Riflessione scientificomatematica:
le Geometrie non Euclidee
Satira della società  The Victorian Age
La matematica nell’arte
 Maurits Cornelis
Escher
Edwin Abbott Abbott (1838-1926)
• 1865 – 1889 : Rettore della City of
London School
• Composizione di 40 tra libri e trattati di
vario genere: manuali scolastici, studi di
testi sacri, opere teologiche.
• Flatlandia – Racconto fantastico a più
dimensioni (1882)
Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni
Prima parte :
Seconda parte :
Descrizione della società
Flatlandese
Viaggio alla scoperta di
mondi di diversa
dimensionalità
Forte gerarchia basata sulla
misura degli angoli
• Linelandia
• Spacelandia
Società gerarchica di Flatlandia
Sacerdote
Aristocrazia
“Professionisti e
Gentiluomini”
Borghese
Soldati e
Operai
LINELANDIA
Incontro con la sfera
La terza dimensione : “verso l’ Alto, non verso il “Nord”
The Victorian Age
(1837 – 1901)
•
The Victorian Compromise
•
Women and Society
•
Positive aspects:
- Expansion and reforms
- New political and scientific
theories (Darwin, Socialism)
MOST IMPORTANT REFORMS
1832: First Reform Act
1839: Custody of Infants Act
1846: Corn Laws
1857: Matrimonial Causes Act
1862: Mines Act
1870: Elementary Education Act
1875: Public Health Act
1882: Trade Unions were legalised.
1884: Third Reform Act
Riemann : varietà multidimensionali
Helmholtz : L’origine e il significato degli assiomi geometrici (1870)
Dibattito sulle
Geometrie non Euclidee
“Immaginiamo
ciò
non
è
logicamente impossibile - che
esistano esseri dotati di ragione,
bidimensionali, viventi e moventesi
sulla superficie d’uno dei nostri corpi
solidi. Ammettiamo che essi non
possano percepire alcunché fuori di
questa superficie, ma che possano
percepire in modo simile al nostro
entro l’ambito della superficie su cui
si
muovono.
Se
tali
esseri
costruissero la loro geometria,
attribuirebbero naturalmente al loro
spazio due sole dimensioni.”
Le Geometrie non Euclidee
Il V postulato ( o postulato delle parallele )
Risulti postulato che se in un piano una
retta, intersecando altre due, forma con
esse, da una medesima parte, angoli
interni la cui somma è minore di due
angoli retti, allora queste due rette
indefinitamente prolungate finiscono con
l’incontrarsi dalla parte detta.
Problema del V postulato
Contenuto : infinito
Forma : teorema
2 possibili soluzioni
Le Geometrie non Euclidee
Le soluzioni
Determinare una proposizione
equivalente al V postulato, con
l’evidenza tipica degli assiomi
John Playfair : per un punto non
giacente su una retta data né sul
suo prolungamento, non è
possibile tracciare più di una
parallela alla retta data
Dimostrazione del V postulato
Girolamo Saccheri ( 1667 – 1733 )
Le Geometrie non Euclidee
Girolamo Saccheri
1. gli angoli alla sommità sono retti.
2. gli angoli alla sommità sono ottusi.
3. gli angoli alla sommità sono acuti.
Ipotesi angoli ottusi
Ipotesi angoli acuti
Somma angoli interni
quadrilatero = 360
“Contraddizione”
“Contraddizione”
Le Geometrie non Euclidee
Lobachevsky e Bolyai: la Geometria Iperbolica
Lobachevsky
Bolyai
Negazione dell’unicità della parallela : assioma di Lobachevsky
La somma degli angoli interni di
un triangolo è minore di 180°
Le Geometrie non Euclidee
Riemann: la Geometria Ellittica e la Geometria Sferica
Spazio illimitato e finito a curvatura costante positiva
Negazione dell’esistenza della parallela: assioma di Riemann
P e P’ non coincidono: due rette
hanno sempre due punti in
comune  Geometria sferica
P e P’ coincidono: due rette
hanno sempre un solo punto in
comune  Geometria ellittica
La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°
Le Geometrie non Euclidee
Modelli di Geometria non Euclidea
Modello di Klein
Modello di Poincarè
Modello di Geometria
Iperbolica
Modello di Geometria
Iperbolica
Modello della sfera
Modello di Geometria
Sferica
MAURITS CORNELIS ESCHER
(1898 – 1971)
Temi principali delle sue opere:
• il Nastro di Mobius
• la riflessione sull’infinito
• la tassellazione periodica del piano
• le figure impossibili
il Nastro di Mobius
Nastro di Mobius I
Nastro di Mobius II (1963)
Riflessione sull’ infinito
1956 – 1970 : Periodo dell’ Infinito
Limite del cerchio III
(1959)
Serpenti (1969)
Esposizione di
stampe (1956)
Tassellazione Periodica Del Piano
Le figure impossibili
Belvedere (1958)
Le figure impossibili
Cascata
Salita e discesa
Le figure impossibili
Cubo con nastri magici
Casa di scale
Le figure impossibili
Relatività
In alto e in basso
RETTILI (1943)
copertina di Flatlandia