Università degli Studi di Cassino
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Tesi di Laurea
STIMA DEI PARAMETRI DEI SEGNALI NEL
DOMINIO DELLA FREQUENZA IN PRESENZA
DI INTERFERENZA ARMONICA
Relatore
Candidato
Chiar.mo Prof.
Petricca Riccardo
Consolatina Liguori
Matr. 17/00115
ANNO ACCADEMICO 2002-2003
Sommario
 DFT e FFT : cause di errore.
 Metodi tradizionali presenti in letteratura per la
determinazione dei parametri di un segnale nel
dominio della frequenza.
 Metodo Proposto in questo lavoro : IFFTc
– Determinazione della correzione su frequenza (fic), ampiezza (Aic) e fase
(φic) dei segnali in presenza di Interferenza Armonica.
 Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi:
– Errore Residuo
– Incertezza
 Confronto tra IFFTc e gli altri metodi.
 Metodo per risolvere toni nascosti.
2
Obiettivo
Sia dato lo spettro di un generico segnale reale
|X(f)|
f1 , A1
f3 , A3
f2 , A2
NToni = ?
massimo ki : fi , Ai , φi = ?
f4 , A4
f
Gli approcci presenti in letteratura prevedono di elaborare i campioni della
DFT nell’intorno del massimo ki dello spettro d’ampiezza, al fine di valutarne
I campioni
della DFT
intrinsecamente
affetti da errori
frequenza
(fi), ampiezza
(Ai) esono
fase (φ
i).
dovuti principalmente a tre cause:
Problema
3
Cause di errore nella DFT (1/3)
1.
Aliasing
dovuto alla banda del segnale in analisi ed alla frequenza di campionamento.
Per evitare problemi di “aliasing” nell’uso dell’algoritmo di FFT si suppone sempre
l’utilizzo a monte del circuito di campionamento di opportuni filtri anti-aliasing
x(t)
LPF
A/D
Anti-aliasing
x(n)
fs
2.
Dispersione Spettrale o Spectral Leakage
dovuto al rapporto in genere non intero
esistente fra la frequenza di campionamento e
le frequenze delle armoniche del segnale di
analisi, indicato come campionamento
asincrono, e la cui entità dipende anche
dall’operazione di finestratura.
S. L.
Ai
Am
EAi
δi
fi
fm=kiΔf
4
Cause di errore nella DFT (2/3)
3.
Interferenza Armonica
dovuta alla presenza di componenti armoniche del segnale di analisi “vicine” in
frequenza (legata a Δf). Per un segnale multifrequenziale, interferenza armonica è
il fenomeno che si manifesta quando i campioni spettrali relativi alla i-esima
armonica dipendono anche da quelli delle altre componenti (vedi figura).
Contributo del 2° lobo
sul 1° tono spettrale
Contributo del 1° lobo
sul 2° tono spettrale
Può essere molto dannoso in quanto toni forti possono nascondere toni deboli.
Cause di errore nella DFT (3/3)
Esempio dell’effetto combinato dell’Interferenza Armonica e
dello Spectral Leakage su un segnale con due sole armoniche.
6
Metodi tradizionali per la stima dei parametri
dei segnali nel dominio della frequenza
 Metodi d’interpolazione mediante parametri energetici
(Energy based-paramethers algorithms).
– Si basano sulla valutazione di alcuni parametri relativi all’energia delle
componenti spettrali, da cui, applicando le proprietà della DFT, si
ricavano le stime di δi , Ai e φi. Questi parametri si calcolano su pochi
campioni locati nella banda B=[-K,K].
Ρ Risentono molto dell’Interferenza Armonica (hanno un
comportamento a soglia per d<9bin le stime non sono affidabili).
 Metodi basati sull’uso di Stimatori:
– MLE (Maximal Likelihood Estimator)
– LSM (Least Square Method)
Ρ Necessitano la conoscenza a-priori del modello d’analisi.
 Interpolated FFT:
– IFFT su due punti (IFFT2p)
– IFFT con interpolazione su più punti (WIFFT)
» IFFT3p (three-points IFFT)
» IFFT5p (five-points IFFT)
7
IFFT (1/2)
Lo spettro d’ampiezza di un segnale con P componenti frequenziali:
è caratterizzato da P picchi, se non ci sono toni nascosti.
Il picco corrispondente all’i-esimo tono frequenziale può essere identificato con l’indice ki
Si ha quindi che la stima della frequenza è data dalla conoscenza di:
Con la tecnica IFFT (Interpolated FFT) si realizza un’interpolazione dei campioni della
DFT, basata sullo spettro della finestra. In particolare l’IFFT classica, quella su due punti
(2-points IFFT o IFFT2p), determina le componenti frequenziali, considerando solo i due
più alti campioni corrispondenti al picco dello spettro.
La IFFT stima δi considerando il rapporto αi tra questi due
campioni:
ki-1 ki
ki+1
ki-1 ki
ki+1
8
IFFT (2/2)
Per la finestra di Hanning abbiamo:
IFFT con interpolazione su più punti
Una delle varianti principali dell’algoritmo di IFFT è l’interpolazione dell’FFT su
un numero variabile di punti (Weighted Multipoint Interpolated FFT), in
particolare noi consideriamo quella su tre e su cinque punti (IFFT3p e IFFT5p).
In questo caso δ può essere ricavato nel seguente modo:
IFFT3p
IFFT5p
9
Algoritmo Proposto: IFFTc (1/2)
Le formule di interpolazione viste sono state determinate considerando del tutto trascurabile
l’interferenza armonica. Se questa non è più trascurabile le relazioni non sono più valide. Si
consideri il segnale x(t), i campioni spettrali del segnale finestrato sono dati da:
Evidenziando in queste relazioni i contributi di interferenza sull’i-esima componente spettrale
dovuti alle P-1 componenti del segnale otteniamo:
I contributi dell’interferenza armonica trascurati nell’IFFT possono essere eliminati
dalle formule d’interpolazione.
Per poter quindi stimare le caratteristiche del segnale si può far riferimento al
coefficiente α “corretto”:
10
Algoritmo proposto: IFFTc (2/2)
Le equazioni per la stima dei parametri delle componenti spettrali vanno modificate
ottenendo le relazioni:
ALGORITMO IFFTc
1. IFFT2p
– Ad ogni picco dello spettro d’ampiezza del segnale si applica IFFT2p per stimare la
frequenza, ampiezza e fase della corrispondente componente spettrale non
considerando gli effetti dell’Interferenza Armonica. (per ogni i: fi , Ai , i )
2. Correzione
– Usando le stime ottenute al passo precedente si determina per ogni picco i fattori di
correzione usando i due campioni dell’IFFT. (per ogni i: Fi e Bi )
3. IFFT2p sui campioni corretti
– In questo modo le frequenze, ampiezze e fasi calcolate risultano corrette dall’effetto
dell’Interferenza Armonica. (per ogni i: fic , Aic , ic )
11
Verifica Procedura (1/2)
 Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato
confrontato con i metodi tradizionali:
–
–
–
–
Metodi Basati sul calcolo di parametri energetici (Energy)
IFFT o IFFT2p
IFFT3p
IFFT5p
 Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze:
IFFT
2p
IFFT
c
IFFT
3p
IFFT
5p
Energy
Method
 È stato analizzato il caso di un segnale con:
– due toni
– tre toni
– P toni
12
Verifica Procedura (2/2)

Segnale in ingresso con due soli toni:
con fdx = fsx+ d12f ; fs=800

Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su:
– Frequenza f o sul δ
– Ampiezza
– Fase

Analisi al variare:
»
»
»
»
»
Frequenza (fsx , fdx)
Distanza tra i toni (d12)
Ampiezza (Asx , Adx)
Fasi iniziali (φsx , φdx)
Punti della DFT (N)
13
Analisi al Variare della frequenza
Asx=Adx=100 ; sx=dx=0 ; d12=5 ; N=256 ;
fsx variabile da fsx=5 ad fsx=115.
Errore su sx
6·10-3
6
Errore su dx
1·10-
Errore sul delta armonica sinista
-3
x 10
3
IFFT
IFFT corretta
0
valore assoluto errore in freq armonica dx
errore sul delta armonica sx
x 10
IFFT
IFFT corretta
5
4
3
2
1
0
-1
Errore in freq. armonica destra
-3
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
20
40
60
fsx
80
100
120
-6
0
20
40
60
80
100
120
140
fsx
L’errore non dipende dalla frequenza ma solo dal , quindi i valori di f possono essere
mantenuti costante sia per IFFT che IFFTc
IFFT
IFFTc
14
Analisi al Variare della distanza
tra i toni (1/2)
Asx=Adx=100 ; sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf
d12 variabile da d12 =3 a d12 =20.
Errore su fsx
0.08
Errore in freq. armonica sinistra
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
IFFT5p
Energy
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
Errore in ampiezza armonica sinistra
1
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
IFFT5p
Energy
0.9
valore assoluto errore in ampiezza armonica sx
0.08
valore assoluto errore in freq armonica sx
1
Errore su Asx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4
6
8
10
12
14
16
18
20
d12
d12
Anche per la stima della fase si ottengono risultati analoghi.
Il metodo basato sull’energia ha come detto all’inizio un comportamento a soglia.
Per la WIFFT bisogna tener conto del numero di punti di interpolazione e della distanza in bin dei toni.
IFFT
IFFTc
IFFT3p
IFFT5p
Energy
15
Analisi al Variare della distanza
tra i toni (2/2)
Errore su fdx
0.09
Errore in freq. armonica dx
0.09
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
IFFT5p
Energy
valore assoluto errore in ampiezza armonica dx
0.9
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
Errore in ampiezza armonica destra
0.9
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
IFFT5p
Energy
0.08
valore assoluto errore in freq armonica destra
Errore su Adx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
4
6
8
10
12
14
16
18
0
20
d12
4
6
8
10
12
14
16
18
20
d12
L’errore sia sulla stima della frequenza che dell’ampiezza con IFFTc è
ridotta rispetto a tutti gli altri metodi di due ordini di grandezza.
IFFT
IFFTc
IFFT3p
IFFT5p
Energy
16
Analisi al Variare dell’ampiezza (1/2)
sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; N=256 ; d12 =3 ;
Asx variabile da Asx=1 ad Asx=100 ; Adx=100 ;
Errore su fsx
Errore su Asx
1.4∙10-2
2.5
Errore in freq. armonica sinistra
Errore in freq. armonica destra
2.5
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
0.012
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
valore assoluto errore in freq armonica dx
valore assoluto errore in freq armonica sinistra
0.014
0.01
0.008
0.006
0.004
2
1.5
1
0.5
0.002
0
0
10
20
30
40
50
60
Adx/Asx
IFFT
IFFTc
IFFT3p
70
80
90
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Adx/Asx
17
Analisi al Variare dell’ampiezza (2/2)
Errore su fdx
1.4·10-3
Errore in ampiezza armonica sinistra
-3
x 10
0.25
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Errore in ampiezza armonica destra
0.25
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
valore assoluto errore in ampiezza armonica dx
valore assoluto errore in ampiezza armonica sx
1.4
Errore su Adx
10
20
30
40
50
60
Adx/Asx
70
80
90
100
IFFT
IFFT corretta
IFFT3p
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Adx/Asx
Come atteso, gli errori incrementano sulla seconda sinusoide e decrescono
sulla prima, mentre Asx cresce; infatti il tono più grande interferisce di più ed è
meno suscettibile di quello piccolo.
IFFT
IFFTc
IFFT3p
18
Analisi al Variare della fase
Asx=Adx=100 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; d12 =5 ; N=256 ;
sx variabile da sx=0 a sx=2π ; dx =0.
Errore su fsx
0.016
Errore su Asx
0.12
Errore in freq. armonica sinistra
Errore in ampiezza armonica sinistra
0.12
IFFT
IFFTc
IFFT3p
0.014
IFFT
IFFTc
IFFT3p
valore assoluto errore in ampiezza armonica sx
valore assoluto errore in frequenza armonica sx
0.016
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.002
0
0
50
100
150
200
250
fase
300
350
400
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
fase
Si osserva che per ambedue i toni gli errori massimi della IFFT e IFFT3p si hanno per
sx=0 e per sx= ; l’effetto sistematico residuo della IFFTc e molto più piccolo di
quello della IFFT e IFFT3p, anche se ha lo stesso comportamento.
IFFT
IFFTc
IFFT3p
19
Analisi al Variare di N
Asx=Adx=100 ; sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; d12 =20 ;
N={128 , 256 , 512 , 1024 , 2048}.
Errore su fsx
Errore su Asx
3·10-4
0.018
Errore in freq. armonica sinistra
-4
x 10
valore assoluto errore in ampiezza armonica sx
valore assoluto errore in freq armonica destra
2
Errore in ampiezza armonica sinistra
0.018
IFFT.256
IFFTc.256
IFFT3p.256
IFFT.512
IFFTc.512
IFFT3p.512
IFFT.1024
IFFTc.1024
IFFT3p.1024
IFFT.2048
IFFTc.2048
IFFT3p.2048
3
1
IFFT.256
IFFTc.256
IFFT3p.256
IFFT.512
IFFTc.512
IFFT3p.512
IFFT.1024
IFFTc.1024
IFFT3p.1024
IFFT.2048
IFFTc.2048
IFFT3p.2048
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0
24
4
6
8
d12
10
12
14
16
18
20
22
24
d12
La variabilità con IFFTc è ridotta rispetto agli altri metodi per tutti i valori di N.
IFFT
IFFTc
IFFT3p
**
IFFT
*
IFFTc
*
IFFT3p
IFFT
IFFTc
IFFT3p
N=256
N=256
N=256
N=512
N=512
N=512
N=1024
N=1024
N=1024
+*
IFFT
+
IFFTc
+
IFFT3p
N=2048
N=2048
N=2048
20
Analisi per tre toni (1/2)

Segnale con tre toni:
con fcen = fsx+ d12f ; fdx = fcen+ d23f ; fs=800

È stata valutata la dipendenza da:
–
–
–
–
–

Frequenza (fsx , fcen , fdx)
Distanza tra i toni (d12 , d23 )
Ampiezza (Asx , Acen , Adx)
Fasi iniziali (φsx , φcen , φdx)
Punti della DFT (N)
Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche
ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica
risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti.
21
Analisi per tre toni (2/2)
Asx=Acen=Adx=100 ; sx=cen=dx =0 ; fsx=110; N=1024;
fs=800; d12 =d23 =d variabile da d=3 a d=20.
Errore sulla stima della frequenza
Errore sulla stima dell’ampiezza
Errore
Erroresulla
sullastima
stimadell’ampiezza
della frequenza
Errore
Errore
sulla
sulla
stima
stima
dell’ampiezza
dell’ampiezza
0.04
0.4
0.04
0.4
0.03
IFFT
1 arm.
1 arm.
2 arm.
2 arm.
0.3
3 arm.
3 arm.
IFFT
0.02
0.01
0
2 arm.
2 arm.
3 arm.
3 arm.
0.1
0
0
0
d
0
0.06
0
0
0
d
0.4
1 arm.
1 arm.
0.04
2 arm.
2 arm.
0.3
3 arm.
3 arm.
IFFT3p
0.02
1 arm.
1 arm.
2 arm.
2 arm.
3 arm.
3 arm.
0.2
0.1
0
0
0
0
0
0
d
-3
x 10
3·10-33
2
0
0.4
0.06
IFFT3p
1 arm.
1 arm.
0.2
0
0
d
0.01
0.01
1 arm.
1 arm.
2 arm.
2 arm.
3 arm.
3 arm.
1 arm.
IFFTc
IFFTc
2 arm.
3 arm.
0.005
1
0
0


IFFT
0
0
d
0
0
0
0
0
d
L’armonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure).
Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori.
IFFTc
IFFT3p
22
Analisi per P toni

Il segnale in analisi è:

Sono state effettuate prove per P=4 , P=5 , P=10 e P=20.
Per questi valori di P sono state nuovamente effettuate le
simulazioni viste nel caso di due e tre toni.
Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle
precedenti.
Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce
l’interferenza di P-1 toni adiacenti.
L’algoritmo IFFTc è meno influenzato dall’aumento di P
infatti a differenza degli altri metodi non c’è la
sovrapposizione degli effetti dell’interferenza e un
conseguente degrado della stima.




23
Incertezza


Per i metodi analizzati l’incertezza è stata valutata
con un approccio di tipo “white box”.
Metodo “white box”:
– Analisi teorica
» si applica la legge di propagazione delle incertezze alle
relazioni ricavate dalla teoria.
– Verifica numerica
» si fa lavorare il software su dati di un modello in grado di
simulare i segnali reali.
– Validazione sperimentale
» si passa a lavorare su segnali reali.
La sorgente di incertezza considerata è il rumore che viene introdotto
nella fase di conversione A/D, che è la causa di incertezza principale
nelle valutazioni di interesse.
I risultati sperimentali presenti in letteratura evidenziano infatti che la principale fonte di incertezza
nell’algoritmo della DFT risulta essere la quantizzazione seguita dal jitter il che permette di non
considerare le altre fonti di errore.
24
Propagazione Incertezza (1/3)
Algoritmo di IFFT
Alle formule ricavate per IFFT è stata applicata la legge di propagazione
dell’incertezza (UNI CEI 9) ottenendo per αi , δi , fi ed Ai le seguenti
espressioni per l’incertezza:
25
Propagazione Incertezza (2/3)
Metodo basato sull’Energia
Alle formule per il metodo basato sull’Energia è stata applicata la legge di
propagazione dell’incertezza ottenendo:
IFFT con Interpolazione su più punti
Con approccio simile è stato caratterizzato dal punto di vista metrologico anche
l’algoritmo IFFT con interpolazione su più punti. Si può osservare che:
IFFT3p ha un’incertezza minore di quella di IFFT5p ma maggiore di IFFT2p
IFFT5p presenta un’incertezza maggiore di IFFT3p e IFFT2p
26
Propagazione Incertezza (3/3)
IFFTc

Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava l’incertezza su δi :

Per quanto concerne l’incertezza su αic questa dipende dall’incertezza sui
campioni Xg(ki) e Xg(ki+1) e dall’incertezza sui fattori di correzione Fi e Bi. Si
dimostra che quest’ultime possono essere trascurate
Incertezza su δi e δic
-5
7.6·107.6- x 10
5
Incertezza su δi e δic
Incertezza su delta
3.5·10-
x 10
IFFT.rum
IFFTc.rum
7.4
4
-4
Incertezza su delta
3.5
7.2
3
6.8
Incertezza su delta
Incertezza su delta
7
6.6
6.4
6.2
2.5
2
1.5
6
5.8
1
IFFT.rum
IFFTc.rum
5.6
16
18
20
22
24
26
28
d
IFFT + rumore
16
18
20
22
24
26
28
d
IFFTc + rumore
27
Incertezza tipo della frequenza
Come specificato dalla norma: “l’incertezza descrive completamente
l’affidabilità di una misura solo se il risultato è corretto da tutti gli effetti
sistematici, i quali determinano uno scostamento del valore misurato da quello
del valore vero convenzionale e che significativamente influenzano le stime”.
A tal fine si definisce una nuova variabile
dove i è restituito dallo specifico algoritmo e E tiene conto dell’errore
residuo. In particolare, E è una variabile casuale a valor medio nullo (che
di conseguenza non altera il valore stimato dall’algoritmo) e con una dev.
st. relativa all’errore residuo.
L’incertezza di
deve essere valutata come
è l’incertezza sul valore  stimato
è l’incertezza dovuta all’errore residuo ed è uguale alla deviazione
standard della variabile casuale E .
28
Confronto Incertezze (1/2)
L’incertezza dovuta all’errore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di
segnali simili. In particolare, dato che l’analisi esposta precedentemente mostra che l’errore residuo
dipende principalmente dai dij, i set di prova sono stati realizzati variando 1 in [-0.5, 0.5], 2 in
[-π/2, π/2], e anche dij è stato fatto variare in [d0–0.5, d0+0.5]. In Tabella sono riportati i valori delle
dev. st. rispetto a d0, per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati.
N=256 ; f1=N/4+
N=256 ; f1=N/4+
IFFT
c
IFFT
3p
IFFT
5p
Energy
d0
IFFT
2p
1.3E-1
4
2.5E-2
8.8E-5
1.9E-2
9.8E-2
2.4E-1
1.2E-3
5.7E-1
5
1.2E-2
2.0E-5
6.3E-3
1.2E-2
4.5E-1
5.5E-4
4.3E-4
5.4E-1
6
6.6E-3
6.2E-6
2.7E-3
2.8E-3
1.07
2.4E-6
2.8E-4
2.2E-4
3.2E-2
7
4.1E-3
2.4E-6
1.4E-3
1.2E-3
4.8E-1
5.5E-4
1.1E-6
1.6E-4
1.3E-4
5.4E-4
8
2.7E-3
1.1E-6
7.8E-4
6.6E-4
1.4E-2
9
3.8E-4
5.3E-7
9.8E-5
8.5E-5
9.6E-5
9
1.9E-3
6.1E-7
4.8E-4
4.3E-4
1.5E-3
10
2.8E-4
2.9E-7
6.3E-5
5.9E-5
4.7E-5
10
1.4E-3
4.5E-7
3.1E-4
2.9E-4
3.8E-4
11
8.3E-5
1.1E-7
1.2E-5
1.5E-5
1.2E-5
11
4.0E-4
5.3E-7
5.9E-5
7.5E-5
4.1E-5
12
4.1E-5
1.4E-7
4.7E-6
7.0E-6
9.1E-6
12
2.0E-4
7.0E-7
2.3E-5
3.5E-5
2.0E-5
IFFT
c
IFFT
3p
IFFT
5p
Energy
d0
IFFT
2p
4
5.0E-3
8.8E-5
4.0E-3
1.6E-2
5
2.4E-3
2.0E-5
1.3E-3
6
1.3E-3
6.3E-6
7
8.3E-4
8
29
Confronto Incertezze (2/2)
N=256 ; f1=N/4+
N=256 ; f1=N/4+
IFFT
c
IFFT
3p
IFFT
5p
Energy
d0
IFFT
2p
4
5.0E-2
8.8E-5
3.6E-2
2.0E-1
2.5E-1
5
2.4E-2
2.0E-5
1.2E-2
2.7E-2
3.0E-1
6
1.3E-2
6.2E-6
5.4E-3
8.0E-3
1.08
4.8E-1
7
8.2E-3
2.4E-6
2.8E-3
2.8E-3
9.0E-1
6.6E-4
1.4E-2
8
5.4E-3
1.2E-6
1.6E-3
1.4E-3
5.3E-2
4.8E-4
4.3E-4
1.5E-3
9
3.8E-3
8.2E-7
9.6E-4
8.7E-4
6.2E-3
4.5E-7
3.1E-4
2.9E-4
3.8E-4
10
2.8E-3
7.6E-7
6.3E-4
5.9E-4
1.4E-3
4.0E-4
5.3E-7
5.9E-5
7.5E-5
4.1E-5
11
6.7E-4
1.2E-6
9.2E-5
1.2E-4
6.5E-5
2.0E-4
7.0E-7
2.3E-5
3.5E-5
2.0E-5
12
4.0E-4
1.4E-6
4.7E-5
6.9E-5
3.6E-5
IFFT
c
IFFT
3p
IFFT
5p
Energy
d0
IFFT
2p
4
2.5E-2
8.8E-5
1.9E-2
9.8E-2
2.4E-1
5
1.2E-2
2.0E-5
6.3E-3
1.2E-2
4.5E-1
6
6.6E-3
6.2E-6
2.7E-3
2.8E-3
1.07
7
4.1E-3
2.4E-6
1.4E-3
1.2E-3
8
2.7E-3
1.1E-6
7.8E-4
9
1.9E-3
6.1E-7
10
1.4E-3
11
12
Come si può vedere, IFFTc è caratterizzata da un E molto più basso di quello
degli altri metodi (fino a 2-3 ordini di grandezza); anche la variabilità con d e N
è notevolmente ridotta.
30
Esempi di Incertezza Combinata (1/2)
Per quantificare meglio il contributo del E all’incertezza totale è necessario introdurre alcuni
parametri riguardanti la configurazione hardware (Nbit , Vfs , del convertitore A/D), la condizione
operativa del convertitore (N) come anche le caratteristiche del segnale d’ingresso.
4·10-4
3·10-5
u i
0
4
6
8
10
0
d12
12
-3
2·10
14
16
18
d12
4
6
8
10
0
12
d12
1·10-3
14
16
18
d12
14
16
18
d12
0.4
0
0.4
0
0
4
IFFT
6
8
10
IFFTc
d12
12
IFFT3p
Fig. (a)
31
Esempi di Incertezza Combinata (2/2)
4·10-5
2·10-3
Prove al variare di:
(a) d12 con N e Nbit fissi
0
(b) N con d12 e Nbit fissi
0
128 256
512
1024 2048
N
1.5·10-3
0
128 256
-4
6·10
6
7
8
9
10
11
Nbit
7
8
9
10
11
Nbit
7
8
9
10
11
Nbit
2·10-3
(c) Nbit con d12 e N fissi
0
512
1024 2048
6
N
2·10-3
0
0
128 256
512
1024 2048
N
Fig. (b)
IFFT
IFFTc
6
Fig. (c)
IFFT3p
32
Metodo per la risoluzione di
toni nascosti
Esempio: Presenza di toni nascosti
33
Idea alla base del nuovo metodo
Segnale con toni nascosti
Spettro Ricostruito
60
60
50
40
50
Ricompare il Tono Nascosto
30
40
30
Spettro Ricostruito
20
20
60
10
0
10
110
120
130
140
150
Spettro
0
160
Ampiezza
110
120
130
-
50
140
150
160
140
150
160
150
160
-
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
Spettro Ampiezza
40
Spettro
30
0
110
120
130
20
10
0
105
140
150
0
160
IFFTc
110
120
130
=
=
0.1
0.5
0.09
0.45
0.08
0.4
0.07
0.35
0.06
0.3
0.05
0.25
0.04
0.03
0.2
110
115
120
125
130
f
0.02
140
0.1
0.01
0
105
135
0.15
0.05
110
115
120
125
130
135
140
145
150
0
Spettro
145
150
differenza
110
120
130
140
34
Conclusioni
Dall’esame dei risultati si evidenzia che:
– Errore Residuo
» L’errore residuo presentato da IFFTc è sempre minore di quello
presentato dagli altri metodi.
» Mentre i metodi tradizionali risentono del variare delle
caratteristiche dei segnali in ingresso, soprattutto alla distanza
tra i toni, IFFTc è poco sensibile alle specifiche caratteristiche
del segnale.
» IFFTc restituisce quindi stime più accurate.
– Incertezza
» Nel confronto si è tenuto conto oltre alla variabilità dei risultati
forniti anche dell’errore residuo che va ad aumentare,
opportunamente combinato, l’incertezza del risultato finale.
» L’algoritmo proposto presenta i valori di incertezza più bassi per
ogni genere di segnali in ingresso.
35
Sviluppi Futuri

Messa a punto e caratterizzazione metrologica
della tecnica per la misura dei parametri dei
segnali anche in presenza di toni nascosti.

“Intelligent FFT-Analyzer”:
realizzazione di uno strumento di misura che
impiega le relazioni ottenute per fornire in tempo
reale le caratteristiche dei segnali con la loro
incertezza.
36