Problemi sui
rettangoli con le
incognite
Problemi tipo somma e
differenza di dimensioni
La somma delle 2 dimensioni di un
rettangolo è 35 cm la loro differenza è 5
cm trovare perimetro ed area del
rettangolo
b + h = 35 cm
b – h = 5 cm
A cosa corrisponde b + h? Col compasso
puntato su B e apertura h tracciamo un
arco AE; il segmento EC è uguale a b + h
Vediamo sulla figura a cosa
corrisponde b - h = 5 cm
Col compasso puntato su B e apertura
h tracciamo un arco AF
BF è uguale ad h perciò i 5 cm (il valore
con cui la base supera l’altezza) sarà
pari a al segmento FC
Proviamo a toglierlo, cosa succede?
h
5 cm
Rimangono due segmenti uguali ad
h
EF = EC – FC cioè EF = 35 cm – 5 cm
EF = h + h = 2h
2h = 35 cm – 5 cm = 30 cm
h = 30 cm : 2 = 15 cm
b = 15 cm + 5 cm = 20 cm
2P = (b+ h) x 2 = (20 + 15) cm x 2 = 70 cm
A = b x h = 20 cm x 15 cm = 300 cm2
Problemi del tipo una
dimensione supera l’altra di ….
La somma delle 2 dimensioni di un
rettangolo è 60 cm una supera l’altra di
12 cm trovare perimetro ed area del
rettangolo
b + h = 60 cm
b = h + 12 cm
A cosa corrisponde b + h? Col compasso
puntato su B e apertura h tracciamo un
arco AE; il segmento EC è uguale a b + h
Col compasso puntato su B e apertura
h tracciamo un arco AF
Il segmento FC è esattamente la
porzione di b che supera h e sarà
uguale a 12 cm
Proviamo a toglierlo, cosa succede?
h
12 cm
Rimangono due segmenti uguali ad
h
EF = EC – FC cioè EF = 60 cm – 12 cm
EF = h + h = 2h
2h = 60 cm – 12 cm = 48 cm
h = 48 cm : 2 = 24 cm
b = 24 cm + 12 cm = 36 cm
2P = (b + h) x 2 = (36 + 24) cm x 2 = 120 cm
A = b x h = 36 cm x 24 cm = 864 cm2
….. Ma sono uguali!!!!
• I due problemi che abbiamo appena visto sono
perfettamente identici anche se sono scritti in forma
diversa
• Posso scrivere che la somma delle dimensioni di un
rettangolo è di 26 cm e la loro differenza è di 6 cm
• Ma anche la somma delle dimensioni di un
rettangolo è di 26 cm e una supera l’altra di 6 cm
• Non cambia assolutamente nulla!!!
b + h = 26 cm
b – h = 6 cm
2 h = 26 cm – 6 cm = 20 cm
h = 20 cm : 2 = 10 cm
b = 10 cm + 6 cm = 16 cm
10 cm
6 cm
….variante col perimetro
• Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo
semplicemente dividerlo per 2, in questo caso
otteniamo il semiperimetro che altro non è che la
somma delle due dimensioni
Il perimetro di un rettangolo è di 120 cm, e la
differenza delle sue dimensioni è di 20 cm.
Trovare l’area del rettangolo
P = 2P : 2 = 120 cm : 2 = 60 cm
b + h = 60 cm
b – h = 20 cm
2 h = 60 cm – 20 cm = 40 cm
h = 40 cm : 2 = 20 cm
b = h + 20 cm = (20 + 20) cm = 40 cm
A = b x h = 20 x 40 cm2 = 800 cm2
20 cm
Problemi
• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 84
cm una supera l’altra di 18 cm trovare perimetro ed
area
• La somma della base e dell’altezza di un triangolo è
di 324 cm, la base supera l’altezza di 38 cm trovare
perimetro ed area
• La somma della base e dell’altezza di un rettangolo
è di 129 cm, la loro differenza è di 65 cm trovare
perimetro ed area
• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 145
m la loro differenza è di 47 m. trovare perimetro ed
area
Problemi del tipo la somma di due
dimensioni è …. una multipla di un’altra
La somma delle dimensioni di un
rettangolo è di 44 cm una è il triplo
dell’altra. Trovare l’area
h
h
b + h = 44 cm b = 3h
Col compasso puntiamo in B e con
apertura h tracciamo l’arco AE
Il segmento EC sarà uguale alla
somma delle due dimensioni
Se osserviamo attentamente vediamo
che EC può essere suddivisa in 4 parti
uguali ad h
Questo significa che b + h può essere
suddivisa in 4 parti uguali ad h
perciò 4 h = 44 cm
4 h = 44 cm; h = 44 cm : 4; h = 11 cm
b = 3 x h = 3 x 11 cm = 33 cm
A = b x h = 33 cm x 11 cm = 363 cm
Osserviamo i seguenti casi
La somma delle due dimensioni è 33 cm una è il
doppia dell’altra b = 2h EC = 3 h
h
h
EC = 33 cm EC = 3 h 3h = 33 cm : 3 = 11 cm
h
La somma delle due dimensioni è di 48 cm
una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 4h
h
h
h
h
h
h
EC = 48 cm EC = 4 h 4h = 48 cm
h = 48 cm : 4 = 12 cm
h
h
h
Come possiamo vedere per trovare una
dimensione basta dividere la somma
delle dimensioni per «una unità
superiore a quella del multiplo»
La somma delle due dimensioni è di
60 cm, una è il quadruplo dell’altra
b = 4 h EC = 5h
EC = 60 cm EC = 5 h 5h = 60 cm
h = 60 cm : 5 h = 12 cm
Infatti se
b + h = 60 cm
sostituiamo
b=3h
3 h + h = 60 cm; 4 h = 60 cm
…. varianti col perimetro
• Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo
semplicemente dividerlo per 2, in questo caso
otteniamo il semiperimetro che altro non è che la
somma delle due dimensioni
Il perimetro di un rettangolo è di 90 cm, e
una dimensione è il doppio dell’altra.
Trovare l’area del rettangolo
P = 2P : 2 = 90 cm : 2 = 45 cm
b + h = 45 cm
b = 2h
3 h = 45 cm
h = 45 cm : 3 = 15 cm
b = 2 x h = 15 cm x 2 = 30 cm
A = b x h = 15 x 30 cm2 = 450 cm2
h
Problemi del tipo la somma di due dimensioni
è …. una supera di …. il multiplo dell’altra
La somma delle dimensioni di un
rettangolo è di 61 cm, una supera di 13
cm il triplo dell’altra. Trovare l’area
b + h = 61 cm b = 3h + 13 cm
Col compasso puntiamo in B e con
apertura h tracciamo l’arco AE
Il segmento EC sarà uguale alla
somma delle due dimensioni
h
h
In pratica io ho che:
h + b = 4h + 13 cm = 61 cm
13 cm
Da cui ricavo che 4h = 61 cm – 13 cm = 48 cm
h = 48 cm : 4 = 12 cm
sostituiamo
Se osserviamo attentamente vediamo
b = 3h + 13 cm
che EC può essere suddivisa in 4 parti
uguali ad h più un pezzo che misura b = 3 x 12 cm + 13 cm = 36 cm + 13 cm = 49 cm
13 cm
A = b x h = 12 cm x 49 cm = 588 cm2
Se io tolgo questo pezzo ottengo una
lunghezza che sarà il triplo della
dimensione più piccola
Problemi
• La somma delle due dimensioni di un rettangolo è
45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare l’area del
rettangolo
• La somma della base e dell’altezza di un rettangolo
è 144 cm. L’altezza è il triplo della base. Trovare
l’area
• La somma della dimensioni di un rettangolo è di 91
cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra. Trovare
l’area del rettangolo
• La base e l’altezza di un rettangolo sono una il
doppio dell’altra. La loro somma è di 96 cm.
Trovare l’area.
• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 149
cm, una supera di 13 cm il triplo dell’altra. Trovare
l’area
Problemi del tipo la differenza di due
dimensioni è …. una multipla di un’altra
La differenza delle dimensioni di un
rettangolo è di 44 cm una è il triplo
dell’altra. Trovare perimetro ed area
b – h = 44 cm
h
b = 3h
Col compasso puntiamo in B e con
apertura h tracciamo l’arco AE
EC = b – h
Per definizione BE = h
h = 44 cm : 2 = 22 cm
A questo punto EC sarà proprio la
differenza fra b ed h
Se prima BC era formato da tre
segmenti uguali ad h, ora, dopo la
sottrazione, ne resteranno solo 2
h
h
EC = 2h
2h = 44 cm
b=hx3
Sostituisco ad h
il suo valore
b = 22 cm x 3 = 66 cm
2P = (b + h) x 2 = (22 + 66) cm x 2
2P = 88 cm x 2 = 176 cm
A = b x h = 22 x 66 cm2 = 1452 cm2
Osserviamo i seguenti casi
La differenza delle due dimensioni è 33 cm una è
il doppia dell’altra b = 2h EC = h
h
EC = 33 cm h = 33 cm b = 33 cm x 2 = 66 cm
h
La differenza delle due dimensioni è di 48
cm una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 2h
h
h
h
h
EC = 48 cm EC = 2 h 2h = 48 cm
h = 48 cm : 2 = 24 cm
h
h
h
Come possiamo vedere per trovare una
dimensione basta dividere la differenza
delle dimensioni per «una unità
inferiore a quella del multiplo»
La differenza delle due dimensioni è
di 60 cm, una è il quadruplo dell’altra
b = 4 h EC = 3h
EC = 60 cm EC = 3 h 3h = 60 cm
h = 60 cm : 3 h = 20 cm
Infatti se
b – h = 60 cm
sostituiamo
b=3h
3 h – h = 60 cm; 2 h = 60 cm
Problemi
• La differenza delle due dimensioni di un rettangolo
è 45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare
perimetro ed area del rettangolo
• La differenza della base e dell’altezza di un
rettangolo è 144 cm. L’altezza è il triplo della base.
Trovare perimetro ed area
• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di
91 cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra.
Trovare perimetro ed area del rettangolo
• La base e l’altezza di un rettangolo sono una il
doppio dell’altra. La loro differenza è di 96 cm.
Trovare perimetro ed area.
Problemi del tipo la somma di due
dimensioni è… una è una frazione di un’altra
La somma delle dimensioni di un
rettangolo è di 104 cm una è i 3/5
dell’altra. Trovare l’area del rettangolo

Analizziamo la situazione che
propone il problema, la dimensione
 
maggiore viene divisa in 5 parti uguali
mentre quella minore è lunga quanto
Questo significa che b + h può essere
3 di queste parti
suddivisa in 8 parti uguali ad  perciò
Col compasso puntiamo in B e con
8  = 104 cm
apertura h tracciamo l’arco AE
 = 104 cm : 8 = 13 cm
Il segmento EC sarà uguale alla
h è costituita da 3  perciò:
somma delle due dimensioni
h = 13 cm x 3 = 39 cm
Se osserviamo attentamente vediamo
b è costituita da 5  perciò:
che EC può essere suddivisa in 8 parti
h = 13 cm x 5 = 65 cm
uguali ad 
A = b x h = 13 x 65 cm2 = 845 cm2
…. varianti col perimetro
Il perimetro di un rettangolo è di 216 cm, e la base è i 4/5 dell’altezza. Trovare
l’area del rettangolo
Il segmento EC = b + h altro non
è che il semiperimetro e questo
risulta suddiviso in 9 
Con b = 4  e h = 5 
EC = P = 2P : 2 = 216 cm : 2 = 108 cm
9  = 108 cm
 = 108 cm : 9 = 12 cm
b = 4 x  = 4 x 12 cm = 48 cm
h = 5 x  = 5 x 12 cm = 60 cm




        
Problemi
• Il perimetro di un rettangolo è di 210 cm; l’altezza è i
2/5 della base. Trovare l’area
• La somme delle dimensioni di un rettangolo è di 234
cm, l’altezza è i 5/8 della base. Trovare l’area del
rettangolo
• La somma delle dimensioni di un rettangolo vale
854 cm, una è i 3/11 dell’altra. Trovare l’area del
rettangolo
• Il perimetro di un rettangolo è di 960 dm, l’altezza è
i 7/8 della base. Trovare l’area del rettangolo
Problemi del tipo la differenza di due
dimensioni è… una è una frazione di un’altra
La differenza delle dimensioni di un
rettangolo è di 104 cm una è i 3/5
dell’altra. Trovare l’area del rettangolo
Analizziamo la situazione che
propone il problema, la dimensione
maggiore viene divisa in 5 parti uguali
mentre quella minore è lunga quanto
3 di queste parti
Col compasso puntiamo in B e con
apertura h tracciamo l’arco AE
Il segmento EC sarà uguale alla
differenza delle due dimensioni
Perché BE, per costruzione, è
uguale ad h
Se osserviamo attentamente vediamo
che EC risulta composta di 2 sole parti
uguali ad  (5 - 3 = 2)

h
Questo significa che b - h può essere
suddivisa in 2 parti uguali ad  perciò
2  = 104 cm
 = 104 cm : 2 = 52 cm
h è costituita da 3  perciò:
h = 52 cm x 3 = 156 cm
b è costituita da 5  perciò:
h = 52 cm x 5 = 260 cm
Problemi
• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di
42 cm, una dimensione è i 4/7 dell’altra, trovare
perimetro ed area del rettangolo
• La differenza fra la base e l’altezza di un rettangolo
è di 160 cm. La prima è gli 8/3 della seconda.
Trovare perimetro ed area del rettangolo
• In un rettangolo la base è i 2/9 dell’altezza, la
differenza fra le due dimensioni è di 84 cm. Trovare
perimetro ed area del rettangolo
• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di
12 cm, una è gli 8/9 dell’altra. Trovare perimetro ed
area del rettangolo
Problemi del tipo l’area è… una dimensione
è una frazione di un’altra
L’area di un rettangolo e di 2880 cm2, una
dimensione è i 4/5 dell’altra. Trova il perimetro del
rettangolo
Come al solito le dimensioni risultano suddivise in
parti uguali a , la base 5 e l’altezza 4
2
144 cm
Però non posso trattarle come le ho trattare fino
adesso perché non ho una lunghezza ma ho
un’area.
Devo fa riferimento ad un’area unitaria,
formata un quadrato il cui lato sia 
5 x 4 = 20 2 A = 20 2 = 2880 cm2
A questo punto posso ottenere 
Per trovare l’area di 2 debbo perciò
semplicemente facendo la radice
dividere l’area per 20
quadrata dell’area di questo quadrato.
2 = 2880 cm2 : 20 = 144 cm2
Se moltiplico 5 x 4 (i termini del
 = √144 cm2 = 12 cm
rapporto) mi rendo conto che l’area
b = 12 cm x 5 = 60 cm h = 12 cm x 4 = 48 cm
può essere suddivisa in 20
quadratini unitari
2P = (b + h) x 2 = (60 + 48) cm x 2 = 216 cm
problemi
• Un rettangolo ha l’area di1690 cm2. Le sue
dimensioni sono una i 2/5 dell’altra. Trovare il
perimetro del rettangolo
• Un rettangolo ha l’area di 8092 cm2. Le sue
dimensioni sono una i 4/7 dell’altra. Trovare il
perimetro del rettangolo
• Un rettangolo ha l’area di 2904 cm2. la base è i 3/8
dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo
• Un rettangolo ha l’area di 154,35 m2. la base è i 7/5
dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo