Breve introduzione
alle Geometrie non
euclidee
L’opera “Elementi” di Euclide
Euclide (300 a.C.) riorganizza la
geometria in forma sistematica di tipo
ipotetico-deduttivo
Raccoglie tutte le conoscenze dei
matematici in 13 libri
Nei primi 4 vi sono i concetti
fondamentali della geometria piana
Il Primo Libro degli Elementi
•
23 definizioni: descrizione intuitiva dei
concetti geometrici con riferimento al
reale
“Punto è ciò che non ha parti”
•
Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere
generale che hanno validità universale
•
5 postulati: verità evidenti, caratteristiche
della geometria
Costruzione della geometria
euclidea
DEFINIZIONI
POSTULATI
TEOREMI
ASSIOMI
1° Postulato
Da ogni punto a ogni altro è possibile condurre una linea retta
A
B
Unicità della retta
C1: Due rette distinte non possono
avere più di un punto in comune
Rette incidenti
(un punto in comune)
2° Postulato
Un segmento può essere indefinitamente prolungato in linea retta
C1: Ogni retta è un insieme infinito di punti
A
B
3° Postulato
Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una
circonferenza con raggio scelto a piacere
r
C
C = centro della circonferenza
r = raggio della circonferenza
4° Postulato
Tutti gli angoli retti sono uguali
s’
s
O
r
O’
r’
Osservazione: Con due movimenti rigidi è possibile
sovrapporre l’uno sull’altro
5° Postulato
Dati nel piano una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una ed
una sola retta s passante per P e non avente alcun punto in comune con
la r
r
P
Rette parallele (coincidenti)
Rette parallele (distinte)
Semirette, Semipiani e Segmenti

r
Semipiano
O
Semiretta
B
A
Segmento
I Triangoli
Triangolo scaleno
Triangolo equilatero
Triangolo Rettangolo
Triangolo isoscele
Classificazione dei Triangoli
Triangoli equilateri
I Quadrilateri
Trapezio
Trapezio isoscele
Parallelogramma
Quadrato
Rombo
Rettangolo
Classificazione dei Quadrilateri
Il V Postulato
Se due rette con una trasversale
formano angoli coniugati interni la cui
somma è minore di due retti, quelle due
prolungate si incontrano dalla stessa
parte in cui stanno gli angoli”
A


B
P
Altre formulazioni
“Due rette parallele formano con una
trasversale angoli coniugati interni
supplementari” (Tolomeo)
“Due rette complanari equidistanti sono
parallele” (Posidonio)”
“Per un punto fuori da una retta si può
condurre una ed una sola retta parallela
alla retta data” (Proclo)
Il gesuita Saccheri (1677-1733)
Opera: “Euclide emendato da ogni macchia”
(1733)
Tenta di dare una dimostrazione per assurdo
del quinto postulato
“Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il
quinto: se si ottiene il teorema T e il non T
allora il V è valido!”
L’opera di Saccheri
Trovò teoremi poco intuibili, ma
logicamente validi, e credette di aver
trovato la contraddizione! Getta invece
le basi per le geometrie non euclidee.
Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero
Birettangolo Isoscele”
Il quadrilatero birettangolo
isoscele
D
M
C




A
N
B
L’ipotesi dell’angolo retto
D
C




A
AB=CD
Somma angoli interni triangolo = 180°
Corrisponde alla geometria euclidea
B
L’ipotesi dell’angolo ottuso
D
C



A

B
AB>CD
Somma angoli interni triangolo > 180°
Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi
dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.
L’ipotesi dell’angolo acuto
D
A

C


AB<CD

B
Somma angoli interni triangolo < 180°
Conduce all’esistenza di rette complanari
asintotiche: Saccheri la esclude perché contraria
all’intuizione, sebbene logicamente valida.
GEOMETRIA
ELLITTICA
La Geometria ellittica o riemanniana si ottiene
“depennando” il V postulato e ponendo al suo
posto il postulato:
Non esiste alcuna retta s passante per il
punto P e parallela ad una retta r prefissata.
Essa sarà “non contradditoria“, ossia non porterà mai
ad affermare un asserto e contemporaneamente il suo
opposto, se è possibile trovare un modello che
soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da
Euclide che al postulato.
Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono:
Il piano
Esso è costituito da una qualunque superficie sferica
Il punto
Esso è costituito da una qualunque coppia di punti
diametralmente opposti sulla superficie sferica
Il retta
Essa è costituita da una qualsiasi circonferenza
massima
Esempio di geometria ellittica
Sulla superficie della sfera non esistono
'rette' o meglio geodetiche che non si
incontrano.
Nella figura sono rappresentati
due meridiani perpendicolari
all'equatore e che si incontrano
perpendicolarmente
al
polo
Nord. Si vede che la somma degli
angoli interni del triangolo
curvilineo ABN è 270°.
In generale la somma degli angoli interni di
un triangolo di questo tipo è sempre
maggiore di 180° e non è costante per tutti
i triangoli. Mentre nella geometria
euclidea la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre 180°, nella geometria
ellittica la somma degli angoli interni del
triangolo è variabile e dipende dalla
grandezza del triangolo.
Si dice anche che è una geometria a
CURVATURA POSITIVA.
Spazio a curvatura positiva
Definizione di spazio “chiuso”
La figura di sinistra è un rettangolo
con angoli “ottusi”
GEOMETRIA
IPERBOLICA
La
Geometria iperbolica
o
di
BolyaiLobacevskij cancella il V postulato e pone al
suo posto il postulato
Esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per
il punto P e parallele ad una retta prefissata
r.
Essa sarà “non contradditoria“ se è possibile
individuare un modello che soddisfi sia ai primi
quattro postulati scritti da Euclide che al
postulato.
Gli enti primitivi della Geometria di BolyaiLobacevskij sono:
Il piano
Esso è costituito dalla superficie di una qualunque sella
Il punto
Esso è costituito da un qualsiasi punto interno alla
superficie curva
Il retta
Essa è costituita da una qualunque geodetica
Un modello intuitivo, didatticamente utile per
la geometria iperbolica o di Lobacevskij è un
po' più complesso.
In particolare, non esiste un modello che
rappresenti globalmente una geometria di
questo tipo.
Si può prendere una superficie a forma di
sella, o meglio la pseudosfera oppure un
semplice cerchio.
Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di
pseudosfera è il corrispondente di un triangolo
rettilineo del piano euclideo, perché è composto da
linee geodetiche. La somma degli angoli interni di
questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla
grandezza del triangolo.
Per il punto P, esterno alla geodetica r, passano
più geodetiche (p1 e p2) che non incontrano la
geodetica r e che quindi sono parallele a r.
Le geometrie non
euclidee
e la fisica
La nascita delle Geometrie non Euclidee
nell’Ottocento diede una profonda svolta
agli studi della Matematica, facendo
crollare la convinzione che essa fosse una
“scienza esatta” fondata su verità evidenti e
indimostrabili.
La Matematica scoprì in sé numerose
antinomie.
I concetti di spazio assoluto e tempo assoluto
dovevano necessariamente essere rivisti.
Tutte le più importanti convinzioni circa la
concezione del mondo espressi da Newton,
ossia la nozione di spazio e di tempo assoluti,
e quella delle particelle solide elementari,
sono state sconvolte, nei primi decenni del
1900, dalla teoria della relatività di Albert
Einstein (1879-1955) e dallo sviluppo della
fisica atomica.
Secondo la fisica classica, da Euclide al
modello meccanico di Newton dell'universo,
lo spazio geometrico era concepito come
caratterizzato da rette ed angoli retti e
fondamentalmente uniforme in ogni suo
punto.
Lo spazio era assoluto, non aveva alcuna
relazione con l'esterno, e rimaneva sempre
eguale e perfettamente immobile, mentre
tutte le variazioni che avvengono nel
mondo fisico erano descritte in funzione
del tempo, anche esso assoluto, e la
materia era completamente inerte e senza
vita.
Gauss fu il primo a riconoscere con
chiarezza
che
solo
con
un’indagine
sperimentale sullo spazio si poteva decidere
la natura geometrica che meglio può
descriverlo.
Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in
regioni limitate, è euclideo oppure, se non è
euclideo, la deviazione è così piccola da non
poter essere rilevata con gli strumenti
allora disponibili.
Poincarè da parte sua affermò che era
impossibile determinare sperimentalmente le
caratteristiche della geometria dello
spazio fisico.
Egli sostenne che la scelta di una geometria
oppure di un’altra ha un carattere
convenzionale e propose di accettare la
geometria euclidea perché più semplice ed
intuitiva e di adattare poi le leggi fisiche alle
proprietà empiriche riscontrate.
Nel 1916 Einstein grazie alla formulazione
della teoria della relatività generale
contribuì fortemente allo studio del
rapporto tra geometria e spazio fisico.
Egli introdusse una quarta variabile, il
tempo, e secondo la sua teoria la struttura
dello spazio era determinata da spazi
gravitazionali e non dalla geometria
euclidea. Seguendo il linguaggio non
euclideo adottato da Einstein non era
possibile
parlare
di
contrazioni
gravitazionali dei corpi solidi nello spazio
fisico
La teoria della relatività di Einstein è
basata sull’ipotesi che i corpi materiali
producono una distorsione dello spazio
circostante modificandone la geometria.
Tale teoria affonda le radici nella nascita
delle geometrie non euclidee.
Le geometrie non euclidee sono plausibili in
uno
spazio
che
non
presenta
le
caratteristiche di omogeneità che gli
assegnava Newton: esse presuppongono
uno spazio curvo
Einstein spiegò i fenomeni dell’inerzia e
della gravitazione facendo ricorso ad un
modello
geometrico
quadrimensionale.
Esso consiste nello spazio-tempo reso
curvo dall’azione delle masse e delle
energie e
la sua curvatura, punto per
punto, dipende dalla presenza o meno di
masse.
Dalla curvatura dello spazio deriva anche
la questione della struttura dell’universo,
che non risulterebbe chiuso ma in
espansione, in accordo con le scoperte
astronomiche fatte proprio in quegli stessi
anni.
La teoria della relatività ebbe quasi subito
una clamorosa conferma grazie alla
scoperta dell’incurvamento dei
raggi
luminosi in prossimità di corpi celesti di
massa elevata.
Per molti secoli si è ritenuto che la
Geometria di Euclide fosse l’unica adatta a
descrivere il mondo che ci circonda; su di
essa Galileo e Newton fondarono la fisica
classica.
Bisogna giungere ai primi del 1900, con la
fisica relativistica e quantistica di Einstein,
la fisica delle particelle che si muovono a
velocità vicina a quella della luce (300 000
km/sec), per vedere notevoli applicazioni
delle geometrie non euclidee.
Ma quale curvatura ha il nostro
universo?... E’ “aperto” o “chiuso”?...
Curvatura = 1
Curvatura = 0
Curvatura < 1
GRAZIE
per
l’attenzione