Università de L’AQUILA
CORSO DI MICROZONAZIONE SISMICA
Simulazioni numeriche per valutare l’ amplificazione
locale

Descrizione del fenomeno e impostazione del problema del
calcolo dell’amplificazione locale.

Influenza dei parametri più significativi

Propagazione 1D


Metodo SHAKE, definizione di moto di riferimento, effetto dei parametri.
Metodo PHAKE, analisi dinamica probabilistica
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
1
Rottura della crosta terrestre e generazione
delle onde sismiche
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
2
Tipiche registrazioni per un evento registrato
a grande distanza
Nelle analisi onde di un solo tipo
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
3
In situazioni reali il moto prima di arrivare in superficie si modifica
per effetto delle discontinuità di materiale e per la geometria.
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
4
Caso di Cesi durante il terremoto dell’Umbria-Marche
Terremoto dell’Umbria-Marche, sett-ott. 1997
V
SOFT SOIL
Recent sand-clay deposits
0 - 10 m: VS = 80 ÷ 100 m/s
10 m – valley floor: VS = 200 ÷ 400 m/s
G
CESI VILLA

I  VII MCS
Minor damages
Accelerometric
station
CESI BASSA
I  IX MCS
Severe damages
Collapses
Accelerometric
station
~ 60 m
Bedrock
VS = 1000 ÷ 2000 m/s
~ 35 m
~ 350 m
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
5
Registrazioni SSN 7.10.97
1.50
MONTE - NS
NS
accelerazione (g/10)
1.00
VALLE - NS
0.50
0.00
-0.50
-1.00
Registrazioni SSN 7.10.97
-1.50
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
1.50
te m po (s )
MONTE - EW
VALLE - EW
EW
Le registrazioni della rete
mobile del SSN della
scossa del 7.10.97
Cesi Valle: linea rossa
Cesi Monte : linea blu
accelerazione (g/10)
1.00
0.50
0.00
-0.50
-1.00
-1.50
0.0
Tito Sanò
1.0
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
2.0
3.0
tempo (s)
4.0
5.0
6.0
6
Caso di Cesi durante il terremoto dell’Umbria-Marche
Terremoto dell’Umbria-Marche, sett-ott. 1997
CESI - 7.10.97 SSN - Spettri di risposta d=0.05
6.0
QUADRO RIEPILOGATIVO
Monte EW
Valle EW
Monte NS
Valle NS
V/M
2.75
1.98
3.82
PGA
(g/10)
PGV
(cm/s)
EW
NS
UP
1.17
1.87
0.68
3.80
4.82
2.25
3.25
2.58
3.32
EW
IH 0.1-0.5NS
(cm)
UP
0.96
1.41
0.45
4.13
4.76
1.39
4.29
3.38
3.12
2.0
EW
IH 0.1-2.5NS
(cm)
UP
2.80
3.27
1.18
8.99
10.25
3.65
3.21
3.14
3.09
1.0
Arias
(cm/s)
EW
NS
UP
5.02
8.03
2.50
72.82
81.07
27.78
14.50
10.10
11.12
4.0
PSA (g/10)
MONTE VALLE
0.51
1.41
0.70
1.39
0.29
1.11
EW
NS
UP
5.0
3.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Periodo (s)
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
7
Misure dello scuotimento – gli spettri di risposta elastici
Misure dello scuotimento – gli spettri di risposta elastici
Dalle ordinate spettrali
si riesce ad avere
immediatamente
un’idea delle
caratteristiche delle
strutture maggiormente
sollecitate dall’evento
Da Seed & Idriss, 1982
TERREMOTO DI KOBE 17 gennaIo 1995
(5:46 ora locale)
Magnitudo:
Ms=7.2 (stima giapponese)
Ms=6.8- 7.0 (USA)
Località epicentrale:
isola di Awaji-Shima
Profondità focale:
circa 12 Km
Faglia responsabile:
Nojima Rokko Fault
Lunghezza rottura faglia:
circa 50 Km
Tipo di rottura:
intraplacca.
Max PGA:
0.8g (Osaga Gas)/0.82g(Ceorka)
Max PGV:
55 cm/s(KobeUniv.)
Max PGD:
circa 24 cm
Area interessata ai danni:
circa 20.000 Km2
Numero di abitanti interessati:
circa 20.000.000
Morti:
circa 5500
Feriti:
più di 24.000
Senzatetto:300.000( al21/01/95) 250.000 (al 7/02/95)
Abitazioni danneggiate:
circa 400.000
Danni stimati:
113 miliardi di dollari
Terremoto di Kobe (1997)
M=7.2
5000 morti
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
12
Mappa dei danni nella città di Kobe
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
13
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
14
Terremoto di Kobe (1997)
Sezione perpendicolare alla costa
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
15
Accelerogrammi registrati a Kobe
Su roccia in prossimità della faglia.
Su terreno soffice a pochi km dal mare
e dalla prima stazione accelerometrica.
Su terreno soffice, ma più profondo,
vicino al porto.
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
16
Isola del porto
H=0
H=16
H=32
H=81.
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
17
Posizione degli accelerometri
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
18
q=16
q32
q81
Spettri diFoglio1
risposta
1400
1200
Z=16 m
Z=32 m
1000
800
Z=81m
600
400
Z=0 m
200
0
0.01
0.1
1
10
periodo (s)
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
19
Terremoto del Messico 19-sett.-1995 M=8.1
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
20
Città del Messico
Spettri medi nelle tre zone
VERO- FALSO
Si
•I danni recati dal terremoto diminuiscono
sempre con la distanza epicentrale
•Un terreno soffice amplifica sempre il moto
•Il moto amplificato ha una durata maggiore
•Al diminuire dello spessore dello strato
cresce il contenuto delle alte frequenze
•La presenza di un rilievo porta sempre
un’ amplificazione
•Il moto su terreno soffice presenta un contenuto
energetico maggiore nei periodi più lunghi
•Il moto verticale risente molto di meno della
non linearità
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
No
x
x
x
x
x
x
x
23
Impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione locale
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
24
Impostazione del problema del calcolo dell’amplificazione
locale
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
25
Schemi 1D
• Schema SHAKE
• Caso di un’onda di frequenza w su uno
strato
• Effetto della non linearità e degli altri
parametri
• Metodo MASH, NERA, SUMDES,
DESRA,….
• PSHAKE
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
26
Schema 1D (SHAKE)
X2
X1,x
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
27
Trasformata di Fourier
Per le funzioni periodiche di periodo T0
si può scrivere:

F (t )   An  cos(nw 0 t )  Bn  sen(nw 0 t )
0
(b)

dove
F (t )   C  e
 n
ωo = 2πf = 2π/T0 o in maniera equivalente
(a)
Essendo
e iz  cos(z )  i  sen( z )
T0 / 2
C
e Cn un numero complesso.
 (1 / T )  F ( t )  e
n
T / 2
 inw 0 t
dt
0
1 
iw  t dw
f (t ) 
 f (w )  e
2  
Tito Sanò
inw o t
f (w ) 
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL


f (t )  e iw t dt

28
Descrizione del comportamento di un corpo
deformabile mediante analisi
Viene descritto, per un solido ad una sola fase, mediante
1. Le equazioni di equilibrio di un elemento di volume
2. La congruenza, cioè la condizione che gli elementi
di volume non si compenetrino, né si separino.
3. Equazioni di elasticità
4. Le condizioni al contorno.
1.
 i 1   i 2  i 3
d 2Ui


 Fi  
x1
x 2
x 3
dt 2
i=1,2,3
è un sistema di equazioni differenziali nello spazio e nel tempo.
Se si fa il calcolo della trasformata di Fourier di tutte le variabili
esistenti nell’equazione la variabile tempo scompare e il secondo
membro diventa:
d 2U i ( t )
2

dt 2
    w U i (w )
e l’equazione diventa algebrica per quanto riguarda la variabile tempo.
Caso 1D-> 2D
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
29
Caso di un solo strato ed un’onda di frequenza w
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
30
 i 1
 i 2
 i 3
d 2Ui


 Fi  
x1
x 2
x 3
dt 2
i=2
 21  0

0
x1
Tutte le grandezze dipendono solo da x1 e solo  21  
Ignorando le forze di volume Fi l’equazione precedente si scrive:
d 21 d
d 2U

 2
dx1
dx
dt
 G
E tenendo conto della relazione tra sforzi e
deformazioni:
dU
 G 
dx
Si ottiene l’equazione finale
dG (x)  (x, t )
d 2 U(x, t )
 ( x )
dx
dt 2
dG (x)  (x, w)
 (x)  w 2  U(x, w)
dx
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
31
U
x
iw (t  )
V
Ae
Incidente
V

x
iw (t  )
V
Be
riflessa
G

U  A e
x
i w
x
V
 e iwt  B  e
In superficie:
A=B
 i w
x
V
 e iwt
=0
2 
w  2   f 
T
Raddoppio dello spostamento
x
iw t
U  2 A  cos(w )  e
V
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
32
U  2 A  cos(w
x
)  eiw t
V
In un terreno omogeneo e senza smorzamento si ha
•Per tutte le onde il valore massimo si ottiene in superficie
indipendentemente dalla frequenza e dagli altri parametri.
•Gli altri massimi si ottengono a profondità differenti a
seconda di ω e Vs.
•Esistono delle profondità x per le quali lo spostamento è
sempre nullo (nodi dell’oscillazione). Ciò dipende da ω e Vs e
avviene quando ωx/Vs=(2n-1) π/2. La prima profondità, n=1,
è h=Vs/(4f). Come si vede tale profondità aumenta al crescere
della rigidezza del terreno, cioè di Vs, e tende all’infinito per
rigidezze molto grandi.
•Solo per Vs tendente all’infinito lo spostamento è costante con la profondità.
•Lo spostamento totale, inteso come somma delle singole onde, ha in genere il suo valore
massimo in superficie.
•A qualsiasi profondità h lo spostamento totale ha sempre una onda mancante, quella con
frequenza f=Vs/(4h) e quindi non può essere uguale al moto in superficie.
•Per onde S (P) incidenti perpendicolarmente alla superficie in un semispazio indefinito
omogeneo, l’ampiezza delle onde in superficie è il doppio di quelle incidenti.
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
33
Nel caso dello strato singolo è noto
A1=A
Incognite: A2, B2, B1
Esistono tre condizioni:
•Sulla superficie libera 0, cioè:
A2=B2
All’interfaccia:
• continuità del taglio 
• continuità dello spostamento U
Questo permette di calcolare A2=B2
e B1. Si ottiene pertanto:
2 A2 A2
 
2 A A1
1
w
2
2 w
cos ( H )  q sen ( H )
V2
V2
 f (w ) = funzione di
2
amplificazione
 2 V 2
q
 1 V 1
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
34
2 A2 A2
 
2 A A1
Il valore massimo del rapporto si ha quando:
w
sin( H )  1
V2
cioè
4 H
T1 
V2
w
w
cos ( H )  q 2 sen 2 ( H )
V2
V2
 f (w )
2
V2
w  (2n  1)2
4 H
V2
f1
4 H
A2 max
A2 max = A/q
nel caso di smorzamento
Tito Sanò
1
A2max
1  V1
A
 2  V2
1
A
( 2n  1)   .
q
2
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
35
Funzione di Amplificazione
A2 max
Caso di: V2=100, V1=1000, H=10
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
1   2
1  V1
A
 2  V2
V2
f1
4 H
36
VERO- FALSO
Si
•In una roccia omogenea infinita esiste una profondità
in cui il moto sismico è uguale a quello in superficie
• Il moto su roccia alla base di un terreno soffice
è uguale a quello sulla stessa roccia in superficie
•L’ampiezza del moto orizzontale incidente sulla
superficie è uguale alla metà di quello ivi registrato
•L’amplificazione dipende dal rapporto delle Vs tra
terreno rigido di base e quello soffice.
•La massima amplificazione non dipende dal periodo
naturale degli strati di terreno.
•Il periodo naturale di uno strato di terreno cresce al
crescere dello spessore
•Il valore massimo della funzione di amplificazione
non dipende dalla frequenza
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
No
x
x
?
x
x
x
?
37
Effetto della non linearità
Variazione del modulo di taglio con la deformazione
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
38
Variazione dello smorzamento con la deformazione
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
39
Procedura di calcolo
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
40
SCHEMA DI CALCOLO DI SHAKE
1.
2.
3.
TRASFORMATA DI FOURIER DELL'ACCELEROGRAMMA
DI INPUT =Ac(ω)
CALCOLO DELLA FUNZIONE DI AMPLIFICAZIONE = f( ω)
RISPOSTA IN SUPERFICIE E NEI VARI STRATI
R(ω)=f(ω)*Ac(ω)
2 A2 A2


2 A A1
3.
4.
5.
1
cos 2 (
w
w
 f (w )
H )  q 2 sen 2 ( H )
V2
V2
CALCOLA DELL'ANTITRASFORMATA DI R(ω)->R(t)
CALCOLO DELLE DEFORMATE E DEI NUOVI PARAMETRI.
EVENTUALE ITERAZIONE RITORNANDO AL PUNTO 2
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
41
Validità delle analisi lineari equivalenti
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
42
Considerazioni
x
iw t
U  2 A  cos(w )  e
V
L’ampiezza e massima in
superficie, cioè per x=0
w  2
V
4H
Per
e
x=H
Si ha che U=0 (nel caso
di smorzamento =0.)
Questo è anche vero nello strato soffice, cioè.
Per le frequenze proprie dello strato
dove si hanno i massimi della funzione di amplificazione
Il valore dello spostamento alla base dello strato è uguale
a zero (per smorzamento nullo)
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
43
Moto alla base
spettri di risposta per uno strato singolo
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
44
Effetto della nonlinearità
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
45
Processi stocastici stazionari ed ergodici
R x ( )  lim s   
Tito Sanò
1 s/2
 x r ( t )  x r ( t   )  dt
s s / 2
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
46


 PSD(w )  dw
Valore efficace (valore quadratico medio)

a max  K p  

Valore massimo
Kp  2  ln 2  n  (1  exp( e  log 2n ))
Tito Sanò

Fattore di picco
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
47
PSHAKE
IPOTESI: Accelerogramma è parte di un processo stocastico stazionario. Valgono
le ipotesi della dinamica aleatoria.
• INPUT:
– Densità di potenza PSD(w) sulla roccia affiorante oppure
– Spettro di risposta, probabilità di essere superato e durata. In tal caso il
programma ricava una PSD(w) congruente.
• OUTPUT (alla superficie del terreno soffice o in qualsiasi punto del
terreno
– PSD(w) che è uguale alla PSD(w) di input moltiplicata per il quadrato
della funzione di amplificazione (calcolata come SHAKE)
PSD(w ) out  PSD(w ) inp  f (w ) 2
e
– Spettri di risposta a vari livelli di probabilità di essere superati
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
48
Procedimento di calcolo di PSHAKE
1.
CALCOLO DELLO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA
PSD(ω) A PARTIRE DALLO SPETTRO DI RISPOSTA DEL
MOTO DI INPUT
2.
CALCOLO DELLA FUNZIONE DI AMPLIFICAZIONE = f( ω)
3.
SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA IN SUPERFICIE E NEI
VARI STRATI PSDO(ω)=f(ω)2*PSD(ω)
4.
CALCOLO DELLE DEFORMATE E DEI NUOVI PARAMETRI.
5.
EVENTUALE ITERAZIONE RITORNANDO AL PUNTO 2
6.
CALCOLO DEGLI SPETTRI DI OUTPUT
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
49
Schema MASH o SUMDES etc: analisi non lineari
step by step Le equazioni di equilibrio sono
riscritte ad ogni incremento di tempo
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
50
•Il modello fisico utilizzato è quello a masse concentrate in cui la stratigrafia
è ricondotta ad una serie di masse mi concentrate in corrispondenza della
superficie di separazione di ciascuno strato di spessore hi e collegate tra loro
da molle con rigidezza ki e smorzatori viscosi con coefficienti di smorzamento viscoso ci, in modo da costituire un sistema ad n gradi di libertà.
I parametri del sistema discretizzato sono ricavati dalla densità, dal modulo
di taglio e dal coefficiente di viscosità dell’elemento di volume.
•Vengono scritte le equazioni di equilibrio di ciascuno strato e risolte
simultaneamente ad istanti (passi) successivi.
• L’ipotesi di non linearità dei parametri meccanici prevede il continuo
aggiornamento passo dopo passo delle caratteristiche meccaniche e pertanto
la procedura di calcolo opera nel dominio del tempo.
•I programmi possono lavorare con le tensioni totali oppure con i valori
efficaci. In questo caso l’aggiornamento dei parametri di rigidezza e
smorzamento avviene in relazione all’accumulo di sovrappressione neutra Du.
Variazione della rigidezza e dello smorzamento con la deformazione
Vengono assunti per le relazioni del modulo di taglio e dello smorzamento
in funzione della deformazione tangenziale legami associati; cioè viene
utilizzata un’unica legge t(g) che descrive i rami di carico e scarico del
ciclo di isteresi, legando lo smorzamento alla non linearità.
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
52
Parametri necessari per l’analisi di
amplificazione locale 1-D
• Moto di input su roccia piana affiorante
• Geometria spessori degli strati
• Materiali  velocità onde di taglio Vs = rigidezza
»  Densità
»  smorzamento per piccole deformazioni
»  Curve di degrado = G/Go e
smorzamento in funzione della
deformazione a taglio
Tito Sanò
Le analisi numeriche per la
valutazione della RSL
53