Presentazione
Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere
considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto
nell’apprendimento graduale del concetto ed è per questo motivo
che ci si è preoccupati della semplicità della trattazione pur nel
rispetto della correttezza logica e terminologica. L’alunno può
utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali
dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive
di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne
derivano. Al termine sono stati proposti alcuni esercizi grazie ai
quali l’alunno può autoverificare il proprio grado di preparazione.
CONCETTO D’INSIEME
• Nel linguaggio corrente ci sono numerose
parole dal significato collettivo, per
esempio, i termini comunità, folla,
squadra, gregge, stormo, collezione
indicano raggruppamenti di persone, di
animali
o
di
cose.
Il
termine
corrispondente, usato in matematica è
quello di insieme; gli oggetti che ne fanno
parte si chiamano elementi
INSIEMI IN SENSO
MATEMATICO
I QUADRATI CHE
HANNO IL
PERIMETRO
DI 100CM
Gli studenti della
tua classe che
Hanno 16 anni
I capoluoghi di
Provincia della
Calabria
In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di
oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se
un oggetto appartiene o no a quel raggruppamento
Non sono insiemi
In senso
matematico
I quadrati che hanno
Perimetro
molto piccolo
Gli studenti della tua
classe che
sono simpatici
I capoluoghi di
Provincia più
importanti d’Italia
RAPPRESENTAZIONE
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi
metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo
“A” di tutti gli amici di Anna che sono: Rita, Maria, Giuseppe, Marco, Lina,
Romeo.
1
2
Con i diagrammi di Eulero
Venn:
Attraverso la
rappresentazione tabulare
(estensiva):
A
Maria  Giuseppe
Rita 
Marco

Lina
Romeo
A = Maria; Rita; Marco; Giuseppe; Romeo; Lina
3 Enunciando la proprietà
caratteristica (intensiva):
A = xx è amico di Anna
SOTTINSIEMI
• Dati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni
elemento di B appartiene ad A
• A= a,e,i,o,u
• B = i,o,u
A
a
e
B
o i
u 
SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI
• Sono sottoinsiemi impropri di U
L’insieme vuoto
L’intero insieme U
• Si dice che U è un sottoinsieme
Proprio di U se e solo se
S é un sottoinsieme di U
diverso dall’insieme vuoto
e dall’insieme U
L’insieme vuoto è un qualsiasi
insieme privo di elementi
U
S
u
a  i
e
o
consonanti
APPARTENENZA “”
U
B = b; d
A
A = a; b; d; e; f
e
U = a; b; c; d; e; f
c
a  A, a  U, a  B,
c  U, c  B, c  A
a
B
b
d
f
b  B, b  A, b  U
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “,
B è un SOTTOINSIEME
U
IMPROPRIO di A
Ogni insieme è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé stesso
L’insieme vuoto è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni
insieme
A
B
b
C
”
a
d
c
A è un SOTTOINSIEME
DI U
C è un SOTTOINSIEME
DI B
BA
A  A, B  B,…..
  C,   B, …..
A U
C B
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE
U
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
b; d  B
a; b; d  A
d  B
A
e
c
B
a
b
d
f
APPARTENENZA e INCLUSIONE
APPARTENENZA
INCLUSIONE
A

L’elemento b
appartiene
all’insieme A
bA
b
d

L’insieme b è
strettamente
incluso
nell’insieme A
b  A

L’insieme d;b
è uguale ad A
d;b  A
oppure
d;b = A
INSIEME COMPLEMENTARE. A
A = CuA= xx U e x  A 
U
b
E’ l’insieme degli
elementi di U
a
c
d
f
e
A
g
A =a; b; g
Che non appartengono
ad A
INSIEME COMPLEMENTARE. CBA
CBA= xx B e x  A 
B
b
E’ l’insieme degli
elementi di B
a
c
d
f
e
A
g
CBA =a; b; g
Che non appartengono
ad A
INTERSEZIONE “A  B”
E’ l’insieme degli elementi
che appartengono sia ad A
sia a B
A  B = xx A e x  B 
B
A
AB
CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
AA=A
A =
Se A  B = ,
A e B si dicono DISGIUNTI
AA =
Se B  A allora A  B = B
AU=A
UNIONE “A  B”
E’ l’insieme degli elementi
che appartengono ad A
“o” a B, cioè ad almeno
uno dei due insiemi dati.
A
A B
A  B = xx A o x  B 
B
UNIONE di insiemi DISGIUNTI
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A
B
A B
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
AA=A
A =A
AA =U
Se B  A allora A  B = A
AB
AB
A = a; b; c; d; e; f
A
a
B = d; e; f; g; h; i; l
d
b
e
c
f
A  B = d; e; f
B
g
i
h
l
A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
DIFFERENZA.
“A - B”
E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B
A
B
A-B
Si tolgono ad A tutti gli elementi
che appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A
che NON appartengono a B
DIFFERENZA.
A = a; b; c; d; e; f
A
a
d
b
e
c
f
“A - B”, “B - A”.
B = d; e; f; g; h; i; l
B
g
i
h
l
A - B = a; b; c
B - A = g; h; i; l
“A - B”, “B - A”.
DIFFERENZA.
A
a
b
a
A
b
c
g
d
e h
f
l
c
g
d
e h
f
l
A
i
B
B - A = g; h; i; l
i
a
A - B = a; b; c
B
b
c
g
d
e h
f
l
B
i
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
TRA INSIEMI
A-A=
A- =A
Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B
Se B  A allora B - A = 
INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
Dato un insieme A, l’insieme di
tutti i suoi SOTTOINSIEMI
propri e impropri, si definisce
insieme delle parti di A e si indica
A = a; b; c;
A
b

a
a
con P(A)
c
b
I possibili SOTTOINSIEMI di A
L’insieme delle parti di A è:
sono:
c
a; b
a; c
b; c
a; b; c
P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c 
Gli elementi di P(A) sono
INSIEMI
Se A contiene n elementi,
P(A) ne contiene 2n
PARTIZIONE DI UN INSIEME
AA
1
A5
1
2
3
Si consideri un numero “n” di
sottoinsiemi di A.
A2
A4
A3
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una
PARTIZIONE di A se:
Ai  A e Ai  ,  i
Ai  Ak =  con i  k
A1  A2  A3  A4  A5 = A
Ogni sottoinsieme è proprio
I sottoinsiemi sono a
due a due disgiunti
L’unione di tutti i
sottoinsiemi dà
l’insieme A
PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica
A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove
il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x  A e y  B 
Dati gli insiemi: A = a; b; c;
e B = 1;2
Si legge A cartesiano B
A
A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2) 
a
b
c
B
1
2
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)
può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
A
B
a
Rappresentazione SAGITTALE
1
b
2
c
Rappresentazione
mediante
tabella a DOPPIA ENTRATA
Rappresentazione CARTESIANA
2
1


a


b

1
(a;1)
(b;1)
(c;1)

2
(a;2)
(b;2)
(c;2)
a
b
c
c
B
/A
OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie
A x A = A2
AxB

BxA
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi,
l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.
L’insieme dei numeri pari P è un
sottoinsieme proprio dell’insieme
dei numeri naturali N?
Rispondi:
N = 0; 1; 2; 3;
P = 0; 2;
4; 6;
4;
8;
5; 6;
7;
10….
8; 9;
10;
11;
12;.. 
Si! Infatti per costruire P
scelgo
solo
alcuni
elementi di N.
Quale insieme ha più elementi? N o P?
Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un
sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo
punto ci si dovrà fermare, invece….. Strano no!!!!! Rappresentiamo
tutto cio’ graficamente (diapositiva seguente)
Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P., utilizziamo
l’insieme N e delle frecce. Per ora trascurando lo zero.
N = 1;
2;
3; 4;
P = 2; 4;
5;
6; 7;
8;
9; 10;
11;
12;.. 
6; 8; 10; 12; 14; 16; 18….
Ci chiediamo a quale numero ci fermiamo? Quanti sono gli elementi di P?
e proviamo a rispondere chi ha più elementi N o P?
Abbiamo ottenuto un risultato molto strano! Dato un insieme con un
numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME
PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!
PARADOSSO DEL GRAND HOTEL DI HILBERT
•
Tale paradosso inventato dal celebre matematico David Hilbert mostra
alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni
con insiemi infiniti e finiti.
•
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che
qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungeranno, sarà sempre
possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.
Nel caso semplice. Arriva un singolo nuovo ospite, il furbo albergatore
sposterà tutti i clienti nella camera successiva, in questo modo, benchè
l’albergo fosse pieno è comunque,essendo infinito, possibile sistemare il
nuovo ospite.
•
•
Un caso meno intuitivo, si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe
possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando
infinite volte gli ospiti(già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene
Hilbert che la soluzione stà semplicemente nello spostare ogni ospite nella
stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale, lasciando ai nuovi
ospiti
tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi
infiniti,risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono dunque tutti sistemati,
benchè l’albergo fosse pieno
L’HOTEL DI HILBERT
1

2


3


4


5


6


7


...


1

2

3

4

5

6

7

...

1
2

3
4

5
6

7
...

ESERCIZIO N. 1…..
Trova: A  B  C
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
A  B  C = g; h; i; l
A  B  C = d; e; f
B
g
i
h
l
A  B  C = d
A  B  C = e; f
ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
C - (A  B) = m; n
B
g
i
h
l
C - (A  B) = e; f
C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l
Soluzione
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 3…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 4…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 5
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
(C - (A  B))  ((A  B) - C)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
Un clic del mouse
per avanzare passopasso
C
m
n
A
a
d
b
e
c
f
Si tolgono a C gli
elementi di A  B
Soluzione = m; n
B
g
i
h
l
Torna all’esercizio
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