F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 375 colore nero
Novembre 17, 2004
375
CAPITOLO 10
Flussi comprimibili
viscosi
Introduzione Questo ultimo capitolo è dedicato alle equazioni che governano il
moto dei fluidi comprimibili viscosi con conducibilit à termica non nulla. I fluidi
dotati di queste proprietà fisiche sono sufficientemente generali da descrivere un
grande numero di fenomeni fluidodinamici e le equazioni dinamiche corrispondenti riescono a rappresentare in modo adeguato il comportamento dei fluidi in
molti problemi di interesse applicativo. Le equazioni per i flussi comprimibili e
viscosi si ottengono a partire dagli stessi principi di conservazione usati per formulare le equazioni di Eulero comprimibili nel precedente capitolo. Le nuove
equazioni sono tuttavia più generali in quanto contengono alcuni termini aggiuntivi
dovuti all’esistenza di fenomeni diffusivi all’interno di un fluido reale. In particolare, nell’equazione di bilancio della quantità di moto deve essere inclusa la forza
causata dal frenamento viscoso mentre nella legge di conservazione dell’energia si
dovrà tenere conto sia del fenomeno della conduzione del calore nel fluido sia del
riscaldamento del fluido a causa dell’attrito viscoso al suo interno. Le equazioni
che incorporano al loro interno tutti questi fenomeni sono le celebri equazioni di
Navier–Stokes comprimibili o complete. Esse descrivono moltissimi fenomeni
fluidodinamici, come, ad esempio, lo sviluppo dello strato limite in un fluido comprimibile, la struttura interna delle onde d’urto e l’interazione fra strato limite e
onde d’urto.
Lo scopo di questo capitolo non è però quello di mostrare delle applicazioni
specifiche delle equazioni di Navier–Stokes comprimibili bensı̀ di concludere la
nostra introduzione alla dinamica dei fluidi fornendo un sistema di equazioni pi ù
generale che include, come casi particolari, alcune delle forme delle equazioni della
fluidodinamica viste nei capitoli precedenti. Lo studente è invitato quindi a leggere
questo breve capitolo solo per cogliere la visione di sintesi che le equazioni di
Navier–Stokes comprimibili permettono, senza pretendere di capire la complessit à
dei fenomeni che queste equazioni sono in grado di rappresentare.
Infatti, da un lato lo studio delle equazioni di Navier–Stokes complete costituisce un capitolo particolarmente ricco e complesso della dinamica dei fluidi
e dall’altro la loro risoluzione può essere affrontata quasi esclusivamente per via
numerica. Di conseguenza, i problemi dei flussi nei quali gli effetti della comprimibilità e della viscosità del fluido sono entrambi importanti potranno essere affrontati
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 376 colore nero
376
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
e risolti solo in una fase successiva all’introduzione elementare alla fluidodinamica
qui proposta.
10.1 Viscosità in un fluido comprimibile
All’interno di ogni fluido reale, quando il campo di velocit à è differente da quello
di un moto rigido, le particelle del fluido (liquido o gas) interagiscono attraverso le
loro superfici di contatto in un modo più complicato della semplice forza dovuta
alla pressione. Queste forze all’interno del fluido sono chiamate forze viscose e
le loro caratteristiche sono già state illustrate nel paragrafo 5.10. L’effetto di tali
forze interne di attrito è di ridurre le disuniformità presenti nel campo di moto e
di provocare un meccanismo di resistenza al moto dei corpi immersi nel fluido.
In questo paragrafo riprendiamo alcuni elementi dello studio delle forze viscose
svolto nel paragrafo 5.10 per ricavare le equazioni che governano il moto di un
fluido qualsiasi, ovvero che risulta essere sia comprimibile sia viscoso.
In realtà, come vedremo, il carattere dissipativo locale del fluido non è descritto
in modo completo dalla sua viscosità e dai relativi coefficienti. Esiste infatti anche
un altro aspetto dissipativo collegato alla trasmissione di energia nel fluido quando
sua la temperatura non è uniforme. Il relativo fenomeno di conduzione del calore è
caratterizzato quantitativamente da una proprietà del fluido nota come conducibilità
termica.
Tensore simmetrico “gradienti della velocità”
All’interno di un fluido lo sforzo viscoso (dimensionalmente una forza per unit à di
area) dipende dalla rapidità di variazione della deformazione locale del fluido. Per
descrivere lo sforzo interno al fluido è quindi necessario introdurre una grandezza
in grado di rappresentare questo aspetto cinematico del campo di moto del fluido.
Essa consiste nella versione simmetrizzata del tensore dei “gradienti del campo
di velocità” e si chiama tensore simmetrico dei gradienti della velocit à o anche
tensore di rapidità di variazione della deformazione. Nel caso di coordinate
cartesiane, il tensore dei “gradienti della velocità” è dato dalla matrice

∂u
 ∂x

∂v
 1 ∂u
+
(u) = 
 2 ∂y
∂x
  1 ∂u
∂w
+
2 ∂z
∂x
sim
∂v
∂y
1 ∂v
∂w
+
2 ∂z
∂y
sim




sim 


∂w 
∂z
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 377 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.1:
Viscosità in un fluido comprimibile
377
Come già descritto nel paragrafo 5.10, la definizione generale del tensore dei
gradienti della velocità, valida per ogni sistema di coordinate curvilinee ortogonali,
è la seguente
(u) = 21 ê (ê0 )u + ê0 (ê )u ,
dove ê ed ê0 sono due versori la cui direzione varia in tutte le possibili direzioni, in
modo da generare il carattere tensoriale di . Anche la definizione generale indica
che la matrice del tensore (u) è simmetrica. Gli elementi di (u) in un sistema
di coordinate curvilinee ortogonali con versori ê1, ê2 ed ê3 sono dati da
i, j = 1, 2, 3.
ei, j (u) = 21 êi (ê j )u + ê j (êi )u ,
Per ricavare questi elementi si deve pertanto ricordare che il calcolo della derivata
(ê j )u richiede di espandere u in termini delle sue componenti nello stesso sistema
di coordinate, ovvero,
(ê j )u = (ê j ) u 1 ê1 + u 2 ê2 + u 3 ê3 ,
e di tenere conto che anche i versori ê1, ê2 ed ê3 in generale possono dipendere da
una o più coordinate, per cui alcune loro derivate saranno diverse da zero.
Esempio 1 Tensore dei gradienti della velocità in coordinate cilindriche
Nel caso di coordinate cilindriche, gli elementi di (u) si ottengono mediante
calcolo diretto:


∂u R
sim
sim
 
∂R


 1 1 ∂u R
uR

∂ uθ 1 ∂u θ
+R
+
sim 
(u) = 
 2 R ∂θ

∂R R
R
R ∂θ



∂u z
1 ∂u θ
1 ∂u z
∂u z 
1 ∂u R
+
+
2 ∂z
∂R
2 ∂z
R ∂θ
∂z
In particolare, se il campo di velocità è assisimmetrico, le sue componenti in
coordinate cilindriche non dipendono da θ, per cui si ha

∂u R
∂R

 R ∂ u θ

assisim
(u) = 
 2 ∂ R R  1 ∂u
∂u z
R
+
2 ∂z
∂R
sim
uR
R
1 ∂u θ
2 ∂z
sim
sim
∂u z
∂z







F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 378 colore nero
378
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
Esempio 2
Tensore dei gradienti della velocità in coordinate sferiche
Nel caso delle coordinate sferiche, le componenti del tensore (u) sono


(u) = 
1 ∂ur
∂u r
∂r
∂ uθ
r ∂θ + r ∂r r
∂ uφ
1 ∂u r
1
2 r sin θ ∂φ + r ∂r r
1
2
sim
ur
r
1
1 ∂u θ
2 r sin θ ∂φ
+
+
1 ∂u θ
r ∂θ
u φ sin θ ∂
r ∂θ sin θ
sim
sim
eφ,φ (u)



dove il terzo e ultimo elemento diagonale è scritto separatamente per ragione di
spazio:
eφ,φ (u) =
ur
r
+
cot θ u θ
r
+
1 ∂u φ
r sin θ ∂φ .
In particolare, se il campo di velocità è invariante rispetto alle rotazioni attorno
all’asse z, le componenti in coordinate sferiche di u non dipendono da φ, per cui si
ha


∂u r
sim
sim
∂r


ur
assisim
∂ uθ
1 ∂u θ
r
(u) =  12 r1 ∂u
sim

∂θ + r ∂r r
r + r ∂θ
uφ cot θ u θ
ur
sin θ ∂
r ∂ uφ
+ r
2 ∂r r
2r ∂θ sin θ
r
Fluido viscoso newtoniano
Per definire le proprietà del fluido riguardanti l’attrito interno viscoso si deve fornire
il legame fra il tensore degli sforzi viscosi, che è simmetrico e che indicheremo
con , e il tensore dei gradienti della velocità, che abbiamo indicato con (u), per
cui avremo
= ( (u)).
In linea teorica sono possibili legami aventi forme diverse, ma il caso di un semplice
legame lineare fra e è particolarmente importante e conduce alla classe di fluidi
viscosi detti newtoniani. Come già osservato nel paragrafo 5.10, questa ipotesi
è il corrispettivo per i fluidi dell’ipotesi di linearità nei solidi tra gli sforzi e le
deformazioni che caratterizza il comportamento perfettamente elastico di un mezzo
continuo solido.
Supponiamo ora che sia una funzione lineare di e che il fluido sia isotropo,
cioè che le sue proprietà siano indipendenti dalla direzione nello spazio. Si pu ò
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 379 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.1:
Viscosità in un fluido comprimibile
379
allora dimostrare che il principio di invarianza delle grandezze intrinseche (vettori
e tensori) rispetto alle rotazioni spaziali implica che siano sufficienti solo due
coefficienti scalari per caratterizzare il legame lineare fra i tensori ed , e che tale
legame assume la seguente forma
(u) = 2µ (u) + λ (
u) ,
dove µ si chiama coefficiente di viscosità (di taglio) e λ si chiama coefficiente
di viscosità di dilatazione. Questi coefficienti devono soddisfare le condizioni
seguenti: µ > 0 e λ + 23 µ > 0. [La condizione di Stokes si leggerebbe: λ = − 32 µ,
ma non si richiede che sia soddisfatta nel seguito.]
In certi casi si preferisce fare comparire un nuovo tensore con traccia nulla.
u è uguale alla traccia di (u), la relazione lineare
Osservando allora che
precedente fra il tensore dei gradienti di velocità e il tensore degli sforzi viscosi si
può riscrivere anche nella forma seguente:
(u) = 2µ (u) − 31 ( u) + ζ ( u) ,
dove ζ = 32 µ + λ è chiamato secondo coefficiente di viscosità per distinguerlo da
µ, che allora è indicato come primo coefficiente di viscosità.
Osserviamo che il tensore degli sforzi viscosi si somma allo sforzo normale
dovuto alla pressione per costituire il tensore totale degli sforzi
(P, u) = −P + (u),
che per un fluido viscoso di tipo newtoniano assume la forma:
(P, u) = −P + 2µ (u) + λ (
u) .
In generale, per fluidi con proprietà generiche, il valore dei due coefficienti di
viscosità dipende dalle condizioni termodinamiche del fluido, per cui potremo
scrivere
µ = µ(T, P)
e
λ = λ(T, P).
Nel campo di moto del fluido avremo in generale T = T (r, t) e P = P(r, t), per
cui il valore di µ e λ dipenderà della posizione e dal tempo, ovvero avremo, per
esempio,
µ(T (r, t), P(r, t)) = µ(r, t).
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 380 colore nero
380
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
Esempio 3
Tensore degli sforzi viscosi in coordinate cilindriche
Nel caso di coordinate cilindriche, gli elementi del tensore degli sforzi viscosi (u)
di un fluido viscoso newtoniano sono dati da:


R
2µ ∂u
u
sim
sim
∂R + λ
 
uθ
∂
θ
R
2µ uRR + R1 ∂u
u
sim
(u) =  µ R1 ∂u

∂θ + R ∂ R R
∂θ + λ
∂u R
∂u z
∂u z
∂u θ
1 ∂u z
µ ∂ z + R ∂θ
2µ ∂ z + λ
µ ∂z + ∂ R
u
In particolare, se il campo di velocità è assisimmetrico, le sue componenti in
coordinate cilindriche non dipendono da θ, per cui si ha


(u) = 
assisim
dove
u=
R
+λ
2µ ∂u
∂R
µR ∂∂R
µ ∂u∂ zR +

uθ
R
∂u z ∂R
u
sim
2µ uRR + λ
sim
u
sim
z
2µ ∂u
∂z + λ
θ
µ ∂u
∂z
u


1 ∂(Ru R ) ∂u z
+
.
R ∂R
∂z
Esempio 4
Tensore degli sforzi viscosi in coordinate sferiche
Nel caso delle coordinate sferiche, le componenti del tensore (u) di un fluido
viscoso newtoniano sono


r
u
sim
sim
2µ ∂u
∂r + λ


∂ uθ
θ
r
(u) =  µ 1r ∂u
2µ urr + r1 ∂u
u
sim 
∂θ + r ∂r r
∂θ + λ
1 ∂ur
u
uφ
sin θ ∂
1 ∂u θ
µ r sin θ ∂φ + r ∂r∂ rφ
µ r sin
sφ,φ (u)
θ ∂φ + r ∂θ sin θ
dove il terzo e ultimo elemento diagonale è scritto separatamente per ragione di
spazio:
sφ,φ (u) = 2µ
cot θ u θ
1 ∂u φ
ur
+λ
+
+
r
r
r sin θ ∂φ
u.
In particolare, se il campo di velocità è invariante rispetto alle rotazioni attorno
all’asse z, le componenti in coordinate sferiche di u non dipendono da φ, per cui
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 381 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.2: Equazione di bilancio della quantità di moto

r
2µ ∂u
∂r + λ

assisim
∂
r
(u) =  µ 1r ∂u
∂θ + r ∂r
uφ r
µr ∂r∂
dove
assisim
sφ,φ
(u)
u
uθ
r
2µ
ur
cot θ u θ
= 2µ
+λ
+
r
r
ur
r
+
sim
1 ∂u θ
r ∂θ + λ
u sin θ ∂
µ r ∂θ sinφθ
381
sim
u
sim
assisim
sφ,φ
(u)



u
e inoltre
1 ∂(r 2 u r )
1 ∂(sin θ u θ )
+
.
r 2 ∂r
r sin θ
∂θ
u=
10.2 Equazione di bilancio della quantità di moto
Nel paragrafo 9.4 del capitolo precedente è stata ricavata l’equazione di bilancio
della quantità di moto per un fluido comprimibile ma ideale (non viscoso e non
conduttore del calore) in forma conservativa
∂(ρu)
+
∂t
(ρu ⊗ u) +
P = ρg.
Forza di attrito viscoso
Per estendere questa equazione al caso di un fluido reale, ossia viscoso e con conducibilità termica, si deve aggiungere il termine che descrive la forza agente sul fluido in conseguenza dell’attrito viscoso all’interno dello stesso. L’espressione della
forza per unità di volume Fvisc da includere nel secondo membro dell’equazione
della quantità di moto si ottiene considerando un volumetto di fluido e sommando
tutte le forze agenti sulla sua superficie. Ciò conduce a valutare la divergenza del
tensore simmetrico degli sforzi viscosi (u), ovvero all’espressione
Fvisc =
(u).
Le componenti vettoriali di questo vettore sono date da
j = 1, 2, 3,
s êj(u) ,
Fjvisc =
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 382 colore nero
382
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
dove s êj(u) rappresenta il vettore sforzo viscoso relativo a una superficie con
versore normale uguale a ê j . Detto sn̂ (u) il vettore sforzo relativo a una superficie
di normale generica n̂, posta in un punto di un campo di moto u e in cui il tensore
degli sforzi viscosi è (u), abbiamo per definizione
sn̂ (u) = n̂
(u)
ovvero
sn̂, j (u) =
3
X
j = 1, 2, 3.
n̂ i si, j (u),
i=1
Un calcolo diretto, anche se un po’ noioso, del prodotto scalare in coordinate
cartesiane permette di ricavare la seguente relazione vettoriale
sn̂ (u) = µ 2(n̂
)u + n̂
u + λ n̂
u.
Siccome la quantità considerata è un vettore e l’espressione nel secondo membro
ha una forma vettoriale intrinseca, questo risultato vale in generale e quindi potr à
essere utilizzato per calcolare la quantità sn̂ (u) in qualunque sistema di coordinate
curvilinee ortogonali.
Sostituendo l’espressione esplicita di s êj(u) si ha quindi
u + λ ê j
u,
j = 1, 2, 3.
Fjvisc =
2µ (ê j )u + µ ê j
Un calcolo ancora in coordinate cartesiane, questa volta decisamente noioso ma pur
sempre elementare, permette di dedurre la seguente espressione della forza viscosa
per unità di volume agente in un fluido qualsiasi, anche comprimibile,
Fvisc = −
(µ
u) + (2µ + λ)( u)
+ 2( µ)
u − 2( µ)
u + 2(( µ)
)u.
Questo risultato ha una forma vettoriale intrinseca per cui l’espressione trovata
ha validità generale e quindi può essere usata in qualunque sistema di coordinate
curvilinee ortogonali semplicemente usando la forma appropriata dei vari operatori
differenziali. Sommando questo termine al secondo membro dell’equazione della
quantità di moto per flussi comprimibili non viscosi si ottiene
∂(ρu)
+
(ρu ⊗ u) + P
∂t
=−
(µ
u) + ((2µ + λ)
+ 2( µ)
u − 2( µ)
u)
u + 2(( µ)
)u + ρg.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 383 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.3: Conservazione dell’energia
383
10.3 Conservazione dell’energia
Nel paragrafo 9.5 del capitolo precedente è stata ricavata l’equazione di conservazione dell’energia per un fluido comprimibile ma ideale (non viscoso e non
conduttore del calore)
∂(ρe)
(ρeu) + P
u = 0.
+
∂t
Per estendere questa equazione al caso di fludo reale, si devono includere due termini: il primo termine tiene conto della conducibilità termica del fluido e quindi
della possibilità di avere trasferimento di energia in presenza di grandienti di temperatura; il secondo termine tiene conto dei trasferimenti di energia conseguenti al
lavoro delle forze viscose.
Conducibilità termica
Supponiamo che nel fluido esista un flusso di calore che indichiamo con la
grandezza vettoriale q. Sempre nell’ipotesi di considerare un legame lineare tra le
grandezze diffusive e il gradiente corrispondente da cui dipendono, per la legge di
Fourier i due vettori q e T sono legati dalla relazione di proporzionalit à
q = −κ
T,
dove κ è il coefficiente di conducibilità termica del fluido. Questa relazione è
nota come legge del calore o di diffusione di Fourier. Il segno meno significa che
il flusso di energia quando la temperatura non è uniforme è verso le zone in cui la
temperatura è inferiore.
Come per i due coefficienti di viscosità, anche questo coefficiente dipende in
generale dalle condizioni termodinamiche del fluido, per cui avremo
κ = κ(T, P).
Questo coefficiente deve inoltre essere sempre positivo, κ > 0 per ogni valore di T
e P, per ragioni termodinamiche.
La presenza del flusso di calore q all’interno del fluido equivale a una sorgente
di energia in ogni suo punto quando il flusso del campo vettoriale q attraverso a
una piccola superficie intorno al punto è diveso da zero. In altre parole, nel fluido
avremo una quantità di energia s per unità di volume, che va ad aumentare l’energia
interna del fluido nell’unità di tempo, data dalla relazione s = − q, dove il
segno meno davanti alla divergenza è necessario per indicare la direzione entrante
nel volume elementare. Utilizzando la legge di Fourier abbiamo
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 384 colore nero
384
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
s=
(κ
T ).
Per quanto riguarda invece l’aumento dell’energia interna a causa delle forze
interne viscose, la loro potenza (lavoro per unità di tempo) per unità di volume
è data dalla contrazione del tensore degli sforzi viscosi con il tensore simmetrico
dei gradienti della velocità, ossia (u) : (u). (Per contrazione di due tensori
si intende la doppia sommatoria su entrambi gli indici dei tensori.) Per un fluido
viscoso newtoniano questo termine vale allora:
(u) : (u) = 2µ | (u)|2 + λ (
u)2 ,
dove
| (u)|2 =
(u) : (u) =
3
3 X
1X
ei, j (u) ei, j (u).
4 i=1 j =1
Tutto il termine dissipativo è spesso scritto come una singola funzione
Φ( u, µ, λ) = (u) : (u),
chiamata funzione di dissipazione. La forma esplicita espansa permette di identificare facilmente la parte che si annulla nel caso di flussi incomprimibili.
Aggiungendo i due termini appena calcolati nel secondo membro dell’equazione
di conservazione dell’energia interna si ottiene
∂(ρe)
+
∂t
=
(ρeu) + P
(κ
u
T ) + 2µ | (u)|2 + λ (
u)2 .
10.4 Equazioni di Navier–Stokes per fluidi comprimibili
Le equazioni della quantità di moto e dell’energia, con inclusi i termini dovuti alla
viscosità e conducibilità termica del fluido,sono infine combinate con l’equazione di
conservazione della massa e con le due equazioni termodinamiche di stato del fluido.
Questa operazione permette di ottenere il sistema delle equazioni di Navier–Stokes
comprimibili o complete per un fluido newtoniano
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 385 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.4: Equazioni di Navier–Stokes per fluidi comprimibili
∂ρ
(ρu) = 0,
+
∂t
∂(ρu)
(ρu ⊗ u) + P
+
∂t
=−
(µ
u) + ((2µ + λ)
385
+ 2( µ)
∂(ρe)
+
∂t
=
(ρeu) + P
(κ
u − 2( µ)
u + 2(( µ)
)u + ρg,
u
T ) + 2µ | (u)|2 + λ (
P = P(e, ρ),
u)
u)2 ,
T = T (e, ρ),
dove (u) = 21 ê (ê0 )u + ê0 (ê )u . Essendo le variabili P e T definite
tramite le due equazioni di stato, possiamo dire che questo sistema consiste di tre
equazioni (due scalari e una vettoriale) nelle tre incognite ρ, u ed e, oppure di 5
equazioni scalari nelle 5 incognite ρ, u, v, w ed e.
Il sistema è (molto) non lineare. Una sua caratteristica assai peculiare è quella
di costituire un sistema “ibrido” iperbolico/parabolico. Infatti la prima equazione
per la conservazione della massa è iperbolica mentre le equazioni del bilancio
della quantità di moto e di conservazione dell’energia sono di natura parabolica. In
linguaggio matematico si dice allora che le equazioni di Navier–Stokes comprimibili
costituiscono sistema parabolico incompleto. Il carattere di “incompletezza” è
dovuto all’assenza di un termine di tipo laplaciano nell’equazione di conservazione
della massa, ma non significa affatto che le equazioni richiedano di essere modificate
o completate1 per potere condurre a un problema matematicamente ben posto.
Questa asimmetria delle equazioni della dinamica dei fluidi è forse l’aspetto
più specifico di questo sistema di equazioni. Esso ha delle conseguenze di natura
fondamentale sulla teoria matematica delle equazioni di Navier–Stokes comprimibili. Ad esempio, se consideriamo un problema in una regione completamente
delimitata da pareti solide, le condizioni al contorno del problema del flusso comprimibile viscoso in tale caso comprenderanno la specificazione della velocit à e, ad
esempio, della temperatura su tutto il contorno ma non esister à alcuna condizione
al contorno per la variabile densità.
1
Gli autori sono grati a David Massegur Sampietro per avere permesso di chiarire questo
punto.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 386 colore nero
386
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
Forma conservativa
La formulazione delle equazioni per i flussi comprimibili appena vista non è la
più conveniente quando si intendono sviluppare dei metodi per la loro risoluzione
numerica. In questo caso, sopratutto nello studio di problemi transonici e supersonici, sono presenti nel flusso onde d’urto la cui risoluzione spaziale è molto spesso
pressoché impossibile anche utilizzando i calcolatori moderni pi ù potenti. Occorre
allora essere capaci di trattare il problema matematico nella stessa forma originaria
delle leggi di conservazione, con ad esempio l’energia totale per unit à di volume,
E t = ρet , come variabile incognita. Questa scelta, che è assolutamente naturale
per la risoluzione numerica delle equazioni di Eulero comprimibili, deve essere
perseguita anche nella risoluzione delle equazioni di Navier–Stokes. Pertanto si
riscrivono le equazioni di Navier–Stokes complete nella forma detta conservativa
∂ρ
+
(ρu) = 0,
∂t
∂(ρu)
+
ρu ⊗ u + P =
∂t
∂(ρet )
+
(ρet + P)u =
∂t
P = P(e, ρ),
(u) + ρg,
T = T (e, ρ),
κ
T +u
(u) + ρu g,
dove et = e + 12 |u|2 e dove il tensore degli sforzi viscosi (u) è definito da
(u) = 2µ (u) + λ (
u) .
Ricavare la forma conservativa delle equazioni di Navier–Stokes per flussi comprimibili a partire dalla loro versione non conservativa è lasciato per esercizio allo
studente.
Come si può osservare, tutti i termini con le derivate spaziali compaiono nella
forma di divergenza di flussi opportuni. I flussi della seconda e terza equazione
hanno due contributi: un contributo, scritto nel membro di sinistra, è quello del
fluido ideale e coincide con quello delle equazioni di Eulero comprimibili; il secondo
contributo, scritto invece nel membro di destra, è quello dovuto al carattere diffusivo
del fluido reale avente proprietà dissipative,viscosità e conducibilità termica, diverse
da zero.
Forma non differenziale: metodo dei volumi finiti
Come accennato, le equazioni di Eulero e di Navier–Stokes per flussi comprimibili
sono alquanto complicate e la loro risoluzione per problemi in regioni di forma
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 387 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.4: Equazioni di Navier–Stokes per fluidi comprimibili
387
arbitraria richiede l’impiego di tecniche numeriche. Queste sono basate sulla sostituzione delle derivate spaziali e temporali con loro versioni approssimate: la
descrizione della variazione spaziale delle incognite coinvolge tipicamente un reticolo di punti nella regione occupata dal fluido, mentre l’evoluzione temporale delle
incognite è rappresentata in modo discreto introducendo un numero finito di passi
di piccola ampiezza. Per determinare questo tipo di soluzioni approssimate, sono
disponibili varie tecniche di discretizzazione che sono applicate a una delle forme
delle equazioni di conservazione descritte in precedenza.
Queste tecniche sono accurate ed efficaci solo a condizione che il reticolo di
punti utilizzato sia in grado di rappresentare tutte le variazioni delle incognite in
tutto il dominio computazionale. Sfortunatamente, in alcuni problemi comprimibili
molto importanti per le applicazioni aerodinamiche, il campo di moto del fluido è
caratterizzato dalla presenza di onde d’urto e di strati limiti molto sottili. Per potere
rappresentare correttamente le variazioni della soluzione in queste zone interne
al fluido sarebbe allora necessario introdurre un numero di punti troppo elevato
rispetto alla capacità di memoria dei calcolatori attuali e anche di quelli prevedibili
per il prossimo futuro.
In questi casi è necessario abbandonare la formulazione delle leggi di conservazione basata su equazioni differenziali alle derivate parziali e si deve ricorrere
alla loro espressione in forma non differenziale: questa traduce la legge di conservazione o di bilancio su regioni finite in cui il dominio di calcolo è stato decomposto.
In altre parole, risulta essenziale riformulare i principi di conservazione della massa
e di bilancio della quantità di moto e dell’energia riferendosi direttamente a tutti i
volumi di controllo la cui riunione costituisce la regione occupata dal fluido.
La forma non differenziale, ossia priva completamente di derivate, delle equazioni della dinamica dei fluidi può essere ricavata in due modi equivalenti: possiamo
integrare le equazioni differenziali in forma conservativa e applicare il teorema della
divergenza per fare sparire ogni operatore divergenza, oppure possiamo uguagliare
la variazione della massa, della quantità di moto e dell’energia totale contenuta in un
volume di controllo V fisso con il flusso di queste grandezze entrante in V attraverso
la superficie chiusa ∂ V che costituisce la frontiera di V . Nel seguito preferiamo
adottare il primo procedimento perché ci permette di comprendere meglio il legame
fra la forma differenziale e quella non differenziale delle equazioni della dinamica
dei fluidi.
Consideriamo allora un volume fisso V dentro il fluido e integriamo sul questa
regione le equazioni di Navier–Stokes nell’ipotesi che non agisca alcuna forza
esterna, g = 0. L’applicazione del teorema della divergenza a tutti i termini
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 388 colore nero
388
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
contenenti l’operatore
Il volume V è fisso nello spazio
per cui l’operatore di derivata
d
ordinaria dt
può passare sotto il
segno di integrale, diventando la
derivata parziale ∂t∂ .
conduce al seguente sistema
Z
I
d
ρ+
ρu n̂ = 0,
dt V
∂V
Z
I
I
d
(u) n̂,
ρu +
(ρu ⊗ u + P ) n̂ =
dt V
∂V
∂V
I
Z
I
d
κ T + u (u) n̂.
ρet +
(ρet + P) u n̂ =
dt V
∂V
∂V
Notiamo che, essendo il volume V fisso nello spazio, l’operatore di derivata parziale
rispetto a t è passato all’esterno del segno di integrale, dove assume la forma corretta
di derivata ordinaria.
La forma appena ottenuta contiene la derivata rispetto al tempo che non pu ò
essere calcolata quando nella soluzione sono presenti discontinuità che si propagano.
Per eliminare infine questo inconveniente si integrano le equazioni su un intervallo
temporale finito. Ad esempio, se si considerano due istanti successivi t n e tn+1 ,
l’integrale delle equazioni precedenti sull’intervallo [t n , tn+1 ], in virtù del teorema
fundamentale del calcolo differenziale. fornisce immediatamente
Z
Z
V
Z
ρ(r, tn+1 ) −
V
(ρu)(r, tn+1 ) −
Z
V
V
ρ(r, tn ) +
(ρu)(r, tn ) +
=
Z
(ρe )(r, tn+1 ) −
t
V
Z
(ρe )(r, tn ) +
t
V
=
Z
Z
tn+1
dt
tn
tn+1
dt
tn
Z
Z
tn+1
dt
tn
tn+1
dt
tn
Z
tn+1
dt
tn
I
I
∂V
ρu n̂ = 0,
∂V
(ρu ⊗ u + P ) n̂
I
I
(u) n̂,
∂V
∂V
I
(ρet + P) u n̂
κ
∂V
T +u
(u) n̂.
Questo sistema può essere riscritto in un modo più conveniente dal punto di vista
algoritmico, introducendo le quantità medie nel volume V al tempo tn , delle variabili
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 389 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.4: Equazioni di Navier–Stokes per fluidi comprimibili
389
conservative definite nel modo seguente:
ρVn
1
=
V
(ρu)nV =
(ρet )nV
1
V
1
=
V
Z
Z
Z
ρ(r, tn ) dV,
V
ρ(r, tn ) u(r, tn ) dV,
V
ρ(r, tn ) et (r, tn ) dV,
V
dove abbiamo scritto il volume infinitesimo dV per chiarezza.
In termini di queste quantità medie nel volume V , l’avanzamento discretizzato
nel tempo delle leggi di conservazione assume la forma:
ρVn+1 = ρVn −
1
V
(ρu)n+1
= (ρu)nV −
V
(ρet )n+1
V
Z
tn+1
dt
tn
1
V
1
= (ρet )nV −
V
Z
Z
I
ρu n̂,
∂V
tn+1
dt
tn
tn+1
dt
tn
I
I
∂V
∂V
(ρu ⊗ u + P ) − (u) n̂,
t
(ρe + P) u − κ
T +u
(u)
n̂.
Naturalmente queste equazioni di Navier–Stokes non differenziali devono essere
riscritte per ogni volume elementare V in cui è stato preliminarmente suddiviso
il dominio computazionale. Una volta determinati i valori medi delle grandezze
conservative, la velocità e l’energia specifica totale (medie) del fluido nel volume
V all’istante tn+1 sono valutati mediante i rapporti
un+1
=
V
(ρu)n+1
V
ρVn+1
e
etV n+1 =
(ρet )n+1
V
ρVn+1
.
Infine l’energia specifica interna (media) del fluido contenuto nel volume V è data
dalla relazione
2
.
eVn+1 = etV n+1 − 21 un+1
V
Questa tecnica di discretizzazione basata sulla forma non differenziale delle equazioni di conservazione (siano esse le equazioni di Eulero o di Navier–Stokes) si chiama
metodo dei volumi finiti. Il vantaggio fondamentale di questo metodo è che le
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 390 colore nero
390
Novembre 17, 2004
CAPITOLO 10 Flussi comprimibili viscosi
variazioni delle grandezze conservative dipendono solo dalla valutazione dei flussi
corrispondenti sulle superfici che delimitano i volumi di controllo. Se tali flussi
sono calcolati con la medesima espressione sulla superficie di separazione fra volumi adiacenti, il due contributi sono esattamente l’uno opposto dell’altro e quindi
la discretizzazione non introduce alcun errore riguardo la conservazione.
Le forma non differenziale delle equazioni di Navier–Stokes è l’unica che
consente di “catturare” gli urti nella giusta posizione e di farli propagare con la
corretta velocità anche se il reticolo utilizzato è troppo rado per rappresentare la
struttura interna dell’urto. Infatti, in realtà un urto come pure una disconitinuità
di contatto non sono della discontinuità esatte nelle variabili del fluido bensı̀ delle
transizioni continue anche se su una distanza molto piccola, in cui si dispiegano i
fenomeni legati alla viscosità e alla conducibilità termica.
10.5 Equazioni di Eulero non differenziali per flussi con urti
Nel caso particolare di viscosità e conducibilità termica nulle, le equazioni di
Navier–Stokes del metodo dei volumi finiti appena scritte diventano le equazioni
di Eulero in forma non differenziale
1
−
V
Z
tn+1
ρVn+1
=
ρVn
(ρu)n+1
V
=
(ρu)nV
1
−
V
(ρet )n+1
V
=
(ρet )nV
1
−
V
dt
tn
Z
Z
I
ρu n̂,
∂V
tn+1
dt
tn
tn+1
dt
tn
I
I
∂V
∂V
(ρu ⊗ u + P ) n̂,
(ρet + P) u n̂.
Scrivendo in questa forma il sistema iperbolico delle leggi di conservazione per un
fluido non viscoso e che non conduce il calore è possibile introdurre una nuova
idea di soluzione, la soluzione debole. Questa estensione del concetto di soluzione
è necessaria per potere affrontare i problemi iperbolici non lineari nei quali le
soluzioni sono discontinue. Infatti, le superfici interne al campo di moto sulle
quali risultano discontinue tutte o alcune variabili non possono essere ammesse nel
quadro matematico delle equazioni differenziali alle derivate parziali: le derivate
spaziali e temporali delle incognite risultano non definite su queste superfici e ci ò
rivela l’inadeguatezza della formulazione differenziale del sistema iperbolico non
lineare.
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 10 – pagina 391 colore nero
Novembre 17, 2004
PARAGRAFO 10.5:
Equazioni di Eulero non differenziali per flussi con urti
391
Purtroppo, per qualunque problema iperbolico non lineare con condizioni iniziali e al contorno specificate, esistono sempre infinite soluzioni deboli. In altre
parole, l’estensione del concetto di soluzione necessario per potere trattare soluzioni
discontinue comporta un allargamento dell’insieme delle possibili soluzioni con la
conseguente perdita dell’unicità della soluzione. Daltra parte, la teoria dimostra che
una sola delle infinite soluzioni deboli di un dato problema è quella che corrisponde
alla soluzione (unica) del problema viscoso corrisponendente nel limite per µ, λ e
κ → 0. Questa soluzione debole unica è quindi la sola fisicamente ammissibile
e si chiama soluzione entropica. Un esempio particolarmente semplice di questa
situazione è il caso di un urto stazionario in un gas ideale politropico: le soluzioni
delle leggi di conservazione espresse dalle famose relazioni di salto di Rankine–
Hugoniot comprendono sia urti di compressione che di rarefazione ma solo quelli
del primo tipo sono fisicamente ammissibili mentre i secondi sono impossibili in
quanto violerebbero la seconda legge della termodinamica.
Ma ciò significa che le equazioni di Eulero che governano i flussi di qualunque
tipo, compresi i regimi transoni e supersonici, hanno senso solo come un sottocaso
delle equazioni di Navier–Stokes per flussi comprimibili. Soltanto nel caso particolare di flussi comprimibili privi di urti e di discontinuit à di contatto le equazioni
differenziali di Eulero completate da una sola equazione di stato, P = P(e, ρ), bastano per descrivere il campo di moto ed esso può essere determinato prescindendo
completamente dai fenomeni dissipativi all’interno del fluido.
Per tutto quanto detto, risulta quindi non del tutto soddisfacente dal punto di
vista logico presentare le equazioni di Eulero per i flussi comprimibili prima di
avere introdotto le equazioni complete di Navier–Stokes, come invece abbiamo
fatto in questo testo. La specificazione “senza urti” presente nel titolo del capitolo
9 sulle equazioni di Eulero sta proprio a indicare il carattere limitato dell’analisi dei
flussi comprimibili descrivibili mediante le equazioni di Eulero prescindendo dalle
equazioni di Navier–Stokes complete. Comunque sia, da qualche parte bisogna
pure cominciare. L’approccio da noi adottato ci ha almeno permesso di ricavare le
equazioni che governano i fenomeni dell’acustica, che sono notoriamentie di natura
“elastica”, prima di avere introdotto gli aspetti dissipativi del fluido comprimibile
che non vi giocano alcun ruolo.