Alcune soluzioni 6
• Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva y = x log x in x = 1.
Soluzione L’equazione della retta tangente a y = f (x) in x = x0 è data da
(dim. in lezione):
y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 )
Sia f (x) = x log x, definita per x > 0. Si ha
f 0 (x) = log x + 1,
∀x > 0
e f (1) = 0, f 0 (1) = 1. Conseguentemente, la retta cercata ha equazione
y = x − 1.
• Studiare i punti di non
p derivabilità e calcolare, dove esiste, la derivata
della funzione f2 (x) = |2x2 + x − 1|.
Soluzione La funzione f2 (x) è continua in R, essendo composizione di funzioni
continue. Da 2x2 + x − 1 = 0 ⇔ x = −1, 1/2, si ha poi che
(√
2x2 + x − 1 per x ≤ −1, x ≥ 1/2
f2 (x) = √
1 − x − 2x2 per − 1 < x < 1/2
Conseguentemente
f20 (x)
=
 4x+1

 2√2x2 +x−1
per x < −1, x > 1/2


per − 1 < x < 1/2
4x+1
− 2√1−x−2x
2
Esamino separatamente x = −1 e x = 1/2.
4x + 1
lim − f20 (x) = lim − √
= −∞,
x→−1
x→−1 2 2x2 + x − 1
4x + 1
lim + f20 (x) = lim + − √
= +∞.
x→−1
x→−1
2 1 − x − 2x2
In modo analogo:
4x + 1
lim − f20 (x) = lim − − √
= −∞,
x→1/2
x→1/2
2 1 − x − 2x2
4x + 1
lim + f20 (x) = lim + √
= +∞.
x→1/2 2 2x2 + x − 1
x→1/2
1
La funzione f2 (x) non risulta quindi derivabile in x = −1 e in x = 1/2, dove
presenta due cuspidi.
• Studiare continuità, derivabilità, ricercare
√ massimi e minimi ed eventuali
asintoti ed abbozzare il grafico di f1 (x) = x2 + 1 − |x|.
Soluzione La funzione f1 (x) è continua in R, essendo composizione di funzioni continue. Dai limiti (attenzione al secondo, è da tenere a mente che
x → −∞!):
√
x2 + 1 − x2
1
x2 + 1−x = lim √
= lim √
=0
x→+∞
x→+∞
x2 + 1 + x x→+∞ x2 + 1 + x
lim f1 (x) = lim
x→+∞
√
1
x2 + 1 − x2
= lim √
=0
x2 + 1+x = lim √
2
2
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x + 1 − x x→+∞ x + 1 − x
si conclude che l’asse delle x è asintoto orizzontale destro e sinistro per il
grafico di f1 (x). Si poteva evitare di calcolare il secondo limite osservando
che la funzione f1 (x) è pari e quindi con grafico simmetrico all’asse delle y.
La funzione f1 (x) risulta sicuramente derivabile per x 6= 0, e si ha:
(
√ x
− 1 per x > 0
0
x2 +1
f1 (x) =
√ x
+ 1 per x < 0
x2 +1
lim f1 (x) = lim
Controllo la derivabilità in x = 0.
lim+ f10 (x) = lim+ √
x→0
x→0
x
− 1 = −1
x2 + 1
lim− f10 (x) = lim+ √
x→0
x→0
x
+1=1
+1
x2
La funzione f1 (x) non risulta quindi derivabile in x = 0, dove presenta un
punto angoloso.
Infine, lo studio del segno della derivata prima porge: f10 (x) < 0 per x > 0
0
e f1 (x) > 0 per x < 0. Conseguentemente, x = 0 risulta punto di massimo
relativo e assoluto per f1 (x), il cui grafico è quello in figura.
2
3,2
2,4
1,6
0,8
5
-4
-3
-2
-1
0
1
-0,8
-1,6
-2,4
32
Figura 1: grafico di f1 (x)
3
2
3
4
5