“Frazioni e numeri decimali:
un percorso ricco di
opportunità didattiche”
Terzo incontro
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis marzo 2015
1
Di Ester Bonetti
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis 2008
Mazzo 20 carte, 5 per tipo
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Mathesis 2008
CHIUDIAMO LE FINESTRE
(di Ester Bonetti N.D.R. Pavia)
Materiale
• Pannello a forma di casa con finestre da
ricoprire
• Tessere corrispondenti alle diverse unità
frazionarie
• Un dado: ½, ¼, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16
• Una moneta: 1/8, 1/16
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4
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5
CHIUDIAMO LE FINESTRE
(di Ester Bonetti N.D.R. Pavia)
Regole del gioco
• 2 giocatori scelgono 4 finestre
alternativamente. A turno scelgono di
lanciare il dado o la moneta e ricoprono la
parte di finestra corrispondente all’unità
frazionaria ottenuta con il lancio. Vince chi
ricopre per primo le finestre scelte
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6
ALTRI SIGNIFICATI DELLA FRAZIONE
6.1 LA FRAZIONE COME OPERATORE SU UN INTERO
6.1.1
Costruzione di una nuova grandezza a partire da una
grandezza data
6.1.2
Confronto e ordinamento di frazioni
- collocazione sulla linea dei numeri
- rilievo di frazioni equivalenti
6.2 LA FRAZIONE COME RAPPORTO
6.2.1 Utilizzo di rapporti di scala
6.2.2 Utilizzo delle percentuali
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7
6.1 La frazione come operatore su un intero
6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data
Esempio
Dato il segmento di estremi A e B e lungo 12 cm, si costruisca il segmento di estremi C
e D e lungo i 5 di AB.
6
Per eseguire la costruzione si deve dividere il segmento AB in 6 parti uguali, poi si
riportano, adiacenti l’uno all’altro, 5 segmenti ciascuno pari a 1 di AB.
6
Gli strumenti che si possono utilizzare sono la riga e compasso oppure la riga
graduata.
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8
6.1 La frazione come operatore su un intero
6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data
Come per la frazione come parte di un intero, ciò che interessa dell’intero è la
grandezza ad esso associata: con riferimento all’esempio precedente, la
grandezza è la lunghezza, per cui, se non venisse esplicitato nel testo del
problema che CD deve essere un segmento, si potrebbe tracciare una linea
qualunque, purché la sua lunghezza sia i 5 di quella di AB:
6
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9
6.1 La frazione come operatore su un intero
pag.136
6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data
Esempio
3
Si costruisca una figura che sia i
del quadrato ABCD.
4
A
D
A
D
ne considero
una parte
Divido in 4
parti uguali
B
C
B
C
La frazione come operatore risulta, dunque,
dall’applicazione successiva di due
operatori definiti da numeri naturali e
produce una grandezza omogenea con
quella a cui l’operatore frazionario viene
applicato.
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Unità
frazionaria
Costruisco a
piacere una
nuova figura
formata da tre
unità
frazionarie
ciascuna del
valore di 1/4
10
6.1 La frazione come operatore su un intero
Hanno senso anche frazioni con il numeratore maggiore del
denominatore
Esempio
9
Si costruisca una figura che sia i
del quadrato ABCD.
4
A
D
P
B
C
Il poligono P costruito ha area maggiore di quella del quadrato ABCD
dato.
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Frazioni improprie (rappresentazione errata)
(rappresentazione corretta)
Divido in 4
parti uguali
ne considero
una parte
Unità
frazionaria
Costruisco a
piacere una
nuova figura
formata da
otto unità
frazionarie
ciascuna del
valore di 1/4
8
4
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12
Frazioni improprie
(rappresentazione errata)
12
7
(rappresentazione corretta)
1
7
12
7
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13
(rappresentazione errata)
5
di
2
=
(rappresentazione corretta)
1
2
5
2
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Nonna Papera
(alla ricerca degli errori)
Nonna Papera è in attesa dei suoi 3 nipotini e
per fare cosa a loro gradita prepara 3 tortine.
Con sua grande sorpresa i nipotini arrivano
accompagnati da un amico. Come dovrà fare Nonna
Papera per non fare torto a nessuno?
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Nonna Papera
Nonna Papera però è una nonna vispa ed intelligente ed
immediatamente trova la soluzione del problema: divide
ciascuna tortina in 4 parti uguali:
ognuna della parti uguali rappresenta 1/4 di tortina, e
così, avendo 3 tortine, dispone di un totale di 3 x 4=12
parti uguali, ovvero 12/4 di tortina:
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16
Nonna Papera
A questo punto distribuisce 3 pezzi a ciascun
ragazzo, cioè i 3/4 di tortina, non facendo
torto a nessuno (è corretto affermare che
non ha fatto torto a nessuna?)
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6.1 La frazione come operatore
Esempio
Sofia ha 8 fermagli per capelli, Sandra ne ha i 5 di quelli di Sofia.
2
Quanti fermagli ha Sandra?
(8 : 2)  5 = 4  5 = 20
I fermagli di Sandra sono 20, più numerosi di quelli
di Sofia.
Le frazioni con numeratore maggiore o uguale del denominatore sono
dette frazioni improprie; fra queste ve ne sono alcune che sono
equivalenti ad operatori esprimibili con numeri naturali e sono chiamate
frazioni apparenti.
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La frazione come operatore
Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data pag.143
L’ARANCIATA
Osserva i tre recipienti….L’aranciata contenuta nel secondo recipiente è i 3/4 di quella
contenuta nel primo, mentre quella contenuta nel terzo recipiente è i 5/4 di quella
contenuta nel primo.
Colora tu l’aranciata contenuta nel secondo e nel terzo recipiente
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FRAZIONI IN LINEA
(confronto e ordinamento di frazioni pag.148)
Sulle rette sono state collocate alcune frazioni. Completale in modo opportuno
0
1
2
3
1
…
…
4
…
…
7
…
…
10
…
…
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
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20
FRAZIONI IN LINEA
(confronto e ordinamento di frazioni)
Sulle rette sono state collocate alcune frazioni. Completale in modo opportuno
0
1
2
3
1
2
…
4
5
…
…
8
6
3
3
2
3
3
2
3
3
2
…
1
2
…
3
2
…
6
2
3
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…
3
21
FRAZIONI IN LINEA
(confronto e ordinamento di frazioni)
 Rispondi osservando le rette.
• Dove si trovano le frazioni proprie?
Nell’intervallo ……………
0-1
0
1
• Le frazioni proprie sono maggiori di ……..
e minori di …….
• Le frazioni improprie sono quelle ……………………………………
maggiori o uguali a 1
• Le frazioni improprie apparenti sono quelle …………………………
che sulla linea dei numeri occupano lo stesso posto dei numeri naturali
• Scrivi due frazioni che occupano la stessa posizione sulla linea dei
numeri …………
• Sono frazioni …………….
equivalenti
• 6/2 e 9/3 sono frazioni equivalenti, perché ………………………….
occupano lo stesso posto sulla linea dei numeri naturali
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22
LA FRAZIONE COME RAPPORTO
6.2 La frazione come rapporto
6.2.1 Utilizzo di rapporti di scala
6.2.2 Utilizzo delle percentuali
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6.2 LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Un rapporto può essere tra due grandezze
• dello stesso tipo: il rapporto in questo caso è privo di dimensioni, è un
numero puro;
esempi in geometria i rapporti di similitudine (tra lunghezze o aree o
volumi) e di scala (tra lunghezze), in statistica la frequenza relativa, in
teoria della probabilità la probabilità stessa, … le percentuali.
• di tipo diverso: il rapporto in questo caso è a sua volta una grandezza,
quindi è un numero con dimensione;
esempi in ambito scientifico: la velocità di un corpo è il rapporto tra lo
spazio percorso dal corpo (una distanza) e l’intervallo di tempo in cui tale
spostamento è avvenuto;
la densità di una corpo è il rapporto tra la massa del corpo e il volume
occupato dal corpo stesso;
il peso specifico di una sostanza è il rapporto tra il peso di un corpo
costituito da quella sostanza (una forza) e il volume occupato dal corpo, …
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24
LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Utilizzo di rapporti di scala pag.167
UNA "MAPPA" PER GIOCARE
E
Nel cortile della scuola
“Imparobene” deve essere
rifatta la pavimentazione. Il
Dirigente scolastico approfitta
dei lavori in corso per fare
inserire nel selciato schemi di
gioco e incarica gli alunni delle
classi quinte a formulare le
loro proposte. La classe 5a A
propone di realizzare lo
schema del gioco "Il mondo"
che ha progettato nel disegno
a fianco.
D
C
A
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B
25
UNA "MAPPA" PER GIOCARE
Sul progetto il segmento AB è lungo 5 cm e il segmento BC è lungo 1,5 cm. In
cortile, il lato corrispondente ad AB dovrà essere lungo 2 m.
 Aiutandoti con uno schema determina il rapporto tra le lunghezze dei segmenti del
progetto e le corrispondenti lunghezze reali.
Lunghezza del segmento
Nel disegno
AB
Nella realtà
In centimetri
In metri
5
2
A ogni centimetro del segmento del disegno corrispondono
In centimetri
200
40cm
………nella
realtà
1
40
Scala ………: ……………….
 Usando tale rapporto calcola:
60cm
− La lunghezza reale del segmento BC: …………………………
40cm
−La lunghezza reale del segmento ED ………………………….
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LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Utilizzo delle percentuali
IL BOSCO DI FORNOLOVASCO
Il bosco di Fornolovasco, che ricopre le pendici dell’Appennino, è un quercocarpineto in cui le essenze arboree sono così distribuite:
Querce 45%
Robinie 5%
Carpini 40%
altre 10%
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27
LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Utilizzo delle percentuali
IL BOSCO DI FORNOLOVASCO pag. 159
Su 500 piante censite, quante saranno le querce, quanti i carpini e quante le
robinie?
45
45
100
100
1. QUERCE
45% =
2. CARPINI
40% = ……..
………di …………………………..
3. ROBINIE
5% = ……..
………di …………………………..
4. ALTRE
10% = ……..
di 500
(500 : 100) x 45=
………di …………………………..
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LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Utilizzo delle percentuali
BISCOTTI CONVENIENTI
Giovanni e Carla devono comperare al supermercato un sacchetto di biscotti, seguendo le
raccomandazioni della mamma:
comperate i biscotti più convenienti
guardate bene anche il peso.
I fratelli arrivano al negozio e osservano bene i prodotti esposti:
1kg
500g
3,10 euro
sconto 20 %
1kg
3 euro
sconto 25 %
4 euro
sconto 36 %
Scopri qual è la confezione più conveniente.
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LA FRAZIONE COME RAPPORTO
Utilizzo delle percentuali
BISCOTTI CONVENIENTI
Sconto 20% =
1kg
20
100
Sconto 25% =
1kg
1kg
Sconto 36% =
…..
…..
20 di 3,10
0.62
100
…. di …
…
…..
…
…..
….
di ….
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A SPASSO NEL DESERTO LIBICO (pag. 184)
I signori Germa e i signori Pinco hanno prenotato, nel periodo delle vacanze
pasquali, un viaggio nel Sahara libico: oasi sperdute, laghi tra le grandi dune
di sabbia, straordinari paesaggi e graffiti preistorici. Il viaggio durerà 7 giorni
e sul catalogo dell'agenzia sono indicati i seguenti costi per ciascun
partecipante:
quota di partecipazione, comprendente: viaggio i
aereo con partenza e arrivo dall'aeroporto di Roma,
pernottamento in camera doppia, trattamento di
pensione completa
€ 1 467,00
quota d'iscrizione
€ 44,50
supplemento partenza da altri aeroporti
€ 165,00
spese visto per passaporto
€ 51,20
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A SPASSO NEL DESERTO LIBICO (pag. 184)
I signori Germa e i signori Pinco partiranno dall'aeroporto di Milano per
congiungersi al resto del gruppo a Roma.
• Calcola quanto costerà il viaggio ai signori Germa e ai signori Pinco.
All'atto della prenotazione dovrà essere versato un acconto pari al 25%
del costo del viaggio, che per i signori Germa e Pinco significa euro …
I signori Pinco, quando ormai avevano versato l'intera quota, sono
costretti a rinunciare al viaggio perché la signora Pinco si è fratturata
una gamba. Chiedono, allora, all'agenzia il rimborso: l'agenzia restituirà
loro l'80% del costo complessivo.
• Quanto non verrà rimborsato ai signori Pinco……………………………
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Bottiglie e caraffe (da Mathe école)
Il cameriere di un ristorante riempie delle caraffe con delle bottiglie di vino:
quando versa il contenuto di una bottiglia in una caraffa, nella bottiglia resta del
vino; con quattro di questi resti può riempire una bottiglia.
1) Quale frazione di bottiglia rappresenta uno di questi resti?
2) Quanti resti sono necessari per riempire una caraffa?
3) Quale frazione di caraffa rappresenta uno di questi resti?
4) Quante bottiglie sono necessarie per riempire esattamente 4 caraffe?
5) Prendendo la bottiglia come unità qual è il contenuto della caraffa?
6) Prendendo la caraffa come unità qual è il contenuto della bottiglia?
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Bottiglie e caraffe
Risposte
1) Quale frazione di bottiglia rappresenta uno di questi resti?
1/4
2) Quanti resti sono necessari per riempire una caraffa?
3
3) Quale frazione di caraffa rappresenta uno di questi resti?
1/3
4) Quante bottiglie sono necessarie per riempire esattamente 4 caraffe?
12
5) Prendendo la bottiglia come unità qual è il contenuto della caraffa?
3/4
6) Prendendo la caraffa come unità qual è il contenuto della bottiglia?
4/3
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