Osserviamo la natura
I frattali e le curve della natura
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I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
SONO QUESTE ALCUNE FORME CHE
POSSONO ESSERE SPIEGATE
CON UNA PARTE DI MATEMATICA
DETTA GEOMETRIA DEI FRATTALI
I frattali e le curve della natura
dal latino fractus, che
vuol dire interrotto.
Frattale
Curva inconsueta con un
proprio ordine interno
Origine: prima metà del 19° secolo
I frattali e le curve della natura
Alcuni studiosi , David Hilbert, Giuseppe
Peano, George Cantor e successivamente
Von Koch e Gaston Julia, rivolsero i loro
studi sui caratteri di continuità e
regolarità di alcune curve e sulla
dimensione di uno spazio matematico.
Tali indagini non condussero alla
rappresentazioni grafica delle stesse
curve.
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La curva di Hilbert
Al limite la curva attraverserà ogni
punto del quadrato
Coerente con la scoperta di Cantor: un
quadrato unitario non contiene più punti
di un segmento unitario
Costruzione con macro in Cabri
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La curva di Von Koch
Non possiede nessuna tangente
Dati due punti , la lunghezza
dell’arco compresa fra i due punti
è infinita
Costruzione con macro in Cabri
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Caratteristiche
1) Autosimilarità: la figura F è unione di un
numero di parti che, ingrandite di un
certo fattore, riproducono tutto F;
in altri termini F è unione di copie di se
stesso a scale differenti.
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni
ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come
luogo di punti che soddisfano semplici
condizioni geometriche o analitiche.
La curva itera il medesimo andamento a tutte le possibili scale di
grandezza
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Conseguenza:
•
la lunghezza di un qualsiasi segmento
staccato lungo tali curve tende all’
infinito.
una curva frattale, ad esempio contenuta
in un piano non può essere pensata
perfettamente coincidente con questo
e quindi ha dimensione minore di 2;
tuttavia “riempie” il piano in una
maniera del tutto inconsueta da dover
pensare di non avere la dimensione di
una qualunque linea, ovvero 1.
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B. B. Mandelbrot, autorevole matematico di origine
polacca diede impulso allo studio dei frattali e
quindi della “geometria dei frattali”.
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Con l’avvento degli elaboratori elettronici è stato
possibile visualizzare efficacemente tali figure e
in tempi ragionevoli.
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Mandelbrot, nel 1980 sviluppò un nuovo insieme
frattale , oggi noto con il nome di Insieme di
Mandelbrot, in cui la complessità è estremamente
elevata.
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Per "disegnare" un frattale attraverso un
elaboratore, è necessario precisare il
numero massimo di iterazioni: un
tempo finito non basterebbe per
calcolare un punto del frattale a infinite
iterazioni
Con l'aiuto dei calcolatori e utilizzando
opportunamente i colori è possibile
ottenere immagini molto suggestive di
questi frattali.
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L'insieme di Mandelbrot si presenta
come un otto tozzo disposto in
orizzontale, coperto di
pretuberanze e simmetrico rispetto
all'asse delle ascisse.
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Ogni pretuberanza è una sottile figura
di forma molto simile a quella
generatrice.
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Zoomando ancora su ciascuna di queste
pretuberanze comprare una miriade di
filamenti arricciati e annodati che si
estende in file a spirale.
Ingrandendo un ricciolo compaiono
coppie di spirali unite da ponti di
“filigrana”.
Nell’ingrandimento di un ponte spuntano
dal suo centro due riccioli;
Al centro di questo centrosi ritrova
un’altra versione dell’insieme di
Mandelbrot.
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In sostanza i frattali non si esprimono
mediante figure primarie,
si esprimono mediante algoritmi,
cioè procedure geometriche o algebriche
tradotte in immagini col computer
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Il caos
non è
confusione irregolarità
È
complessità
con un ordine interno
I frattali e le curve della natura
La spirale è quella curva piana che ha la
proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno
ad un punto. È una struttura molto diffusa
in natura: dai cicloni alle galassie, dalle
corna d'alcuni animali (come i montoni) fino
alle conchiglie, dal moto dei cicloni alla
molecola del DNA, dai fiori di girasole fino
alle zanne degli elefanti.
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La spirale è quella curva piana che ha la
proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno
ad un punto.
La spirale è alla base del mondo vivente: il
nucleo cellulare (costituito da una lunga
catena a spirale, il DNA) ; la galassia a
spirale.
Con le spirali si possono creare dei frattali.
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Nel 1957 A. E. Bosman con La
geometria nel pianeta: un campo
miracoloso di ricerca .
Albero di pitagora
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La forma avvolta non è altro che una spirale
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la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili,
riproducono sempre la stessa figura è il
risultato di una semplice operazione, la
biforcazione di un segmento.
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Un paesaggio lunare potrebbe apparire
come la superficie di un frattale: i
crateri più grandi rappresentano la
scala maggiore, ma anche con
qualsiasi scala minore si possono
vedere crateri; la locazione dei
quali è del tutto
casuale.
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Consideriamo un pendolo che oscilli
nell’aria: il suo moto si smorza
progressivamente, con oscillazioni sempre
più piccole, fino a esaurirsi nella quiete.
Tutte le orbite finiscono nel punto di
equilibrio del pendolo; esso è dunque
l’attrattore del sistema.
gli attrattori sono costituiti da curve
regolari,
dette cicli limite, oppure, nel caso dei
sistemi caotici,
delle strutture ancor più insolite detti
attrattori strani.
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Lorenz: stava lavorando ad un modello
atmosferico nato appunto dallo studio
dell’insorgere della turbolenza in un
fluido. Questo sistema fisico dissipativo
presenta un attrattore strano, detto
attrattore di Lorenz, che sembra avere la
forma di una striscia di carta
attorcigliata (come il nastro di Moebius)
ma che in effetti non è "solida", ma
piuttosto formata da tantissimi filamenti,
cioè con la tipica struttura infinitamente
complessa dei frattali. Per la forma a
farfalla di tale modulo si denominò tale
situazione effetto
farfalla.
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“...Le nuvole non sono sfere, le
montagne non sono coni, le coste non
sono circoli e gli argini non sono
regolari.....la varietà di
configurazioni è una sfida a studiare
quelle forme che la geometria
euclidea tralascia come informi, a
investigare la morfologia
dell’amorfo....”(Mandelbrot)
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Grazie dell’attenzione
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