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6.25 (6.29 VI ed) vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2
Due blocchi sono come in figura con m=16 kg, M=88 kg e con coeff. d’attrito
statico tra i due blocchi pari a µs = 0.38. La superficie su cui poggia M è
priva d’attrito. Qual’è la minima intensità di F necessaria a tenere m contro
M?
La forza d’attrito coinvolta è quella tra i due blocchi occorre quindi
visualizzare la reazione normale al piano di contatto Il diagramma delle
fs
F
N
m
mg
forge agenti su m è :
attrito si ha quindi:
Nella situazione di massimo
x:
+F − N = ma
y : +µs N − mg = 0
Per cui si ottiene µs N = mg ⇒ N = mg
Sul blocco M invece agisce solo N
µs
(sull’asse x e non vi sono forze attrito su x): N = Ma ⇒ mg
µs = Ma quindi
mg
otteniamo a = Mµ
da
cui
sostituendo
nella
prima
eq.
si
ha
F − N = ma ⇒ F −
s
Fmin =
mg
µs
+
m2 g
Mµs
=
mg
µs (1
+
m
M)
= 488 N
Esercizio 6.19 (VI-ed) -vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2
Il corpo A in figura pesa 102 N, mentre B pesa 32 N.b I coefficienti di attrito
tra A e il piano inclinato sono µs = 0.56 e µd = 0.25. L’angolo θ = 40◦ .
Trovare l’accelerazione a del sistema quando a) A è inizialmente fermo; b)
A in moto in salita; c) A in moto in discesa.
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1
mg
µs
mg
= m Mµ
s
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T
fs
P
Diagramma delle forze: A
La forza d’attrito deve essere statica all’inizio e ha un verso tale da opporsi
al moto Nella situazione di massimo attrito si ha quindi (con a=0):
x : +T + µs N − MA g sin θ = MA a
y:
+N − Ma g cos θ = 0
Per cui si ottiene T + µs MA g cos θ − MA g sin θ = MA a Dal corpo B otteniamo T − MB g = −MB a (in segno perchè i versi dei due sistemi sono
θ−MA sin θ)g
discordi) Risolvendo si ottiene a = (MB +µS MMAAcos
Ma il risultato
+MB
se vedete viene a > 0 cosa che non può essere perchè l’attrito diventerebbe
motore. Pertanto l’attrito statico non sarà massimo ma tale da elidere
le altre forze ⇒ a = 0 b) Il blocco viene spinto in alto quindi l’attrito è
dinamico e direzione verso il basso:
+T − µd MA g cos θ − MA g sin θ = MA a
T = MB g − MB a ⇒
(MB − MA µd cos θ − MA sin θ)g
a=
MA + MB
a=-3.9 m/s2
c) a=-1.0 m/s2
Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo
Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo
M
m1
m2
Siano m1 = 20kg m2 = 10kg la carrucola di massa
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trascurabile, il cilindro di raggio r=0.25m, il momento M=30Nm. Calcolare
a, T ed il minimo valore di coeff. di attrito
I segreti del rocchetto (vedi esempio sperimentale)
Un rocchetto di raggio interno R1 ed esterno R2 è disposto come in figura su un piano
orizzontale. Viene tirato tramite una forza applicata al suo raggio interno R1 , forza
che è inclinata di θ rispetto l’orizzonte. Sapendo che il rocchetto rotola e che il suo
momento di inerzia è I, la sua massa M,
determinare l’equazione del suo moto (a,α).
Esercizio 2 del 16/7/2012
Un cilindro omogeneo di massa m e raggi R=10cm, trasla su una superficie orizz. senza attrito, con velocità v0 = 4.9m/s diretta ortogonalmente
l’asse del cilindro. Ad un certo momento entra in contatto con un tratto di
superficie scabra (µd = 0.3). Si determini:
• l’istante t∗ , a partire dal momento in cui il cilindro entra in contatto
con la superficie scabra, in cui il cilindro inizia a rotolare;
• la velocità angolare ω ∗ con cui il cilindro procede dopo l’istante t∗
Esercizio 2 del 26/11/2012
Un cilindro pieno di raggi R=30cm e massa
m=20kg viene fatto salire lungo un piano inclinato di angolo θ = 20◦ rispetto l’orizzontale. Il
cilindro è tirato da una forza F applicata al CM
costante e orizzontale. Determinare:
a) il minimo valore di F sufficiente a far salire il cilindro con moto di puro
rotolamento;
b) il minimo valore di coefficiente di attrito statico affinchè il moto sia di
puro rotolamento;
c) l’accelerazione del CM se l’intensità della forza è pari a F = 2Fmin e
il cilindro sale rotolando.
Problema
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Ad un cilindro di raggio R e massa M posto
su un piano inclinato di 30◦ è applicata una
forza F a distanza r sopra il centro del cilindro e parallela al piano inclinato. Sapendo
che il cilindro è in equilibrio, determinare il
minimo valore del coefficiente di attrito per
l’equilibrio e la forza necessaria.
e quindi si deve avere
M/g/ sin θ r
≤ µs M/g/ cos θ ⇒
1 + Rr R
tan θ
µs ≥
1 + Rr
Esercizio 2 del 17/7/2013
Un corpo puntiforme di massa m/4 è appoggiato,
con attrito trascurabile, sulla guida radiale ideale di un
disco sottile, omogeneo e rigido, di raggio R e massa m.
Il corpo è attaccato al centro del disco tramite una molla
ideale, di lunghezza a riposo R/2, costante elastica k e
massa trascurabile. Il sistema è inizialmente in quiete
sul piano orizzontale. Ad un certo istante una coppia
di forze, di modulo costante pari a F, è applicata al sistema come mostrato
in figura, per il tempo sufficiente a fargli raggiungere la velocità angolare di
modulo ωf = km. Calcolare, assumendo m=2 kg, R=0.4 m, F=3 N:
a) il momento d’inerzia iniziale del sistema, rispetto a un asse verticale
passante per il centro del disco;
b) l’accelerazione angolare α del sistema generata dalla applicazione della
coppia;
c) l’allungamento finale ∆l della molla, a regime, quando il sistema ruota
alla velocità angolare finale
Esercizio 2 del 17 ottobre 2012
Un sistema rigido è costituito da una sbarra omogenea, di massa M=800
g e lunghezza L=32 cm, la cui estremità è saldata ortogonalmente all’asse
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di un disco di raggio R=10 cm e uguale massa M. Il sistema può ruotare nel piano verticale, senza attrito, attorno all’asse del disco, parallelo al
piano orizzontale, ma è inizialmente tenuto in equilibrio mediante un corpo
di massa m=1 kg appeso all’estremo libero di una fune ideale ancorata al
bordo del disco. 1. Determinare la posizione di equilibrio del sistema, calcolando l’angolo θ che l’asta forma con la verticale. Ad un certo istante, un
altro corpo di massa 2m viene agganciato all’estremo libero della fune. 2.
Determinare la velocità angolare con cui sta ruotando il sistema nell’istante
in cui l’asta è disposta verticalmente sopra l’asse del disco.
Esercizio 1 del 2/2/2013
Un cilindro di massa M=2 kg e raggio R=30 cm è
vincolato a ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo istante un
proiettile di massa m=0.8 kg viene sparato con
velocità v=3.5 m/s e si conficca nel cilindro, fermandosi all’interno del cilindro ad una distanza
h=20 cm dal centro del cilindro. Sapendo che immediatamente dopo l’urto
il proiettile si ferma esattamente sulla verticale dell’asse di rotazione, determinare la velocità angolare dopo l’urto e di quanto ruota il cilindro prima
di fermarsi.
Esercizio 2 del 2/2/2013
Un pendolo disposto come in figura è costituito da un’asta rigida di massa trascurabile, lunga
L=1.5m, a cui è appea una massa M=2.2kg. Al
pendolo a distanza h=0.8m dal punto di sopsensione è attaccata una molla di costante elastica
k=250N/m, che non è allungata quando l’asta è
verticale. Spostando dalla posizione di equilibrio
il pendolo esso comicia ad oscillare. Nell’approssimazione di piccoli angoli
(cos θ = 1, sin θ = θ) determinare il periodo di oscillazione.
Esercizio 2 del 3/7/2013
Un sistema meccanico è costituito da un disco rigido omogeneo di massa
m=3.7kg e raggio r=0.48m e da una ruota assimilabile ad un anello omogeneo di massa m e raggio r. Il disco e la ruota sono vincolati a ruotare senza
strisciare su un piano inclinato di 20◦ rispetto l’orizzontale e sono tra loro
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uniti da un filo ideale che connette i loro centri. La ruota si trova più in
alto del disco (vedi figura). Alla ruota è applicata tangenzialmente e perpendicolarmente verso il piano una forza F, tale da mantenere in equilibrio
il sistema. Calcolare F e la tensione del filo che unisce i due corpi. Ad un
certo momento si elimina la forza F, il sistema inizia a rotolare partendo
da fermo e la fune rimane in tensione. Determinare la tensione del filo e
l’accelerazione del CM.
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