Analisi e gestione del rischio
Lezione 17
Tecniche di mitigazione del rischio
Tecniche di mitigazione del rischio
• Sul mercato si usano diverse tecniche per la mitigazione
del rischio di controparte. L’ispirazione alla base di queste
tecniche risiede fondamentalmente nella struttura dei
mercati di tipo futures-style, basati su tre principi di fondo
– La predisposizione di margini di garanzia
– La rivalutazione (marking-to-market) e la liquidazione di guadagni
e perdite sulle posizioni prima della scadenza del contratto.
– La compensazione di guadagni e perdite su operazioni diverse
• La predisposizione di clausole di mitigazione del rischio di
controparte rendono più complessa la valutazione dei
prodotti finanziari. Purtroppo non esiste molta letteratura
sull’argomento.
Tecniche di mitigazione del rischio
La teoria
•
In principio possiamo pensare a diverse tecniche
di riduzione del rischio di controparte
1. Possiamo far versare un margine alle due controparti
all’inizio del contratto
2. Possiamo rivalutare la posizione a cadenze
giornaliere o settimanali e richiedere il deposito della
perdita come collateral
3. Possiamo accedere a un accordo di netting per cui in
caso di default viene liquidata l’esposizione netta tra
le controparti.
Tecniche di mitigazione del rischio
La pratica
• In teoria tutte le tecniche descritte sopra portano
a una riduzione del rischio di controparte.
• Nella pratica gran parte delle banche utilizzano
l’ISDA Agreement sul netting (punto 3) ed il
Credit Annex che prevede il marking-to-market
periodico delle esposizioni e lo scambio di
collateral (punto 2)
Un semplice esempio
• Riprendiamo il semplice esempio con cui abbiamo iniziato
la nostra analisi: in contratto forward stipulato al tempo 0.
• Sappiamo che il rischio di controparte è
– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo
forward F(0).
– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo
forward F(0).
• Per semplicità assumeremo anche che il sottostante ed il
merito di credito della controparte siano indipendenti.
L’introduzione di un margine
• Assumiamo che le parti si accordino per il versamento di
un margine, sullo stile di un mercato futures, pari a C. In
questo caso le controparti subiscono una perdita in caso di
default solo nel caso in cui il valore del contratto in quella
data sia maggiore di C.
• L’estensione dell’analisi precedente è immediata e il
rischio di controparte è valutato
– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari a F(0) + C.
– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo
forward F(0) – C.
Margine con soglia
• E’ facile realizzare che il rischio di controparte nel caso di
margine con soglia equivale a una posizione corta in un’opzione
con possibilità di reset dello strike, con il reset legato alla
possibilità che la perdita ecceda una data barriera. Sappiamo che
un’opzione di questo tipo è chiamata ladder
• Otteniamo quindi per la posizione lunga,e per ogni t <   T
LgdBfB()Call Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) + H)
• Per la controparte corta avremo invece
LgdAfA()Put Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) – H)
dove fi() è la densità dei tempi di default di i = A, B.
• Il rischio di controparte del contratto sarà ottenuto integrando le
funzioni riportate sopra rispetto a .
L’utilizzo del collateral
• Nella pratica viene utilizzata la tecnica dello scambio di
collateral.
• In particolare:
– A intervalli regolari viene valutata la posizione a prezzi di mercato.
– La controparte per la quale il contratto è out-of-the-money deposita
la perdita come collateral presso la controparte
• In generale lo scambio di collateral avviene per variazioni
oltre una soglia minima. Comunque agli effetti pratici tale
soglia è trascurabile perché è legata a problematiche di tipo
operativo: evitare movimentazioni di cash per ammontari
irrisori.
Rischio di controparte con collateral
• Assumiamo una controparte lunga nel contratto forward, e assumiamo
che al tempo  venga rivalutata la posizione a prezzi di mercato
(marking-to-market).
• Fino al tempo  la perdita a seguito di default della controparte sarà
data da una posizione corta in un’opzione call con strike F(0).
• Nell’ipotesi che la controparte non sia fallita prima di  in cui sia S()
– P(,T)F(0) > 0, l’ammontare verrà depositato come collateral.
• Se assumiamo anche che il collateral renda il tasso privo di rischio dal
tempo  a T abbiamo che in questo caso la perdita da sarà data da
S(T) – S() /P(,T) > 0
Il rischio di controparte con
collateral
•
•
•
Definiamo GB(T) e GB() le probabilità di sopravvivenza
della controparte corta.
Denotiamo inoltre Q( )= Pr(S()  P(,T)F(0))
Al tempo t il rischio di controparte sarà dato da
LgdB(1 – GB()) Call(S,t; F(0),T) +
LgdB(GB() – GB(T)) FSCall(S,; S()/P(,T) ,T) [1 –
Q()] +
LgdB(GB() – GB(T)) Call(S,t; F(0) ,T) Q()
dove FSCall(.) denota un’opzione call forward
start.
Il rischio di controparte
• La valutazione del rischio di controparte implica
in questo caso
1. Un’opzione call con strike F(0) nell’evento che il
default si verifichi prima della data di marking-tomarket 
2. Una opzione forward start at-the-money forward
nell’ipotesi che il default si verifichi dopo  e la
posizione lunga sia in-the-money
3. Un’opzione call con strike F(0) nell’ipotesi che il
default si verifichi dopo  e la posizione lunga sia
out-of-the-money
Opzioni forward start: un richiamo
• Ricordiamo che il valore di un’opzione forward
start con inizio al tempo  e strike S() è uguale
a
• FSCall(S,; S() ,T) =
= exp(–d( – t))Call(S,t; S(t),T – )
dove d è il dividend yield.
• Nel nostro caso, assumendo dato il tasso
d’interesse r, possiamo porre
 = exp(r(T – ))
Reset dello strike price
• Una forma che è in qualche caso utilizzata e che
conduce a una valutazione più semplice è data
dalla liquidazione del contratto su una sequenza di
date {t1,t2,…tn} e dalla riapertura di un altro
contratto con la stessa scadenza T.
• In questo caso il rischio di controparte è
rappresentato da una sequenza di opzioni forward
start, cioè un’opzione ratchet.
Reset dello strike price
• In questo caso il valore del rischio di controparte è
rappresentato da
n
Call S , t ; F 0 , T    FSCall S , ti ; S ti , T 
i 1
n
Call S , t ; F 0 , T    exp  d ti  t Call S , t ; S , T  ti 
i 1
0,07
0,06
0,05
0,04
Collateral
No Collateral
0,03
0,02
0,01
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
0,0007%
0,0006%
0,0005%
0,0004%
No Collateral
Collateral Fixed Term
0,0003%
0,0002%
0,0001%
0,0000%
Daily
Weekly
Quarterly
Semestral
Yearly
Contingent collateral
• Assumiamo che alla controparte sia richiesto di depositare collateral
nel caso in cui il valore del contratto si muova contro di lei di più di H.
Il pay-off sarà
S() – v(,T)F(0) > 0
if S(t) – v(t,T)F(0) < H oer ogni t  
S() – v(,T)(F(0) + H) > 0
if S(t) – v(t,T)F(0)  H per almeno un t  
• Il prezzo del rischio di controparte per la parte lunga è
f() LgdB[DOC(S(t),t; v(,T)F(0), , v(,T)F(0) + H)+
+DIN(S(t),t; v(,T)(F(0)+H), , v(,T)F(0) + H)]
dove f() è la probabilità istantanea di default.
Opzioni ladder: richiamo
• Richiamiamo le tecniche di valutazione utilizzabili per
le opzioni ladder. Almeno nel nostro caso, con una sola
soglia, questa opzione può essere replicata con opzioni
con barriera.
• Abbiamo infatti che:
Opzione ladder (K, H) =
Down(Up)-and-Out(K,H) + Down(Up)-and-In(H,H)
• E’ immediato osservare che nel momento in cui la
barriera viene toccata l’opzione originaria si disattiva e
se ne attiva un’altra con un nuovo strike H, come dalla
descrizione del prodotto.
0,0007%
0,0006%
0,0005%
0,0004%
No Collateral
Collateral Fixed Term
Collateral Ladder 5%
0,0003%
0,0002%
0,0001%
0,0000%
Daily
Weekly
Quarterly
Semestral
Yearly
Netting
• La tecnica di riduzione del rischio di controparte
più diffusa, particolarmente per transazioni tra
intermediari finanziari è rappresentata dal netting
agreement.
• L’accordo di netting prevede che l’esposizione
rilevante tra due controparti sia quella netta, cioè
quella pari alla differenza tra i valori delle diverse
posizioni.
Un semplice esempio
• Assumiamo che la controparte A abbia CFi
posizioni in contratti forward, i = 1, 2,…,p,
con prezzi di delivery Fi e data di consegna
Ti con la stessa controparte B.
• Il valore di ogni posizione è valutato come
CFi = [Si(t) – P(t,Ti)Fi]
dove  = 1 rappresenta posizioni lunghe e
 = – 1 rappresenta posizioni corte.
Valutazione del rischio di credito con
netting
• Assumiamo che la controparte B vada in default al
tempo . Il valore dell’esposizione al quella data sarà
pari al pay-off di un’opzione basket
 p

max  S i    A ,0
 i 1

p
A    P , Ti Fi
i 1
Simulazione Monte Carlo
• Come è noto l’unico modo di valutare opzioni basket è la
simulazione Monte Carlo.
• L’idea è di selezionare una griglia di date {t1,t2,…tn} e per
ognuna di queste valutare un’opzione basket, con strike
A(ti). Il valore del rischio di controparte in questo caso è
quindi, per ogni data
[G(ti-1) – G(ti)]Opzione Basket (S1, …Sp, ti; A(ti), ti)
dove G(ti) è la probabilità di sopravvivenza della
controparte oltre il tempo ti.
• L’estensione all’utilizzo del collateral avviene secondo le
stesse linee descritte nel caso della esposizione univariata.