcoloamente
RA
S
X
Calcoloamente–tempo
RA
S
X
Calcoloscritto
RA
S
X
Calcoloscritto–tempo
RA
S
X
S
S
RA
S
Dettato
Fatti
X
Facendo riferimento alla prova collettiva, la figura 4 mostra le prestazioni dei soggetti, prima e dopo il potenziamento, nelle varie prove presenti nel test. Si può notare
come i miglioramenti interessino in modo significativo la maggior parte delle prove,
fatta eccezione per le espressioni aritmetiche, che risultano già in fascia sufficiente.
Ancora, in riferimento alla prova collettiva, per quanto riguarda le macrovariabili
calcolo scritto collettivo, comprensione e produzione, ragionamento aritmetico e totale
della prova, si riscontra un netto miglioramento di tutti gli indici (figure 5 e 6).
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Pre-test
O
pe
ti
Fa
t
Es
ra
z
io
ni
sc
rit
te
pr
es
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G
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Tra
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e
Tra
sc
C
riz
.a
io
pp
ne
ro
ss
im
at
ivo
Post-test
Fig. 4 Andamento delle varie prove del test prima e dopo il potenziamento.
!
Analizzando infine la prova individuale somministrata a inizio e a fine percorso
(figura 7), si può notare come i miglioramenti abbiano interessato in particolare l’indice dell’automatizzazione dei fatti numerici (tabelline e semplici operazioni); i risultati
degli altri indici, che evidenziano un miglioramento minore, sottolineano come negli
studenti della scuola secondaria di 2° grado le strategie (anche se errate) utilizzate per il
calcolo a mente e scritto siano già automatizzate e fissate in memoria, risultando quindi
17
diFFicoltà in MAteMAticA
n. 2, FeBBrAio
2013
70
60
50
40
30
20
10
0
Pre-test
Post-test
C.scritto
collettivo
Comprensione
Ragionamento
eproduzione
Totale
collettiva
Fig. 5 Andamento delle macrovariabili nella prova collettiva prima e dopo il potenziamento.
!
!
Fig. 6 Dettaglio dell’andamento delle macrovariabili nella prova collettiva prima e dopo il potenziamento.
più scarsamente modificabili. La figura 8, relativa alla velocità di calcolo a mente e di
calcolo scritto, evidenzia come il potenziamento mirato e continuativo delle strategie e
delle procedure di calcolo influisca anche sulla rapidità dello stesso.
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il PotenziAMento in MAteMAticA nellA scuolA secondAriA di 2° grAdo
25
20
15
10
Pre-test
5
Post-test
0
Calcoloamente Calcoloscritto
Dettato
Fatti
!
Fig. 7 Andamento delle varie prove individuali prima e dopo il potenziamento.
120
100
80
60
40
20
Pre-test
Post-test
0
Tempocalcoloamente
Tempocalcoloscritto
Fig. 8 Velocità di calcolo a mente e di calcolo scritto prima e dopo il potenziamento.
Infine, a titolo di esempio, descriviamo qualitativamente il miglioramento di un
soggetto, C.S., #nome fittizio per esteso del gruppo di cui abbiamo delineato il
percorso prototipico di potenziamento.
Il test somministrato a C.S. a inizio percorso ha evidenziato un profilo di marcate
difficoltà nell’area matematica: la maggior parte degli ambiti indagati sono risultati al
di sotto della media, in particolare l’area lessicale e semantica, il calcolo scritto (operazioni ed espressioni aritmetiche) e il ragionamento aritmetico. Durante gli incontri
sono state svolte attività mirate al potenziamento delle abilità di base, quali scrittura dei
numeri, significato e posizionamento di numeri relativi e razionali sulla linea dei numeri;
ordinamento di frazioni, numeri relativi, potenze; operazioni con i numeri razionali;
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Difficoltà in matematica
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2013
procedure del calcolo scritto, alcune strategie per facilitare il calcolo a mente, esercizi
di ragionamento logico-matematico. Inoltre è stato dato ampio spazio al recupero delle
conoscenze a livello didattico, approfondendo in particolare i seguenti argomenti: monomi e polinomi, prodotti notevoli (con la creazione di schemi che potessero fungere da
strumento compensativo durante lo svolgimento degli esercizi). Al termine delle attività
il profilo evidenzia un miglioramento significativo, con il raggiungimento della fascia di
prestazione sufficiente in tutte le aree indagate (rimane ancora qualche lieve difficoltà
nella conoscenza semantica del numero). C.S. ha sempre dimostrato un atteggiamento
positivo e partecipativo nei confronti delle attività proposte, accogliendo positivamente
i suggerimenti dati e svolgendo un ruolo attivo nel chiedere alcune spiegazioni e nel
confronto con l’educatrice e la compagna di gruppo. Ha dimostrato infine di possedere
una buona motivazione allo studio.
Conclusioni
Si potrebbe obiettare che il test AC-MT 11-14 abbia dei limiti per diagnosticare
difficoltà in matematica di studenti della scuola secondaria di secondo grado. Ad esempio, il test non propone quesiti algebrici. In particolare non vengono testate prestazioni
che riguardano il calcolo letterale, la risoluzione di equazioni o la nozione di variabile.
Innanzitutto, abbiamo usato questo strumento diagnostico in mancanza di altri test per
studenti di questa fascia d’età. Inoltre abbiamo scelto di cominciare potenziando varie
abilità rispetto a cui la prestazione nel test riportava RA perché riteniamo che tali abilità
siano davvero indispensabili per la matematica della scuola secondaria di secondo grado.
Abbiamo però scelto di lavorare anche, in un secondo tempo, su particolari competenze
necessarie per la matematica che gli studenti si trovavano ad affrontare in classe, come
ad esempio i prodotti notevoli. Anche per questo riteniamo che la nostra scelta di potenziamento sia stata particolarmente efficace rispetto allo sviluppo dell’autostima e di
un rapporto migliore con la matematica. Alcuni dei soggetti e dei loro docenti, infatti,
ci hanno riferito miglioramenti anche rispetto alle performance curricolari e all’atteggiamento verso la matematica.
In conclusione, il potenziamento proposto ha portato a miglioramenti delle prestazioni relative alle abilità oggetto del test usato. Tale miglioramento è da considerarsi in
sinergia con i meccanismi motivazionali e di autostima che costituiscono parte integrante
del sostegno educativo alla persona. Infatti, molti soggetti, come C.S., hanno mostrato miglioramenti significativi anche nel loro atteggiamento rispetto allo studio della
matematica e nell’immagine (inizialmente fallimentare) di sé in contesto matematico.
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Il potenziamento in matematica nella scuola secondaria di 2° grado
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Appendice
Scheda costruita e usata da uno studente per le attività con i prodotti notevoli
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