Introduzione all’U.D. 5:
Equazioni e problemi
di 1° grado
a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@istruzione.it
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Contenuti
• equazioni come enunciati aperti e come modello di un
problema
• insieme di definizione e di verità di un’equazione:
equazioni proprie ed improprie
• classificazione delle equazioni
• equazioni equivalenti: principi di equivalenza per le
equazioni e trasformazione di equazioni razionali in
forma normale
• risoluzione di equazioni numeriche intere di primo
grado in una incognita e di equazioni fratte ad esse riconducibili
• risoluzione di problemi numerici di 1° grado
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Obiettivi didattici
 Conoscenze:
•
•
•
•
conoscere le definizioni, i principi e le proprietà presentate
riconoscere l’equivalenza tra due equazioni
classificare un'equazione e individuare il suo insieme di esistenza
riconoscere se un'equazione è determinata, indeterminata, impossibile
 Competenze:
• saper applicare i principi di equivalenza per trasformare un’equazione razionale in forma normale
• saper risolvere equazioni numeriche di 1° grado in un’incognita
 Capacità:
• stabilire se un’equazione è modello matematico di un problema
• saper tradurre il testo di un problema risolubile mediante un'unica
equazione di 1° grado in un'incognita nel suo modello matematico
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Obiettivi minimi

saper classificare le equazioni e individuare il loro
insieme di esistenza in semplici casi

data un'equazione in un'incognita, verificare per sostituzione se un numero appartiene al suo insieme di
verità

conoscere i principi di equivalenza per le equazioni e
applicarli:
• per trasformare in forma normale semplici equazioni
razionali (intere/fratte)
• per risolvere correttamente semplici equazioni numeriche
di 1° grado in un'incognita, riconoscendo quando esse sono determinate, indeterminate, impossibili

impostare correttamente il modello matematico di
semplici problemi
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Prerequisiti
• Enunciati aperti
–
–
–
insieme universo e insieme di verità di un enunciato
aperto
enunciati aperti equivalenti
enunciati propriamente detti
• Calcolo algebrico
–
semplificazione di espressioni razionali intere e fratte
• Nomenclatura degli insiemi numerici
–
N (naturali), Z (interi), Q (razionali), R (reali), N0
(naturali privati dello 0), Z+ (interi posiviti) Z– (interi
negativi), Z+0 (interi non negativi), ….
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In questa lezione….
• Impareremo che un’equazione è un enunciato
aperto, in grado di fornire il modello matematico di un problema
• Proveremo a formalizzare semplici situazioni
problematiche mediante opportune equazioni
• Impareremo un po’ di terminologia ed alcuni
elementi utili alla classificazione delle equazioni
• Impareremo a verificare se un numero appartiene all’insieme di verità di un’equazione
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Un primo esempio….
Problema: Determina il numero positivo che elevato
al quadrato e addizionato al suo doppio dà 3.
x è il numero positivo che elevato al quadrato e addizionato al suo doppio dà 3.
x2 + 2x = 3, con xR+
Gli elementi che appartengono all’insieme di verità
dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a
tutte le possibili soluzioni del problema dato.
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Un altro esempio…
Problema: La mamma di Ada è nata nel 1965;
Ada ha un terzo degli anni di sua mamma; quanti
anni ha Ada?
Ada ha x anni, pari ad un terzo degli anni di sua
mamma, che è nata nel 1965.
2011  1965
x
, con x  N 0
3
Gli elementi che appartengono all’insieme di verità
dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a
tutte le possibili soluzioni del problema dato.
8
Ora un esempio geometrico…
Problema: Un triangolo ha la base lunga 8 m ed ha
l’area che misura 12 m2. Qual è la sua altezza?
Un triangolo di altezza h e base lunga 8 m, ha una
area di 12 m2.
8 h
 12, con h  R 
2
h
8m
Gli elementi che appartengono all’insieme di verità
dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a
tutte le possibili soluzioni del problema dato.
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… e quindi uno con due incognite
Problema: La somma di due numeri positivi è 17,
mentre il loro prodotto è uguale a 72. Quali sono i
due numeri?
La somma di due numeri positivi x ed y è uguale
a 17, mentre il loro prodotto è uguale a 72.
(x + y = 17)  (xy = 72), con (x, y)R+ R+
Ogni coppia di numeri che appartiene all’insieme di verità
dell’enunciato aperto così ottenuto corrisponde ad una delle
possibili soluzioni del problema dato.
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sono modelli
matematici anche
di….
x2 + 2x = 3 , con xR+
vai
2011  1965
x
, con x  N 0
3
vai
8 h
 12,
2
vai
con h  R

(x + y = 17)  (xy = 72),
con (x,
y)R+
R+
vai
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Ed ora un po’ di terminologia…
Un’equazione è un enunciato aperto in cui compaiono
due espressioni in una o più variabili, legate tra loro
dal predicato “ = “.
Le due espressioni vengono dette membri dell’equazione: quello a sinistra del segno “ = “ si dirà
primo membro, quello a destra secondo membro.
Le variabili di un’equazione vengono chiamate incognite.
L’insieme universo di un’equazione prende il nome di
insieme di esistenza (o anche insieme di definizione) e
si indica con E.
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L’insieme di verità V di un’equazione è costituito da
TUTTI e SOLI gli elementi del suo insieme di esistenza che, sostituiti alle incognite, la trasformano in
una proposizione (una uguaglianza) VERA.
Gli elementi dell’insieme di verità di una equazione
vengono detti soluzioni o radici dell’equazione e sono quelli che verificano l’equazione.
Esempio:
Sia data l’equazione
x + 1 = – 5, con E  Q
vale che – 6  V, poiché
Diremo:
(– 6) + 1 = – 5
– 6 è una soluzione dell’equazione
– 6 è una radice dell’equazione
– 6 verifica l’equazione
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In particolare:
 se V  E
(insieme di verità e di
esistenza coincidenti) l’equazione verrà detta
identità
 se
V  E  V   (l’insieme di
verità è un sottoinsieme proprio di quello di
esistenza) parleremo di equazione propria
 se V  
(l’insieme di verità è
vuoto) l’equazione verrà detta contraddizione
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x2 + 2x = 3 , con xR+
L’equazione data è il modello matematico anche
di questo problema:
Sommando tra loro l’area di un rettangolo di
base 2 dm e l’area di un quadrato, il cui lato è
uguale all’altezza del rettangolo, si ottiene una
area di 3 dm². Quanto è lungo il lato del quadrato?
x
2 dm
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2011  1965
x
, con x  N 0
3
L’equazione data è il modello matematico
anche del seguente problema:
In un magazzino ci sono 2011 mele; una parte
di queste viene suddivisa in tre casse. Sapendo
che nel magazzino sono restate 1965 di mele,
quante mele conterrà ciascuna cassa?
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8 h
 12,
2
con h  R 
L’equazione data è il modello matematico anche
di questo problema:
Una piazza ha forma di rombo ed una delle sue
diagonali è lunga 8 dam. Sapendo che la superficie complessiva della piazza è di 12 dam2,
qual è la misura dell’altra diagonale?
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(x + y = 17)  (xy = 72), con (x, y)R+ R+
La coppia di equazioni considerate
costituiscono il modello matematico anche di
questo problema:
Un rettangolo ha il semiperimetro che misura
17 cm e l’area pari a 72 cm². Quanto sono
lunghi base e altezza del rettangolo?
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Cosa faremo adesso?
Cercheremo di “trasformare” il testo del
problema in una affermazione nella quale
sia gli elementi noti, sia gli elementi
incogniti (= non conosciuti, ignoti) verranno
trattati come se fossero tutti noti….
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