I modelli di simulazione
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
AGENDA
• I modelli di simulazione
• Le simulazioni storiche
• L’approccio ibrido
• Le simulazioni storiche filtrate
•Le simulazioni Monte Carlo
•Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
2
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione
• I modelli di simulazione derivano il VaR simulando un grande numero di
“scenari” riguardanti la possibile evoluzione futura dei mercati
• L’approccio della simulazione è dunque più dispendioso in termini di tempo e
capacità di calcolo ma è spesso più accurato
Full valuation
Tre caratteristiche principali
Logica del percentile
Maggiore flessibilità
© Resti e Sironi, 2008
3
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione – full valuation
• L’approccio varianze-covarianze stima la variazione di valore di un portafoglio
attraverso un sistema di coefficienti di sensibilità, solitamente lineari
• Nei modelli di simulazione il valore di mercato del portafoglio di cui si intende
stimare il VaR viene completamente ricalcolato, mediante opportune
formule di pricing (“full valuation”)
Ad esempio, invece di stimare l’effetto di un rialzo dei tassi sul valore di un titolo
obbligazionario sulla base della duration modificata si procede a ricalcolare il nuovo
prezzo del titolo con il nuovo livello di tassi.
• L’approccio della simulazione richiede di conoscere un’opportuna formula di
pricing per tutti gli strumenti inseriti nel portafoglio
• Se le formule di pricing usate sono corrette, i modelli di simulazione non
restituiscono variazioni del valore del portafoglio approssimate, ma esatte
© Resti e Sironi, 2008
4
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione – full valuation
materie prime
azioni
tassi
cambi
1. Fattori di rischio:
2. Portafoglio:
3. Misure di rischio:
Si genera un elevato numero di
scenari relativi a variazioni dei
fattori di mercato, basati sulle
variazioni passate
(simulazione storica) o su una
determinata (ad es. normale)
distribuzione teorica
(simulazione Monte Carlo)
Ogni scenario è tradotto in una
variazione di valore simulata
per il portafoglio della banca,
di solito attraverso la logica
della full valuation ed un
insieme di formule di pricing
appropriate.
Il VaR (o altre misure di
rischio) viene derivato dalla
distribuzione delle variazioni
di valore simulate del
portafoglio, ad esempio
individuando l’opportuno
percentile
© Resti e Sironi, 2008
In linea
teorica,
è possibile
applicare la
logica della
simulazione
e continuare
a utilizzare la
tecnica dei
coefficienti
di sensibilità
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione – logica del percentile
• Nei modelli di simulazione, dopo aver generato la distribuzione di probabilità
degli N possibili valori futuri del portafoglio, il VaR viene stimato tagliando tale
distribuzione empirica in corrispondenza del percentile associato al livello di
confidenza desiderato
Ad esempio, dati 10.000 valori simulati del portafoglio,
il VaR al 95% viene calcolato prendendo il 5° percentile
(cioè la 501-esima osservazione partendo dalla peggiore)
• L’utilizzo della distribuzione di probabilità simulata dei valori del portafoglio
risolve il problema della non-normalità della distribuzione delle perdite future.
La distribuzione simulata può assumere qualsiasi forma
• Il “taglio” della distribuzione fa superare i problemi legati alla non monotonicità
della relazione tra fattore di mercato e portafoglio. I valori del portafoglio sono
ordinati dal migliore al peggiore, indipendentemente dal movimento del fattore
di mercato che li ha generati
© Resti e Sironi, 2008
6
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione – maggiore flessibilità
• Per tenere in considerazione il problema delle “code” spesse, in alcuni
modelli parametrici viene aumentato arbitrariamente il multiplo della
deviazione standard prescelto
• I modelli di simulazione non costringono a utilizzare una distribuzione
normale per modellare le variazioni dei fattori di mercato
le simulazioni storiche generano gli scenari relativi ai fattori di
rischio a partire dalla distribuzione empirica delle variazioni passate dei
fattori di mercato
le simulazioni Monte Carlo richiedono invece che venga definita una
distribuzione con cui generare le simulazioni. Essa deve rispecchiare le
caratteristiche empiriche delle distribuzioni delle variazioni dei fattori di
mercato e prestarsi alla generazione di simulazioni casuali
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
I modelli di simulazione – maggiore flessibilità
La simulazione Monte Carlo se usata con la distribuzione normale non
rispecchia totalmente la distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato.
L’approccio dello “stress testing” invece si concentra solo su pochi
scenari particolarmente sfavorevoli
Caratteristiche dell'approccio di simulazione
c) Simulazione con distribuzioni non
necessariamente normali
a) Full b) Approccio
Simulazione Monte Carlo
valuation del percentile Simulazione
Con
Con
storica
distribuzioni distribuzioni
non-normali
normali
Problemi
Non linearità
dei payoff
Non normalità
dei rendimenti
di mercato










Legenda:  = risolve il problema;  = non risolve il problema
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche
• Nel modello di simulazione storica si ipotizza che le potenziali variazioni dei
fattori di mercato siano ben rappresentate dalla loro distribuzione empirica
si ipotizza che la distribuzione delle variazioni
dei fattori di rischio sia stabile nel tempo
Principali passaggi di una simulazione storica
Fase Attività
1 Selezione di un campione di rendimenti (ad esempio giornalieri) del fattore o dei fattori
di mercato rilevanti, relativo a un determinato periodo storico (ad esempio 250 giorni).
2
3
4
5
Rivalutazione della singola posizione o del portafoglio in corrispondenza di ognuno dei
valori storici dei rendimenti del fattore di mercato.
Ricostruzione della distribuzione empirica di frequenza dei valori della
posizione/portafoglio così ottenuti.
Taglio della distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di
confidenza desiderato.
La differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio rappresenta il VaR
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Esempio – il VaR di una singola posizione
POSIZIONE: Opzione call, strike pari a 1.300 e vita residua di tre
mesi, sull’indice S&P500.
•Il valore corrente dell’opzione è pari a circa 2,30 dollari
•Il campione storico di riferimento sono 500 rendimenti giornalieri fra il 1°
gennaio 2003 e il 28 dicembre 2004.
•Nella tabella della slide successiva vengono presentati soltanto i primi 20 e gli
ultimi 20 dati, a sinistra ordinati cronologicamente mentre a destra dal
peggiore al migliore.
•La sesta colonna indica i valori che l’indice S&P500 potrebbe assumere
l’indomani se, partendo dal valore corrente (1.213,54 dollari) subisse una
variazione logaritmica pari a quella indicata nella colonna precedente
•La settima colonna indica quale sarebbe, dato questo nuovo valore del
sottostante, il nuovo valore di mercato dell’opzione
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Esempio – il VaR di una singola posizione
Data
03/01/2003
06/01/2003
07/01/2003
08/01/2003
09/01/2003
10/01/2003
13/01/2003
14/01/2003
15/01/2003
16/01/2003
17/01/2003
21/01/2003
22/01/2003
23/01/2003
24/01/2003
27/01/2003
28/01/2003
29/01/2003
30/01/2003
31/01/2003
…
30/11/2004
01/12/2004
02/12/2004
03/12/2004
06/12/2004
07/12/2004
08/12/2004
09/12/2004
10/12/2004
13/12/2004
14/12/2004
15/12/2004
16/12/2004
17/12/2004
20/12/2004
21/12/2004
22/12/2004
23/12/2004
27/12/2004
28/12/2004
S&P500
908,6
929,0
922,9
909,9
927,6
927,6
926,3
931,7
918,2
914,6
901,8
887,6
878,4
887,3
861,4
847,5
858,5
864,4
844,6
855,7
…
1173,8
1191,4
1190,3
1191,2
1190,3
1177,1
1182,8
1189,2
1188,0
1198,7
1203,4
1205,7
1203,2
1194,2
1194,7
1205,5
1209,6
1210,1
1204,9
1213,5
Rendimento
logaritmico
giornaliero del
S&P 500
0,0%
2,2%
-0,7%
-1,4%
1,9%
0,0%
-0,1%
0,6%
-1,5%
-0,4%
-1,4%
-1,6%
-1,0%
1,0%
-3,0%
-1,6%
1,3%
0,7%
-2,3%
1,3%
…
-0,4%
1,5%
-0,1%
0,1%
-0,1%
-1,1%
0,5%
0,5%
-0,1%
0,9%
0,4%
0,2%
-0,2%
-0,8%
0,0%
0,9%
0,3%
0,0%
-0,4%
0,7%
Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri
Rang
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
…
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
Rendimento
logaritmico
giornaliero del
S&P 500
-3,6%
-3,0%
-2,6%
-2,5%
-2,3%
-1,9%
-1,9%
-1,8%
-1,8%
-1,6%
-1,6%
-1,6%
-1,6%
-1,6%
-1,5%
-1,5%
-1,5%
-1,5%
-1,5%
-1,5%
…
1,6%
1,6%
1,6%
1,6%
1,7%
1,8%
1,9%
1,9%
1,9%
1,9%
1,9%
2,1%
2,1%
2,2%
2,2%
2,2%
2,3%
2,6%
3,4%
3,5%
© Resti e Sironi, 2008
Valore
simulato
dell’indice
S&P500
1170,8
1178,1
1182,2
1183,3
1185,8
1190,4
1191,2
1192,0
1192,1
1193,7
1193,9
1194,5
1194,7
1194,8
1194,9
1195,1
1195,1
1195,4
1195,8
1195,8
…
1233,1
1233,1
1233,2
1233,4
1234,7
1235,2
1236,6
1237,1
1237,2
1237,2
1237,3
1239,6
1239,9
1240,7
1240,7
1240,8
1241,4
1245,2
1255,4
1256,5
Valore
simulato
nella call
0,18
0,30
0,39
0,42
0,49
0,65
0,68
0,72
0,72
0,79
0,80
0,83
0,84
0,84
0,85
0,85
0,86
0,87
0,89
0,89
…
5,44
5,46
5,48
5,51
5,80
5,92
6,26
6,38
6,41
6,41
6,43
7,02
7,11
7,32
7,33
7,36
7,53
8,66
12,23
12,70
Variazione
nel valore
della call
-2,11
-2,00
-1,90
-1,88
-1,80
-1,65
-1,61
-1,58
-1,58
-1,50
-1,50
-1,47
-1,46
-1,46
-1,45
-1,44
-1,44
-1,43
-1,41
-1,40
…
3,15
3,16
3,18
3,22
3,50
3,63
3,96
4,08
4,11
4,12
4,14
4,72
4,81
5,02
5,03
5,06
5,23
6,36
9,93
10,40
14,00
Va lori simula ti ($) per la ca ll
Dati in ordine cronologico
A valori estremi dei rendimenti del
fattore di mercato corrispondono
valori estremi dell’opzione: la
relazione tra il valore di una call e
quello del suo sottostante, anche se
non lineare, è monotona
12,00
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
1160,00
1180,00
1200,00
1220,00
1240,00
1260,00
1280,00
Valori simulati ($) per l'indice S&P500
11
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Esempio – il VaR di una singola posizione
• Il VaR (livello di confidenza pari al 99%) è pari a 1,65 dollari  sesta variazione
negativa più rilevante del valore di mercato dell’opzione
• Se la banca avesse una posizione corta, il VaR andrebbe calcolato utilizzando le
variazioni positive del valore di mercato dell’opzione.
La distribuzione è infatti
asimmetrica e presenta una
coda destra più
pronunciata
20%
15%
10%
5%
0%
-2,5 / -2,0
-2,0 / -1,5
-1,5 / -1,0
-1,0 / -0,5
-0,5 / 0,0
0,0 / 0,5
0,5 / 1,0
1,0 / 1,5
1,5 / 2,0
2,0 / 2,5
2,5 / 3,0
3,0 / 3,5
3,5 / 4,0
4,0 / 4,5
4,5 / 5,0
5,0 / 5,5
5,5 / 6,0
6,0 / 6,5
6,5 / 7,0
7,0 / 7,5
7,5 / 8,0
8,0 / 8,5
8,5 / 9,0
9,0 / 9,5
9,5 / 10,0
10,0 / 10,5
10,5 / 11,0
11,0 / 11,5
11,5 / 12,0
12,0 / 12,5
I valori di VaR relativi a
una posizione lunga sono
meno elevati di quelli
corrispondenti a una corta.
25%
Percemtiale di casi
In questo caso il VaR
corrispondente al 99% di
confidenza è 5,03 dollari
-1.65
© Resti e Sironi, 2008
Variazione di valore della call ($)
12
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Esempio – la stima del VaR di portafoglio
PORTAFOGLIO: azioni appartenenti in egual misura al FTSE 100, al
DAX e all’S&P500.
•Nella tabella della slide successiva vengono riportati i rendimenti giornalieri
(100) dal 22 luglio all’8 dicembre 2004, dei tre indici.
•La colonna “Media” contiene il rendimento di un portafoglio composto in
uguale misura dalle azioni dei tre mercati nazionali.
•Le prime colonne sono in ordine cronologico, mentre la parte destra della
tabella è ordinata con riferimento al rendimento medio dei tre indici
•Anche in questo caso il VaR corrispondente ai differenti livelli di confidenza è
ottenuto seguendo la logica del percentile
•Per semplicità vengono riportati solo i primi dieci e gli ultimi dieci dati.
© Resti e Sironi, 2008
13
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Esempio – la stima del VaR di portafoglio
Rendimenti logaritmici giornalieri
in ordine cronologico
S&P50
Data
FTSE100 DAX
0
22/07/2004 -1,6%
-2,0%
0,3%
23/07/2004
0,5%
-0,1% -1,0%
26/07/2004 -0,9%
-1,2% -0,2%
27/07/2004
0,9%
1,6%
1,0%
28/07/2004
0,7%
-0,2%
0,1%
29/07/2004
1,4%
2,1%
0,5%
30/07/2004 -0,1%
0,2%
0,1%
02/08/2004
0,1%
-0,8%
0,4%
03/08/2004
0,3%
0,4%
-0,6%
04/08/2004 -0,5%
-1,4% -0,1%
…
…
…
…
25/11/2004
0,7%
0,8%
0,0%
26/11/2004 -0,3%
-0,1%
0,1%
29/11/2004
0,2%
-0,2% -0,3%
30/11/2004 -1,0%
-0,5% -0,4%
01/12/2004
0,7%
1,4%
1,5%
02/12/2004
0,3%
0,7%
-0,1%
03/12/2004 -0,1%
-0,2%
0,1%
06/12/2004 -0,5%
-0,4% -0,1%
07/12/2004
0,1%
0,4%
-1,1%
08/12/2004 -0,5%
-0,3%
0,5%
© Resti e Sironi, 2008
Dati ordinati in base
ai rendimenti logaritmici giornalieri
S&P50
Media Rank FTSE100 DAX
0
Media
-1,1% 1
-1,7%
-2,7% -1,6% -2,0%
-0,2% 2
-1,6% -2,0% 0,3%
-1,1%
-0,8% 3
-1,1%
-2,1% -0,1% -1,1%
1,2% 4
-0,9%
-1,1% -1,1% -1,0%
0,2% 5
-0,3%
-1,2% -1,4% -1,0%
1,3% 6
-0,8% -1,5% -0,2% -0,8%
0,0% 7
-0,8%
-0,9% -0,6% -0,8%
-0,1% 8
-0,9%
-1,1% -0,3% -0,8%
0,0% 9
-0,9%
-1,2% -0,2% -0,8%
-0,7% 10
-0,8%
-1,3%
0,0%
-0,7%
…
…
…
…
…
…
0,5% 91
1,1%
1,3%
0,0%
0,8%
-0,1% 92
0,5%
1,6%
0,6%
0,9%
-0,1% 93
0,9%
1,0%
0,9%
0,9%
-0,6% 94
0,8%
0,8%
1,3%
1,0%
1,2% 95
0,9%
1,6%
1,0%
1,2%
0,3% 96
0,7%
1,4%
1,5%
1,2%
-0,1% 97
1,1%
1,4%
1,4%
1,3%
-0,3% 98
1,0%
1,7%
1,3%
1,3%
-0,2% 99
1,4%
2,1%
0,5%
1,3%
-0,1% 100
1,9%
2,6%
1,5%
2,0%
Posizione corta:
VaR (99%)=1,1%
VaR(95%)=0,8%
Posizione Lunga
VaR (99%)=1,3%
VaR (95%)=1,2%
14
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze covarianze
• Il modello di simulazione storica è una tecnica non parametrica:
non specifica alcuna forma funzionale della distribuzione delle
variazioni dei fattori di mercato e non richiede di stimarne i parametri
• È possibile applicare l’approccio varianze – covarianze ai 100 rendimenti
dell’esempio precedente
• Deviazione standard dei rendimenti del portafoglio simulato = 0,65%
VaR al 95% - posizione lunga
VaR al 99% - posizione lunga
VaR al 95% - posizione corta
VaR al 99% - posizione corta
Media
Deviazione standard
Asimmetria (skewness)
Curtosi in eccesso
© Resti e Sironi, 2008
Varianze / covarianze
1,03%
1,46%
1,03%
1,46%
0,00%
0,63%
0,000
0,000
Simulazione storica
0,85%
1,12%
1,2%
1,3%
0,08%
0,63%
-0,013
0,868
15
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze covarianze
• Chi utilizza questa metodologia sostiene che essa abbia una maggior capacità di
cogliere le “code spesse” delle distribuzioni
come si vede dalla tabella però, le simulazioni storiche non
producono sempre stime di VaR più elevate e dunque più prudenti
• Confrontando la distribuzione storica dei rendimenti e la distribuzione normale
con media nulla e deviazione standard pari a 0,63% si osserva che, per intervalli
di confidenza sufficientemente ampi, la distribuzione assume effettivamente code
più spesse
• Mentre variazioni di valore nell’ordine del 2% (in più o in meno) sono
virtualmente impossibili per la distribuzione normale, esse si sono effettivamente
verificate nel passato, anche se in una porzione di casi modesta
© Resti e Sironi, 2008
16
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze covarianze
• Le “code grasse” della
distribuzione storica risultano
confermate dall’indice di curtosi
della distribuzione storica (slide
16)
16%
14%
10%
• La minore o maggiore prudenza
8%
di una metodologia rispetto a
un’altra dipende dalla forma
funzionale della distribuzione
storica dei rendimenti
6%
4%
2%
0%
-2,1%/-1,9%
-1,9%/-1,7%
-1,7%/-1,5%
-1,5%/-1,3%
-1,3%/-1,1%
-1,1%/-0,9%
-0,9%/-0,7%
-0,7%/-0,5%
-0,5%/-0,3%
-0,3%/-0,1%
-0,1%/0,1%
0,1%/0,3%
0,3%/0,5%
0,5%/0,7%
0,7%/0,9%
0,9%/1,1%
1,1%/1,3%
1,3%/1,5%
1,5%/1,7%
1,7%/1,9%
1,9%/2,1%
Percentale di casi
12%
Variazione nel valore del portafoglio azionario ($)
© Resti e Sironi, 2008
• Essendo in questo caso ottenuta
come somma della distribuzione
dei rendimenti di tre diversi
fattori di mercato, non è poi
molto diversa da una normale
17
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Pregi e limiti delle simulazioni storiche
4 VANTAGGI
1. È una metodologia facilmente comprensibile e comunicabile fra le varie
unità di una banca oltre che all'Alta Direzione Rappresenta infatti la perdita
che si otterrebbe se le condizioni passate dovessero ripetersi in futuro
2. Non viene richiesto di esplicitare alcuna ipotesi circa la forma
funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L’unica
ipotesi (implicita) è che la distribuzione dei rendimenti futuri sia
correttamente approssimata dalla distribuzione storica
3. Non è necessario stimare la matrice varianze-covarianze dei fattori di
mercato. Le simulazioni storiche catturano la struttura delle correlazioni
riflessa nelle variazioni congiunte dei fattori di mercato e ipotizzano che
rimangano costanti nel futuro
4. Essendo basate sulla full valuation, consentono di cogliere il rischio di
portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei fattori di mercato è non lineare
o non monotona
© Resti e Sironi, 2008
18
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Pregi e limiti delle simulazioni storiche
3 LIMITI:
1.Onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio: possono
richiedere tempi troppo lunghi rispetto alle esigenze di quantificazione del
rischio connesse all'attività di trading di una banca. Questo limite è venuto
diminuendo di importanza in seguito al continuo progresso della potenza di
calcolo dei computer
2.Le simulazioni storiche ipotizzano implicitamente la stabilità temporale
(stazionarietà) della distribuzione di probabilità. Se la distribuzione
(non osservabile) dei rendimenti è eteroschedastica, allora la distribuzione
empirica è un ibrido di realizzazioni di variabili diversamente distribuite con
scarso significato sia concettuale che operativo
segue sulla slide 21
© Resti e Sironi, 2008
19
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Pregi e limiti delle simulazioni storiche
3. Limitatezza delle serie storiche disponibili, specie se l’orizzonte
temporale prescelto è superiore a un giorno. Ciò si traduce in una scarsa
definizione delle code della distribuzione. Incrementare la lunghezza della serie
storica di riferimento può essere controproducente perché diviene più probabile
che sia violata l’ipotesi di stabilità della distribuzione
trade-off tra stabilità e rappresentatività
Le simulazioni storiche producono misure di VaR poco reattive alle variazioni
delle condizioni dei mercati. Il VaR cambia quando si presenta un rendimento
superiore (in valore assoluto) al percentile prescelto o quando quest’ultimo esce
dal campione
È un pregio e un difetto
il VaR risulta più stabile
© Resti e Sironi, 2008
il VaR può risultare poco aggiornato
20
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
L’approccio ibrido
• L’approccio ibrido, cerca di combinare i pregi dei due approcci, varianzecovarianze e simulazioni storiche
• Si applicano ponderazioni esponenzialmente decrescenti alla serie dei rendimenti
e non viene formulata alcuna ipotesi relativa alla forma funzionale della
distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato
• Si utilizza una serie storica di riferimento relativamente lunga ma viene attribuito
un peso più elevato ai dati più vicini nel tempo
• A ogni osservazione passata viene assegnata una ponderazione tanto maggiore
quanto più recente è la stessa osservazione (logica simile alle medie mobili
esponenziali)
i
• Date n osservazioni storiche, da t-1 a t-n :
Ponderazione assegnata
a ogni osservazione storica
© Resti e Sironi, 2008
wt i 

n
i


con
0   1
i 1
21
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
L’approccio ibrido
• Quanto minore è il valore di lambda, tanto maggiore è la velocità di decrescita
della ponderazione
• Il VaR viene ottenuto tagliando la distribuzione empirica in corrispondenza del
valore a cui è associata una ponderazione cumulata corrispondente al livello di
confidenza desiderato
• I singoli rendimenti non contribuiscono alla determinazione del VaR solo in
funzione della relativa intensità, ma anche in base relativa lontana/vicinanza
temporale
• Riprendiamo l’esempio della slide 15 (portafoglio azionario) e riportiamo i dati
di rendimento nella slide successiva
• A ogni dato di rendimento storico è associata una ponderazione che decresce in
modo esponenziale, con un λ pari a 0,94
• L’ultima colonna riporta la ponderazione cumulata corrispondente a ogni dato
di rendimento
© Resti e Sironi, 2008
22
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
L’approccio ibrido
Rendimenti logaritmici giornalieri
in ordine cronologico
Rendimenti
Pesi wi
Data
t - i simulati del
(i/Si)
portafoglio
22/07/2004 t - 100
-1,12%
0,01%
23/07/2004 t - 99
-0,20%
0,01%
26/07/2004 t - 98
-0,76%
0,01%
27/07/2004 t - 97
1,16%
0,02%
28/07/2004 t - 96
0,20%
0,02%
29/07/2004 t - 95
1,34%
0,02%
30/07/2004 t - 94
0,05%
0,02%
02/08/2004 t - 93
-0,12%
0,02%
03/08/2004 t - 92
0,02%
0,02%
04/08/2004 t - 91
-0,66%
0,02%
05/08/2004 t - 90
-0,46%
0,02%
25/11/2004 t - 10
0,52%
3,45%
26/11/2004 t - 9
-0,11%
3,66%
29/11/2004 t - 8
-0,12%
3,90%
30/11/2004 t - 7
-0,63%
4,15%
01/12/2004 t - 6
1,21%
4,41%
02/12/2004 t - 5
0,32%
4,69%
03/12/2004 t - 4
-0,06%
4,99%
06/12/2004 t - 3
-0,32%
5,31%
07/12/2004 t - 2
-0,18%
5,65%
08/12/2004 t - 1
-0,10%
6,01%
© Resti e Sironi, 2008
Dati ordinati in base ai
rendimenti logaritmici giornalieri
Rendimenti
Pesi wi
Data
t - i simulati del
(i/Si)
portafoglio
06/08/2004 t - 89
-1,99%
0,03%
22/07/2004 t - 100
-1,12%
0,01%
25/10/2004 t - 33
-1,09%
0,83%
19/11/2004 t - 14
-1,04%
2,69%
22/09/2004 t - 56
-0,99%
0,20%
12/10/2004 t - 42
-0,85%
0,48%
27/09/2004 t - 53
-0,78%
0,24%
11/08/2004 t - 86
-0,77%
0,03%
26/07/2004 t - 98
-0,76%
0,01%
20/10/2004 t - 36
-0,70%
0,69%
04/08/2004 t - 91
-0,66%
0,02%
01/11/2004 t - 28
0,80%
1,13%
17/11/2004 t - 16
0,89%
2,38%
11/11/2004 t - 20
0,94%
1,86%
10/08/2004 t - 87
0,98%
0,03%
27/07/2004 t - 97
1,16%
0,02%
01/12/2004 t - 6
1,21%
4,41%
16/08/2004 t - 83
1,30%
0,04%
27/10/2004 t - 31
1,34%
0,94%
29/07/2004 t - 95
1,34%
0,02%
01/10/2004 t - 49
2,01%
0,31%
Pesi
cumulati
(Swi)
0,03%
0,04%
0,87%
3,56%
3,76%
4,23%
4,48%
4,51%
4,52%
5,21%
5,23%
90,01%
92,38%
94,24%
94,27%
94,28%
98,70%
98,73%
99,67%
99,69%
100,00%
La ponderazione
cumulata subisce
un “salto” da
0,87% a 3,56%
in corrispondenza
del passaggio dal
nono al decimo
maggior (in
valore assoluto)
rendimento
negativo.
Seguendo un
criterio
prudenziale:
VaR(99%)=1,09%
23
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
L’approccio ibrido
• In alternativa si può utilizzare un’interpolazione lineare:
VaR99%  1,09% 
(3,56%  1%)
(1%  0,87%)
 1,04% 
 1,088%
(3,56%  0,87%)
(3,56%  0,87%)
Confronto metodo delle simulazioni storiche e approccio ibrido
VaR al 95% - posizione lunga
VaR al 99% - posizione lunga
VaR al 95% - posizione corta
VaR al 99% - posizione corta
Simulazione storica
0,85%
1,12%
1,16%
1,34%
Simulazione ibrida
0,72%
1,09%
1,17%
1,31%
• In questo caso l’approccio ibrido da luogo, per la posizione lunga, a misure di
rischio leggermente più contenute
le riduzioni più pronunciate dei fattori di mercato
si sono verificate nella parte iniziale del campione
© Resti e Sironi, 2008
24
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
L’approccio ibrido
• In definitiva l’approccio ibrido combina i pregi delle simulazioni storiche con
i vantaggi propri della tecnica delle medie mobili esponenziali
• Questo approccio dà una prima risposta a due problemi:
ipotesi di stabilità (“i.i.d.-ness”) della
distribuzione dei rendimenti
viene dato più peso alle osservazioni più vicine,
provenienti da distribuzioni più simili a quella corrente
lunghezza ottimale della serie storica
riducendo le distorsioni legate alla violazione
dell’ipotesi di i.i.d.-ness, permette di usare più dati
© Resti e Sironi, 2008
25
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie
• Finora abbiamo ipotizzato che l’orizzonte temporale su cui si vuole calcolare
il VaR sia simile alla frequenza con cui sono stati rilevati i dati del campione
storico
Si possono anche usare dati giornalieri per un VaR settimanale,
trasformando i dati da giornalieri a settimanali
• Con il metodo del bootstrapping e della generazione di traiettorie si fa in
modo che tale passaggio non riduca il numero di osservazioni
• Il bootstrapping prevede che anziché usare una sola volta ogni rendimento
passato, venga estratto dal campione un elevato numero di valori, ogni volta,
con re-immissione.
© Resti e Sironi, 2008
26
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie
• Indichiamo con r1,t+1 il primo dei rendimenti. È un rendimento giornaliero,
mentre l’orizzonte del VaR è settimanale (M=7)
• Il valore assunto il giorno dopo dal fattore di rischio S sarà:
S1,t 1  St e
r1,t 1
• Estraiamo con il bootstrapping un nuovo rendimento giornaliero r1,t+2 il valore
assunto da S sarà:
S1,t 2  St e
r1,t 1 r1,t  2
• Se si procede fino a 7 rendimenti giornalieri si determina il valore di S fra una
settimana:
M
S1,t 7  St e
 r1,t i
i 1
• Sulla base di questo valore è possibile applicare la logica della full valuation per
ottenere il valore del portafoglio della banca in questo primo scenario
© Resti e Sironi, 2008
27
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie
• Per poter costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della
banca tra una settimana, è necessario generare altre N-1 traiettorie, cioè
generare, in tutto, NM valori di r
• A partire da tale distribuzione, sarà possibile identificare il percentile desiderato
(per esempio, il primo) ed il relativo VaR
• La Figura riportata nella slide successiva, creata utilizzando come campione
storico i 100 rendimenti giornalieri del portafoglio (slide 15), mostra una singola
traiettoria per il valore del portafoglio nell’arco di sette giorni consecutivi
(primo pannello), cinque traiettorie (secondo pannello), infine cento traiettorie
(terzo pannello: NM=700)
• La generazione di traiettorie con il bootstrapping non simula solo la variazione
totale delle variabili di mercato, ma anche il percorso evolutivo che le conduce al
valore finale (caratteristica utile per alcuni tipi di opzioni)
© Resti e Sironi, 2008
28
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie
106,0
106,0
104,0
104,0
102,0
102,0
100,0
100,0
1 traiettoria
98,0
98,0
96,0
96,0
94,0
94,0
92,0
t
t+1
t+2
t+3
t+4
t+5
108,0
100 traiettorie
106,0
104,0
102,0
100,0
98,0
96,0
94,0
92,0
90,0
t
t+1
5 traiettorie
t+2
t+3
© Resti e Sironi, 2008
t+4
t+5
t+6
t+7
t+6
t+7
107,5 - 108,0
107,0 - 107,5
106,5 - 107,0
106,0 - 106,5
105,5 - 106,0
105,0 - 105,5
104,5 - 105,0
104,0 - 104,5
103,5 - 104,0
103,0 - 103,5
102,5 - 103,0
102,0 - 102,5
101,5 - 102,0
101,0 - 101,5
100,5 - 101,0
100,0 - 100,5
99,5 - 100,0
99,0 - 99,5
98,5 - 99,0
98,0 - 98,5
97,5 - 98,0
97,0 - 97,5
96,5 - 97,0
96,0 - 96,5
95,5 - 96,0
95,0 - 95,5
94,5 - 95,0
94,0 - 94,5
93,5 - 94,0
93,0 - 93,5
92,5 - 93,0
92,0 - 92,5
92,0
t
t+1
t+2
t+3
t+4
t+5
t+6
t+7
distribuzione di frequenza dei 100
valori del portafoglio in t+7
0%
5%
10%
15%
20%
29
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche filtrate
• Il bootstrapping conduce a risultati corretti se i rendimenti giornalieri sono iid
• L’approccio ibrido rappresenta solo una risposta approssimata ai problemi
legati alla stabilità delle distribuzioni dei fattori di rischio
• Sono stati perciò proposti altri modelli
1
Hull e White nel 1998 suggeriscono di aggiustare i dati storici
sulla base delle condizioni attuali (o previste) della volatilità
dei fattori di rischio
approccio volatility weighted
In presenza di un incremento della volatilità, i rendimenti
storici vengono corretti al rialzo conducendo a stime di VaR
superiori di quelle implicite nella distribuzione storica
© Resti e Sironi, 2008
30
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche filtrate
2
Proposto da Barone-Adesi e Giannopoulos nel 1996
Approccio delle simulazioni storiche filtrate
• Questo approccio è utilizzato per il controllo del rischio presso la London Clearing
House, la cassa di compensazione del mercato dei futures di Londra (LIFFE)
• Si basa su due idee di fondo:
1.Utilizzo di modelli GARCH per
filtrare i dati e rendere i residui i.i.d
la volatilità non è costante ma stocastica
2. Utilizzo di tali residui filtrati
per generare scenari con una
tecnica di bootstrap, tenendo
conto della non-normalità dei
rendimenti dei fattori di rischio e
della loro eteroschedasticità
• Si può ipotizzare che i rendimenti seguano un semplice GARCH (1,1)
rt   t
© Resti e Sironi, 2008
 t   0  1 t21  1 t21
2
31
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche filtrate
• Dopo aver stimato i coefficienti del GARCH (1,1), i rendimenti storici vengono
standardizzati (“filtrati”):
et   t /  t
rendimenti storici
volatilità condizionata
• Se il modello è corretto, questi rendimenti standardizzati sono i.i.d. ed è dunque
possibile utilizzarli per la simulazione storica
• Il bootstrapping viene utilizzato per estrarre casualmente (con re-inserimento)
numero N di valori; il campione di partenza non è quello dei rendimenti
storici, bensì dei rendimenti filtrati
• Ognuno degli ei viene quindi moltiplicato per la stima della volatilità condizionata
relativa al periodo t+1 per cui si desidera calcolare il VaR
• Il primo shock ad esempio è
© Resti e Sironi, 2008
r1  1  e1  ˆ t 1
32
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche filtrate
• Dopo aver generato i valori di r2, r3, … rN, il portafoglio della banca viene
rivalutato in base ad ogni shock, così da ottenere una distribuzione di N possibili
valori futuri
• Il VaR si ottiene tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile
desiderato e calcolando la differenza tra tale percentile ed il valore corrente del
portafoglio
• Se l’orizzonte di rischio è superiore alla frequenza di calcolo dei rendimenti
Si utilizza la versione filtrata del metodo basato
sulla generazione di traiettorie
• r1,t+1= e1,t+1 è il primo rendimento giornaliero generato (“pesato” per la volatilità
corrente)
 St e

• Partendo dal rendimento simulato è anche possibile ottenere una stima di  t  2
 2
 t 2   0  1 t21  1 t21
• Il valore assunto il giorno successivo dal fattore di rischio S sarà: S1,t 1
© Resti e Sironi, 2008
r1,t 1
33
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni storiche filtrate
• Utilizzando nuovamente il bootstrapping è possibile estrarre dal campione un
nuovo valore casuale e1,t+2
• Moltiplicando tale valore per la stima della volatilità appena ottenuta, si genera
un rendimento simulato coerente con la volatilità prevista per il secondo giorno:
r1,t 2  1,t 2  e2,t 2  ˆ t 2
• Ripetendo il procedimento per i giorni successivi, si ottiene un vettore di sette
rendimenti (r1,t+1, …, r1, t+7), che consente di stimare il possibile valore, tra una
7
settimana, del fattore di rischio:
 r1,t i
S1,t 7  St e
i 1
• Generando altre N-1 traiettorie, si potrà costruire una distribuzione di N possibili
valori del portafoglio della banca tra una settimana
• A partire da tale distribuzione si potrà individuare il percentile desiderato e il
VaR
© Resti e Sironi, 2008
34
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo
• Anche le simulazioni Monte Carlo si basano sulla generazione di dati
casuali
• Partendo dal campione storico si stimano i parametri di una particolare
distribuzione di probabilità (normale, t di Student, ecc) dalla quale verranno
successivamente estratti gli N valori simulati per il fattore o i fattori di rischio
• È possibile generare un numero di valori anche superiore al numero di
osservazioni presente nel campione storico
• Deve essere però selezionata la “giusta” distribuzione di probabilità del fattore
di rischio: si tratta dunque di una tecnica parametrica
• Le simulazioni Monte Carlo sono state originariamente utilizzate in finanza
quale strumento per il pricing di prodotti complessi
© Resti e Sironi, 2008
35
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo
• Se sono valide alcune ipotesi (completezza dei mercati, assenza di opportunità di
arbitraggio, etc.) il prezzo di uno strumento derivato è dato dal valore atteso
del suo payoff futuro attualizzato al tasso risk free
Il valore atteso può essere calcolato simulando un numero
elevato di possibili evoluzioni delle condizioni di mercato.
Se il numero di simulazioni è sufficientemente elevato, il valore medio
risulta uno stimatore non distorto del “vero” valore atteso del payoff
• In termini analitici ciò equivale a stimare in modo approssimato l’integrale,
pesato per la probabilità, di una funzione V(x1, x2, … xm) in uno spazio di
dimensione m (maggiore o uguale a uno), pari al numero dei fattori di mercato
rilevanti
© Resti e Sironi, 2008
36
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo
• Le simulazioni Monte Carlo possono essere utilizzate anche per stimare il VaR
• La stima del VaR di una posizione sensibile ai rendimenti r di un unico fattore di
mercato si compone di 5 fasi:
Scelta della distribuzione di
densità di probabilità f(r) che
meglio approssima la
distribuzione dei rendimenti
del fattore di mercato in esame
Calcolo della variazione
del valore di mercato della
posizione per ognuno
degli scenari simulati
© Resti e Sironi, 2008
Stima dei parametri (media,
deviazione standard, ecc.)
della distribuzione f.
Simulazione di N scenari per il
fattore di mercato, partendo
dalla distribuzione f.
Taglio della distribuzione di
probabilità in corrispondenza
del percentile relativo al livello
di confidenza desiderato
37
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo
• Se la distribuzione scelta non rappresenta correttamente le evoluzioni future del
fattore di rischio, gli scenari generati e il valore del VaR risulteranno irrealistici
• La fase 3 risulta particolarmente impegnativa
Può essere scomposta in 2 parti, da ripetersi N volte:
estrazione di un valore p dalla distribuzione uniforme
calcolo del valore r tale che r  F 1(p)
r viene così definito in modo che tale che la probabilità
che si verifichino valori inferiori o pari a r è esattamente p
© Resti e Sironi, 2008
38
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo - esempio
POSIZIONE: Opzione call at the money sull’indice CAC40, scadenza 1
anno
• L’indice quota 100 euro e il valore di mercato dell’opzione è 9,413 euro
• SCELTA DELLA DISTRIBUZIONE: distribuzione normale con media μ pari a
0,15% e deviazione standard s pari a 1,5%
• Mediante un generatore di numeri casuali basato su una distribuzione uniforme
[0,1], vengono estratti N valori compresi fra zero e uno
• A ognuno di tali valori p associa il corrispondente valore
r=F-1(p)=N-1(p;0,15%,1,5%)
• Visto che gli elaboratori calcolano l’inversa della funzione di ripartizione della
distribuzione normale standard, si generano dapprima i valori dalla normale
standard e successivamente li si converte secondo la distribuzione voluta.
F 1 ( p)  N 1 ( p;  ,  )    N 1 ( p)    0,15%  N 1 ( p)  1,5%
© Resti e Sironi, 2008
39
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo - esempio
distribuzione uniforme
0
p
1
v  N 1 ( p)
p
(I) Un valore di p
viene estratto da una
distribuzione uniforme
(II) p (area ombreggiata) è convertito
in un valore distribuito secondo
una normale standard, v
r  F 1 ( p)
Ct 1


Ct
v   1 ( p)
(III) v = N-1(p) è convertito in un
valore per r, in base a  e  della vera
distribuzione di probabilità f
© Resti e Sironi, 2008
S t e r  S t 1
(IV) Sulla base di x, si simula il fattore
di mercato in t+1 e si calcola la
variazione di valore della call
40
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo - esempio
Scenario
n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
p (distribuita in
modo uniforme) v = N-1(p)
0,663
0,420
0,739
0,639
0,465
-0,087
0,301
-0,521
0,363
-0,349
0,286
-0,564
0,397
-0,260
0,686
0,484
0,434
-0,167
0,600
0,254
…
…
r = F1(p)
 v×
0,008
0,011
0,000
-0,006
-0,004
-0,007
-0,002
0,009
-0,001
0,005
…
St+1=St×er
100,78
101,11
100,02
99,37
99,63
99,31
99,76
100,88
99,90
100,53
…
c
9,888
10,093
9,425
9,040
9,191
9,003
9,270
9,947
9,353
9,735
…
Dc
0,475
0,679
0,012
-0,373
-0,222
-0,411
-0,143
0,534
-0,060
0,321
…
• Seconda colonna : estrazione dei numeri casuali dalla distribuzione uniforme
• Terza colonna: valore v distribuito secondo una normale standard
© Resti e Sironi, 2008
41
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo - esempio
• Quarta colonna: valore r che rispetti la distribuzione normale con media=0,15%
e deviazione standard =1,5%
• Quinta colonna: valore al tempo t+1 dell’indice CAC40 per ogni tasso di
variazione r simulato
• Sesta colonna: valore dell’opzione call in t+1
• Settima colonna: differenza tra il valore simulato e il valore di mercato corrente
della call
• La Tabella riporta solo i primi 10 di 1.000 valori simulati
• Tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di
confidenza desiderato, si determina il VaR corrispondente ai diversi livelli di
confidenza
• Ad esempio, in base ai dati della tabella, VaR (confidenza 95%)=1,25 euro
e VaR (confidenza 99%)=1,77 euro
© Resti e Sironi, 2008
42
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
• Da una singola posizione sensibile ad un singolo fattore di mercato si passa a una
posizione o portafoglio sensibile all’evoluzione di m fattori di mercato
• Per la stima del VaR devono essere tenute in considerazione le correlazioni fra i
rendimenti di tali fattori
• Se ci si limitasse a simulare gli N scenari in modo indipendente per ogni fattore
di mercato, il risultato sarebbe irrealistico poiché i fattori risulterebbero
incorrelati
• Le cinque fasi della slide 38 vanno dunque modificate:
1. scelta della distribuzione di densità di probabilità congiunta f(r1, …, rm) che
meglio approssima la distribuzione dei rendimenti degli m fattori di mercato in
esame;
2. stima dei parametri (medie, varianze e covarianze, ecc.) della distribuzione f;
© Resti e Sironi, 2008
43
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
3.simulazione di N scenari per gli m fattore di mercato, partendo dalla
distribuzione f;
4.calcolo della variazione del valore di mercato della posizione in corrispondenza di
ognuno degli scenari simulati;
5.taglio della distribuzione di probabilità così ottenuta in corrispondenza del
percentile relativo al livello di confidenza desiderato.
• Come si può notare, deve essere specificata e parametrizzata una distribuzione di
probabilità congiunta
• Particolarmente importante è la matrice di varianze e covarianze (Σ). Essa dovrà
dapprima essere scomposta in due matrici triangolari A e A’ (una la trasposta
dell’altra), in modo che:
AA = Σ
• È sempre possibile ottenere le due matrici A e A’ da una matrice di varianze e
covarianze corretta (ad esempio con la scomposizione di Cholesky)
© Resti e Sironi, 2008
44
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
• Anziché intervenire su ogni singolo valore vi, moltiplicandolo per la relativa
deviazione standard e aggiungendo la relativa media (come si farebbe per una
singola posizione), tutti e m i valori vengono riuniti in un vettore v
• Da v si ricava r:
r  A  v  μ
il vettore degli m rendimenti medi dei fattori di mercato
• Il vettore r è solo uno degli N scenari. L’operazione viene ripetuta fino ad
ottenere N scenari.
• Una volta costruita l’intera distribuzione dei possibili valori futuri del portafoglio
il VaR viene calcolato secondo la logica del percentile
© Resti e Sironi, 2008
45
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
PORTAFOGLIO: posizione lunga su una call sull’indice CAC40 +
posizione corta su una call at the money sull’indice tedesco DAX,
entrambi con scadenza 1 anno
• SCELTA DELLA DISTRIBUZIONE DAX: distribuzione normale con media
0,18% e deviazione standard 1,24%
• Coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due indici = 0,75
• La correlazione positiva e il fatto che le posizioni sono una corta e l’altra lunga
implica un effetto di hedging
• Nella slide successiva viene condotta una simulazione Monte Carlo senza
considerare la correlazione (ipotesi di rendimenti indipendenti)
Risultati altamente irrealistici
© Resti e Sironi, 2008
46
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
6%
r2 - rendimenti del DAX
4%
2%
0%
-2%
-4%
-6%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
r1 - rendimenti del CAC40
© Resti e Sironi, 2008
4%
6%
Call sull’indice CAC40
p1 (con
distribuzio
r1 = F1(p1) 
Scenari
ne
v  N N-1(p )×
1
o n.
uniforme)
(p1)
 1
1
0,848
1,029
0,017
2
0,678
0,463
0,008
3
0,165
-0,975
-0,013
4
0,674
0,451
0,008
5
0,967
1,834
0,029
6
0,597
0,245
0,005
7
0,816
0,900
0,015
8
0,253
-0,664
-0,008
9
0,057
-1,582
-0,022
10
0,384
-0,294
-0,003
…
…
…
…
990
0,592
0,232
0,005
991
0,954
1,682
0,027
992
0,690
0,497
0,009
993
0,628
0,327
0,006
994
0,237
-0,718
-0,009
995
0,520
0,049
0,002
996
0,491
-0,023
0,001
997
0,949
1,634
0,026
998
0,754
0,688
0,012
999
0,709
0,551
0,010
1000
0,696
0,512
0,009
Call sull’indice DAX
p2 (con
distribuzio
ne
uniforme)
0,464
0,112
0,227
0,159
0,616
0,263
0,595
0,199
0,210
0,158
…
0,657
0,515
0,903
0,808
0,690
0,172
0,683
0,965
0,683
0,987
0,397
v2  N1(p )
2
-0,091
-1,214
-0,748
-0,997
0,296
-0,633
0,240
-0,845
-0,806
-1,004
…
0,403
0,039
1,298
0,870
0,495
-0,946
0,476
1,814
0,476
2,227
-0,260
r2 = F1(p2) 
 N-1(p2)×2 
2
0,000
-0,017
-0,010
-0,013
0,006
-0,008
0,005
-0,011
-0,011
-0,014
…
0,008
0,002
0,021
0,015
0,009
-0,013
0,009
0,029
0,009
0,035
-0,002
47
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
• La generazione degli scenari richiede in realtà di tenere in considerazione la
correlazione:
2
  CAC
Σ 2
 CAC, DAX
2
2
 
 CAC
 CAC
, DAX

2
 DAX
  CAC, DAX  CAC DAX
CAC, DAX  CAC DAX  0,023% 0,014%


2
 DAX
 0,014% 0,015%
matrice di varianze e covarianze
0,023% 0,014% 1,500% 0,000% 1,500% 0,930%
Σ


 AA



0,014% 0,015% 0,930% 0,820% 0,000% 0,820%
Scomposizione di Cholesky
0,15%
μ

0
,
18
%


© Resti e Sironi, 2008
Vettore delle medie
48
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
Vettore vj
(incorrelato)
Vettore pj
p2
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
p1
0,426
0,254
0,651
0,785
0,446
0,883
0,917
0,615
0,882
0,109
…
0,053
0,372
0,573
0,735
0,982
0,497
0,238
0,913
0,669
0,686
0,941
0,683
0,368
0,732
0,245
0,354
0,074
0,076
0,469
0,452
0,672
…
0,687
0,035
0,787
0,385
0,385
0,745
0,124
0,534
0,069
0,744
0,894
v1 
N-1(p1)
-0,187
-0,662
0,388
0,789
-0,135
1,190
1,387
0,293
1,187
-1,232
…
-1,614
-0,326
0,184
0,627
2,096
-0,007
-0,714
1,357
0,438
0,485
1,566
© Resti e Sironi, 2008
v2
 N-1(p2)
0,475
-0,337
0,619
-0,691
-0,375
-1,446
-1,430
-0,079
-0,122
0,446
…
0,487
-1,808
0,797
-0,292
-0,291
0,660
-1,153
0,084
-1,481
0,655
1,251
Vettore rj = Avj+
(correlato)
r1
0,003
-0,012
0,013
0,007
-0,004
0,006
0,009
0,005
0,018
-0,013
…
-0,018
-0,020
0,012
0,008
0,030
0,008
-0,020
0,023
-0,006
0,015
0,037
r2
0,006
-0,001
0,007
-0,004
-0,001
-0,010
-0,010
0,001
0,001
0,005
…
0,006
-0,013
0,008
-0,001
-0,001
0,007
-0,008
0,002
-0,010
0,007
0,012
Fattore di mercato 1
(CAC40)
S1,t+1
=S1,t×er1
100,31
98,85
101,32
100,69
99,60
100,59
100,91
100,52
101,83
98,72
…
98,20
98,00
101,17
100,82
103,07
100,76
98,03
102,29
99,43
101,50
103,73
c1
9,602
8,738
10,218
9,833
9,175
9,772
9,963
9,726
10,543
8,666
…
8,367
8,255
10,129
9,912
11,339
9,872
8,270
10,834
9,076
10,332
11,777
Dc1
0,188
-0,676
0,805
0,420
-0,238
0,358
0,550
0,313
1,130
-0,748
…
-1,047
-1,159
0,716
0,499
1,926
0,458
-1,144
1,421
-0,337
0,918
2,363
Fattore di mercato 2 (DAX)
S2,t+1
=S2,t×er2
100,57
99,90
100,69
99,61
99,87
99,00
99,01
100,12
100,08
100,55
…
100,58
98,71
100,84
99,94
99,94
100,72
99,24
100,25
98,97
100,72
101,21
c2
7,837
7,426
7,911
7,252
7,408
6,889
6,897
7,556
7,534
7,822
…
7,843
6,719
8,003
7,449
7,449
7,932
7,028
7,638
6,873
7,930
8,242
Dc2
0,352
-0,059
0,426
-0,233
-0,077
-0,596
-0,588
0,071
0,049
0,337
…
0,358
-0,766
0,518
-0,036
-0,036
0,447
-0,457
0,153
-0,612
0,445
0,757
Portafoglio
DP =
P=
Dc1 c1 - c2
Dc2
1,765 0,540
1,311 -0,734
2,307 1,230
2,581 0,187
1,767 -0,316
2,883 -0,238
3,067 -0,039
2,171 0,384
3,009 1,179
0,844 -0,411
…
…
0,524 -0,689
1,536 -1,924
2,126 1,234
2,463 0,462
3,890 1,890
1,940 0,905
1,242 -1,600
3,197 1,574
2,204 -0,949
2,402 1,363
3,535 3,120
49
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
5%
4%
3%
r2 - rendimenti del DAX
2%
1%
0%
-1%
-2%
-3%
-4%
-5%
-5%
-4%
-3%
-2%
-1%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
r1 - rendimenti del CAC40
© Resti e Sironi, 2008
50
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – il VaR di portafoglio
• Come si nota dalla tabella e dalla figura riportate nelle slide 49 e 50, la
correlazione positiva fra i due indici di borsa è ora pienamente recepita dai dati
• Dato il segno delle due posizioni (una corta e l’altra lunga), la correlazione
positiva si traduce in una correlazione negativa fra gli utili e le perdite connessi
alle due posizioni.
• L’effetto di hedging si può notare facilmente nel calcolo del VaR nel caso di
indipendenza e nel caso in cui la correlazione viene tenuta in considerazione:
Independenti
Correlati al 75%
VaR at 99%
-3,280
-1,312
VaR at 95%
-2,172
-0,917
© Resti e Sironi, 2008
51
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – vantaggi e limiti
4 VANTAGGI
1. Full valuation
2. Efficienza della procedura di calcolo: il tempo necessario per effettuare
le simulazioni richieste cresce linearmente e non esponenzialmente al crescere
del numero di variabili considerate, a differenza di altre procedure
3. Può essere utilizzato con qualunque distribuzione di probabilità dei
rendimenti dei fattori di mercato
4. Può essere utilizzato per generare traiettorie (non solo il valore finale ma
anche il percorso che lo ha determinato). Ciò risulta utile per gli strumenti il
cui payoff dipende anche dai valori intermedi
© Resti e Sironi, 2008
52
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le simulazioni Monte Carlo – vantaggi e limiti
2 LIMITI
1. Diversamente dalle simulazioni storiche, è necessaria una stima della
matrice delle varianze-covarianze dei fattori di mercato
2. Pur essendo più efficiente di altre procedure numeriche, risulta comunque
onerosa, in termini di tempo e di risorse informatiche
© Resti e Sironi, 2008
53
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
La costruzione di prove di carico– stress test
• Invece di stimare l’intera distribuzione degli eventi possibili, è possibile
concentrarsi sugli effetti, in termini di perdite potenziali, connessi a eventi
estremi
• Il valore di mercato del portafoglio viene rivalutato (full-valuation) alle
condizioni di mercato proprie di scenari estremamente pessimistici
prove di carico o stress test
• Le variazioni dei fattori di mercato vengono simulate in modo prevalentemente
arbitrario e soggettivo. Solitamente:
1. Si replicano i più forti shock di mercato verificatisi in passato (ad esempio:
crollo dei mercati azionari dell’ottobre 1987, dell’aprile 2000 e del settembre
2001, crollo dei mercati valutari del settembre 1992 e dei mercati
obbligazionari dell’aprile 1994)
2. Si utilizzano multipli elevati della volatilità storica (factor push analysis)
3. Si fanno ipotesi del tutto soggettive
© Resti e Sironi, 2008
54
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
La costruzione di prove di carico– factor push analysis
• Le tecniche di factor push analysis (FPA) suggeriscono di “spingere” i singoli
fattori di mercato verso la direzione più sfavorevole di un valore pari ad un certo
numero di volte la relativa deviazione standard
• È relativamente facile da implementare e tende ad identificare il peggior evento
possibile
3 LIMITI
1. Non è detto che le perdite più consistenti siano associate alle variazioni più
pronunciate dei fattori di mercato
2. Non si tengono generalmente in considerazione le correlazioni fra i diversi
fattori di mercato
3. I risultati di perdita potenziale non sono associabili a una specifica probabilità
di accadimento
© Resti e Sironi, 2008
55
Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
La costruzione di prove di carico– ipotesi soggettive
• Questa metodologia è stata adottata dal Derivatives Policy Group
• Si tratta di shock elevati, ad esempio:
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spostamenti paralleli della curva dei rendimenti di 100 bp
variazione dell’inclinazione della curva dei rendimenti di più o meno 25 pb
variazioni degli indici di borsa di 10 punti percentuali
variazioni dei tassi di cambio di 6 punti percentuali
variazioni della volatilità di più o meno 20 punti percentuali
• Le prove di stress proposte dal DPG sono unidimensionali (i fattori di mercato
sono “stressati” singolarmente)
• Le prove “multidimensionali” si basano sulla simulazione congiunta di variazioni
pronunciate di più fattori di mercato congiuntamente
scenari semplici
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scenari predittivi
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
La costruzione di prove di carico– scenari semplici
Scenari semplici
Scenari predittivi
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Un certo numero di fattori di rischio viene
“stressato”, modificandone il valore verso livelli
estremi, mentre i restanti fattori vengono lasciati
invariati.
Ad esempio: svalutazione del 50% dell’euro sul
dollaro e del 40% sulla sterlina + riduzione dei
tassi di mercato monetario euro del 3% + ripresa
del 30% dei principali indici di borsa europei (le
altre variabili rimangono invariate)
Si formulano ipotesi arbitrarie sulla possibile
evoluzione di un certo sottoinsieme di variabili
di mercato e si correggono anche i restanti
fattori di rischio sulla base della loro
correlazione con le prime.
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
La costruzione di prove di carico
• Le prove di stress non rappresentano una modalità di determinazione del
VaR di un portafoglio
• Non è possibile associare ad una perdita il corrispondente livello di
confidenza
• Le prove di stress dovrebbero integrare, piuttosto che sostituire, i modelli
VaR che, fondati su dati storici relativamente recenti non possono
cogliere quegli eventi estremi che si verificano con frequenza limitata
• Questo utilizzo complementare è richiesto dal Comitato di Basilea per le
banche che intendono usare i propri modelli interni di risk management per
la determinazione del requisito patrimoniale obbligatorio
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Rischio e valore nelle banche
I modelli di simulazione
Le prove di stress - pregi
5 VANTAGGI
1. Sono di semplice applicazione e facilmente comunicabili ai vertici aziendali
2. Consentono di superare le ipotesi restrittive dei modelli VaR (ad esempio:
forma e stazionarietà della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato)
3. Consentono di simulare episodi di crisi di liquidità (come quella del 1998)
4. Permettono di simulare scenari estremi per più fattori di mercato
congiuntamente
5. Possono essere costruite su misura per ogni portafoglio di negoziazione
• È importante che le prove di stress siano seguite da azioni concrete:
L’identificazione di un’area di vulnerabilità deve essere seguita
da provvedimenti come ad esempio l’acquisto di protezione la
modifica della composizione del portafoglio
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/1
1. Una banca europea calcola il VaR associato alla sua posizione
complessiva in dollari sulla base di un VaR parametrico e
dell’approccio delle simulazioni storiche. I due risultati sono
differenti (rispettivamente €100.000 e €102.000), nonostante
siano basati sulla stessa serie storica di dati e sullo stesso livello
di confidenza. Considerate le seguenti affermazioni:
I.
La distribuzione delle variazioni percentuali del cambio
euro/dollaro non è normale;
II. la distribuzione delle variazioni percentuali del cambio
euro/dollaro è asimmetrica;
III.la distribuzione delle variazioni percentuali del cambio
euro/dollaro ha una curtosi superiore alla distribuzione
normale.
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/1
Quali, tra esse, sono certamente corrette?
a) Solo la I
b) Tutte e tre
c) Solo la I e la II
d) Solo la I e la III
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/2
2. Considerate
le seguenti affermazioni sulle simulazioni Monte
Carlo:
I.
le simulazioni Monte Carlo sono più accurate dell’approccio
parametrico quando il valore del portafoglio della banca è
una funzione lineare dei fattori di rischio e i rendimenti dei
fattori di rischio sono normalmente distribuiti;
II. le simulazioni Monte Carlo sono più veloci dell’approccio
parametrico;
III.le simulazioni Monte Carlo possono essere rese più precise
tramite l’approccio delta/gamma;
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/2
IV. le simulazioni Monte Carlo richiedono l’ipotesi che i
rendimenti dei fattori di rischio siano incorrelati tra loro,
perché diversamente non è possibile calcolare la fattorizzata
con il metodo di Cholesky.
Con quali di esse siete d’accordo?
a) Solo la II;
b) solo la III;
c) la I e la IV;
d) nessuna.
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/3
3. Dopo un breve periodo di forti variazioni dei prezzi di mercato,
una banca che adotta l’approccio delle simulazioni storiche per
stimare il VaR decide di passare ad un modello basato
sull’approccio ibrido, adottando un decay factor di 0,95. Quale
tra le seguenti affermazioni è corretta?
a) è probabile che il nuovo modello conduca ad un incremento del
VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,98;
b) è probabile che il nuovo modello conduca ad un decremento del
VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,98;
c) è probabile che il nuovo modello conduca ad un incremento del
VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,90;
d) è probabile che il nuovo modello conduca ad un decremento del
VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,90.
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