CALCOLO
DIFFERENZIALE
PER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI - 2.
Argomenti della lezione
 Formula di Taylor per funzioni
di più variabili. Differenziali
successivi.
 Massimi e minimi liberi.
FORMULA DI TAYLOR
PER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI
Ricordiamo la formula di Taylor,
con il resto alla Lagrange,
per le funzioni di una variabile:
Se f : U  R  R, è una funzione n+1
volte derivabile in un intorno U del
punto x0 , allora esiste un solo
polinomio Tn(x), detto di Taylor, di
grado ≤ n, tale che
f(x)= Tn(x)+ r n(x)
con r n(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 , 
compreso tra x e x0.
r n(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0
per x  x0 , ossia
r n(x)= o((x-x0)n)
kf)(x0)
(D
_______ (x-x0)k
Tn(x)= k=0
k!
n
Vediamo come questa formula
ci permetta di ottenerne una simile
per le funzioni di più variabili.
Iniziamo dal caso di due variabili.
Teorema
(di Taylor, per funzioni R2  R )
Se f : A  R2  R, ha derivate continue
fino all’ordine n+1, allora
f(x,y)= Tn(x,y)+ r n(x,y), con
r n(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)
Siano h e k, le due componenti di
un vettore “incremento” di (x0,y0)T
in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v.
L’equazione del segmento che va da
(x0,y0)T a (x,y)T è:
(x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1.
Prendendo come punto base t0=0,
si trova:
F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t +
F’’(0)2
_____
+

t
+
…
+
2!
(n)(0)
(n+1)()
F______
F
________
tn +
tn+1
n!
(n+1)!
Con  compreso tra 0 e t.
In particolare, prendendo t=1 :
F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0) +
F’’(0)
_____
+
2! + … +
(n)(0)
(n+1)()
F
F
______ + ________ , (0<<1)
n!
(n+1)!
Si tratta ora di calcolare, utilizzando
la formula di derivazione di funzione
composta, i vari contributi presenti
nella formula di Taylor-Lagrange.
F(0) = f(x0,y0),
F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k,
F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)(x0)h2+
+(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2=
=(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2
Nell’ultima formula abbiamo utilizzato
il Teorema di Schwarz.
In generale se, v1=h e v2=k:
2
F(p)(0) = 
(Di1i2…ip f)(x0,y0) vi1vi2   vip
i1, i2,…, ip = 1
Sappiamo che F’(0) = df
(x0,y0)
(v).
Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) =
2
=  (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2.
i1, i2= 1
Definiamo in generale
dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =
2
F(p)(0) = 
(Di1i2…ip f)(x0,y0)vi1vi2   vip
i1, i2,…, ip = 1
Usando la notazione dei differenziali
successivi, la formula di TaylorLagrange diviene
f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v)
+ … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) +
+ (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT (v,v,..,v,v)
Osserviamo che
dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) =
2
0+h, y0+k)vi vi   vi vi
f)(x
(D
i
i
…
i
,
i
1
2
n
n+1
= 1 2 n n+1
i1, i2,…, in , in+1= 1
Ma su una sfera chiusa e limitata di
centro (x0,y0) e raggio |v|le derivate
d’ordine n+1 sono tutte limitate da una
costante M e v = |v| , con  versore.
2
0+h, y0+k)vi vi   vi vi =
f)(x
(D
i
i
…
i
,
i
1
2
n
n+1
 1 2 n n+1
i1, i2,…, in , in+1= 1
2
0,y0)+vT)i i i i
f)((x
(D
i
i
…
i
,
i
1
2
n
n+1
 1 2 n n+1
=|v|n+1
i1, i2,…, in , in+1= 1
Perciò
|dn+ 1fx0+ vT (v,v,…,v,v)|≤
2
≤|v|n+1 | M  i1 i2   in
in+1
|≤
i1, i2,…, in , in+1= 1
≤ M  2(n+1) |v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n).
Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.
Se f : A  Rm  R, è una funzione di
classe Cn+1(A), allora vale un teorema
analogo al precedente per funzioni
delle m variabili x1, x2, … , xm.
Non lo enunciamo per brevità.
Abbiamo definito il differenziale
p-esimo in (x0,y0)T valutato
sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T:
dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =
2
F(p)(0) = 
i1, i2,…, ip = 1
(Di1i2…ip f)(x0 ,y0)vi1vi2   vip
Se la derivazione è fatta r volte
rispetto a x e s volte rispetto a y,
(r+ s = p), tenendo presente che
dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando
il Teorema di Schwarz, si può
verificare che:
pf
p!
∂
0,y0) dxr dys
(x
dpf(x0,y0) =  _____ ______
r ∂ys
∂x
r!
s!
r+s=p
In particolare, per il differenziale
secondo si ha:
2f
2f
∂
∂
0,y0) dx2 + 2 ____ (x0,y0) dx dy
(x
d2f(x0,y0) = ____
∂x2
∂x ∂y
2f
∂
0,y0) dy2
____
(x
+
∂y2
Per funzioni di m variabili:
2f
∂
d2fx0 =  ______ (x10,x20,.. ,xm0) dxi dxj
i,j =1 ∂xi ∂ xj
m
MASSIMI E MINIMI
LIBERI
Ricordiamo che, data una funzione
f : A  Rm  R , A aperto, un punto
x0  A si dice che x0 è punto di
massimo relativo per f se esiste un
intorno U del punto (per es. una
sfera aperta di centro x0) tale che
per ogni x  U vale
f(x) ≤ f(x0)
Se per ogni x  U vale invece
f(x) ≥ f(x0)
x0 si dice punto di minimo relativo per f
Si dice che x0 è punto di massimo
(minimo) assoluto per f : A  Rm  R ,
se per ogni x  A vale
f(x) ≤ f(x0)
( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) )
Vale il seguente
Teorema
(di Fermat)
Sia f : A  Rm  R, A aperto. Sia x0  A
punto di massimo o di minimo relativo
e sia f derivabile in x0. Allora
f(x0)= 0 .
Basta ricordare che la funzione
g1(t) = f(t,x20,..,xm0)
ha max o min relativo in x10 e quindi
g1’ (x10) = 0 = D1f (x10,x20,..,xm0) .
Analogamente
g2(t)=f(x10,t,..,xm0), … , gm(t)=f(x10,x20,..,t)
hanno max o min relativo in x20 ,..,xm0
e quindi
g2’ (x20) = 0 = D2f (x10,x20,..,xm0)
…...
gm’ (xm0) = 0 = Dmf (x10,x20,..,xm0)
Dunque
f(x0)= 0 .
I punti x0  A , nei quali f(x0)= 0 si
dicono punti critici o stazionari di A.
I punti di massimo o minimo
relativo di una funzione definita su
un aperto A  Rm sono da ricercarsi,
se f è differenziabile in A, per
esempio se f  C1(A), tra quelli che
soddisfano le m equazioni
Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .