Laboratorio di Fisica Uno
Analisi dei dati per l'esperienza degli urti
Lo scopo della seconda esperienza è quello di verificare le leggi di conservazione negli urti.
1) Urto completamente anelastico
La fig. 1 mostra una tipica forma d'onda che rappresenta la velocita' misurata durante un urto
completamente anelastico. In questo urto un carrello vuoto (senza masse aggiuntive) urta
contro un'altro carrello anch'esso vuoto e inizialmente fermo e dopo l'urto i due proseguono
uniti insieme. La prima parte del segnale mostra la velocita del carrello in movimento; si
vede poi un brusco calo della velocità (urto) e poi la velocità (ridotta) con la quale i due
carrelli uniti proseguono dopo l'urto.
Fig. 1 - Esempio di misura della velocità dei carrelli con un unico sensore
nell'urto completamente anelastico.
Negli urti anelastici vale solo il principio di conservazione della quantità di moto. Per un urto
completamente anelastico in cui una delle masse è inizialmente ferma:
m1v1 = ( m1 + m2 ) v
(1)
dove m1 e v1 sono la massa e la velocità prima dell' urto della massa in moto, m2 la massa
ferma e v la velocità comune dopo l'urto. E' conveniente scrivere la (1) come
m1v1
=1
( m1 + m2 ) v
(2)
Per verificare la conservazione della quantità di moto si puo quindi verificare quanto il valore
sperimentale del primo membro si discosta da 1, tenendo conto degli errori di misura.
Nella eq. 2 si devono utilizzare i valori delle velocità immediatamente prima e dopo l'urto.
Sia prima che dopo l'urto il moto avviene in presenza di attrito dinamico e quindi si tratta di
un moto uniformemente accelerato con una piccola accelerazione negativa. Per questo
motivo i segnali delle velocità sono rette con una leggera pendenza negativa. Per determinare
il valore v1 da utilizzare nella (2) si esegue l'interpolazione lineare prima dell'urto,
individuando l'equazione della retta che rappresenta la velocità:
v = v0 + at
(3)
dove v0 è l'intercetta e a la pendenza. Successivamente si determina dal grafico, aiutandosi
con lo strumento puntatore, l'istante dell'urto t0, individuando l'istante centrale dell'intervallo
temporale in cui avviene il brusco cambio di velocità (vedi esempio nella fig. 1). A questo
punto si calcola
v1 = v ( t 0 ) = v0 + at 0
(4)
Con lo stesso procedimento si determina la velocità dopo l'urto v. L' errore sulla quantità a
primo membro della (2) si determina dalle formule di propagazione. Posto
r=
m1v1
( m1 + m2 ) v
(5)
si ottiene:
2
2
2
# "r &
# "r &
# "r &
# "r &
!r = %
!m12 + %
!m22 + %
!v12 + % ( !v 2
(
(
(
$ "v '
$ "m1 '
$ "m2 '
$ "v1 '
2
(6)
Nell'eq. 6 le quantità Δm1 e Δm2 sono gli errori sulle masse dei carrelli dovuti alla bilancia (2
g per la bilancia vecchia e 1 g per la bilancia nuova). Gli errori Δv e Δv1 si determinano
dall'interpolazione. Infatti dall'eq. 4 risulta che il valore v1 e' funzione delle tre quantita', v0, a
e t0, tutte e tre in linea di principio affette da errore. Tuttavia se la pendenza della retta e'
piccola e l'istante dell'urto e' individuato con buona precisione, il contributo del termine at0 si
puo trascurare e assumere come errore su v1 solo quello dovuto a v0 cioe all'errore
sull'intercetta determinato dall'interpolazione lineare. Lo studente è invitato a verificare la 2
calcolando dalle eq. 5 e 6 la quantità r + !r .
Nel caso di misure di urti con masse aggiuntive, queste vanno tenute in conto nel calcolo
delle quantità m1 e m2 mentre per quanto riguarda gli errori, data la precisione costruttiva
delle masse aggiuntive, gli errori saranno sempre determinati dalla precisione della bilancia
nel pesare i carrelli. Infine il valore atteso del primo membro della eq. 2 è unitario
indipendentemente dalle velocità e dalle masse quindi tutte le misure di urto completamente
anelastico costituiscono una serie di misure ripetute della quantità r che possono essere
considerate globalmente.
2) Urto elastico
Nel caso dell'urto elastico si usano due rivelatori di moto per misurare contemporaneamente
le velocità dei due carrelli. Due tipiche forma d'onda misurate durante un urto elastico sono
riportate in fig. 2.
Fig. 2 - Esempio di misura simultanea (due sensori) delle velocità dei carrelli nell'urto elastico.
In questo urto i due carrelli sono entrambi vuoti e il carrello 2 è inizialmente fermo. Dopo
l'urto le due velocità risultano scambiate, cioè il carrello 2 acquista la velocità del carrello 1
che l'ha investito, mentre questo ultimo si ferma. Questo è proprio quello che prevede la
teoria per un urto elastico fra masse uguali. Nell'urto elastico si conservano sia la quantità di
moto che l'energia cinetica. La conservazione della quantità di moto prevede che
m1v1 = m1v1! + m2 v2!
(7)
dove m1 e v1 sono la massa e la velocità prima dell'urto della massa in moto, m2 la massa
ferma, v1! e v2! le velocità dopo l'urto. La (7) si puo scrivere
m1v1
=1
m1v1! + m2 v2!
(8)
e quindi, posto
q=
m1v1
,
m1v1! + m2 v2!
(9)
l'errore Δq si calcola dalla propagazione degli errori in modo analogo alla (6).
Nel caso dell'urto elastico, mentre la velocità iniziale del carrello fermo si assume nulla e
senza errore perche il carrello è effettivamente fermo, la velocità finale del primo carrello va
sempre determinata (col suo errore) dall'interpolazione lineare, perchè essa è nominalmente
zero solo nel caso di masse perfettamente uguali, il che non si verifica in pratica mai.
Inoltre si deve tenere presente che ciascun sensore introduce un sistema di riferimento con
l'asse x diretto nella direzione in cui ci si allontana dal sensore stesso. Quindi nella misura
delle velocità con due sensori posti alle due estremità della guida, una delle due velocità
risulterà col segno invertito. Di questo è necessario tenere conto quando si scrivono la (8) e la
(9).
Come per il caso precedente, lo studente è invitato a verificare la 7 calcolando dalle eq. 8 e 9
la quantità q + !q . I gruppi particolarmente volenterosi potranno inoltre verificare anche la
conservazione dell'energia cinetica, tramite un procedimento analogo.
L. Giudicotti
Vicenza, 3/6/2010