Introduzione all’U.D. 5: Equazioni e problemi di 1° grado a cura di Elisabetta Boselli – [email protected] 1 Contenuti • equazioni come enunciati aperti e come modello di un problema • insieme di definizione e di verità di un’equazione: equazioni proprie ed improprie • classificazione delle equazioni • equazioni equivalenti: principi di equivalenza per le equazioni e trasformazione di equazioni razionali in forma normale • risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado in una incognita e di equazioni fratte ad esse riconducibili • risoluzione di problemi numerici di 1° grado 2 Obiettivi didattici Conoscenze: • • • • conoscere le definizioni, i principi e le proprietà presentate riconoscere l’equivalenza tra due equazioni classificare un'equazione e individuare il suo insieme di esistenza riconoscere se un'equazione è determinata, indeterminata, impossibile Competenze: • saper applicare i principi di equivalenza per trasformare un’equazione razionale in forma normale • saper risolvere equazioni numeriche di 1° grado in un’incognita Capacità: • stabilire se un’equazione è modello matematico di un problema • saper tradurre il testo di un problema risolubile mediante un'unica equazione di 1° grado in un'incognita nel suo modello matematico 3 Obiettivi minimi saper classificare le equazioni e individuare il loro insieme di esistenza in semplici casi data un'equazione in un'incognita, verificare per sostituzione se un numero appartiene al suo insieme di verità conoscere i principi di equivalenza per le equazioni e applicarli: • per trasformare in forma normale semplici equazioni razionali (intere/fratte) • per risolvere correttamente semplici equazioni numeriche di 1° grado in un'incognita, riconoscendo quando esse sono determinate, indeterminate, impossibili impostare correttamente il modello matematico di semplici problemi 4 Prerequisiti • Enunciati aperti – – – insieme universo e insieme di verità di un enunciato aperto enunciati aperti equivalenti enunciati propriamente detti • Calcolo algebrico – semplificazione di espressioni razionali intere e fratte • Nomenclatura degli insiemi numerici – N (naturali), Z (interi), Q (razionali), R (reali), N0 (naturali privati dello 0), Z+ (interi posiviti) Z– (interi negativi), Z+0 (interi non negativi), …. 5 In questa lezione…. • Impareremo che un’equazione è un enunciato aperto, in grado di fornire il modello matematico di un problema • Proveremo a formalizzare semplici situazioni problematiche mediante opportune equazioni • Impareremo un po’ di terminologia ed alcuni elementi utili alla classificazione delle equazioni • Impareremo a verificare se un numero appartiene all’insieme di verità di un’equazione 6 Un primo esempio…. Problema: Determina il numero positivo che elevato al quadrato e addizionato al suo doppio dà 3. x è il numero positivo che elevato al quadrato e addizionato al suo doppio dà 3. x2 + 2x = 3, con xR+ Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato. 7 Un altro esempio… Problema: La mamma di Ada è nata nel 1965; Ada ha un terzo degli anni di sua mamma; quanti anni ha Ada? Ada ha x anni, pari ad un terzo degli anni di sua mamma, che è nata nel 1965. 2011 1965 x , con x N 0 3 Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato. 8 Ora un esempio geometrico… Problema: Un triangolo ha la base lunga 8 m ed ha l’area che misura 12 m2. Qual è la sua altezza? Un triangolo di altezza h e base lunga 8 m, ha una area di 12 m2. 8 h 12, con h R 2 h 8m Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato. 9 … e quindi uno con due incognite Problema: La somma di due numeri positivi è 17, mentre il loro prodotto è uguale a 72. Quali sono i due numeri? La somma di due numeri positivi x ed y è uguale a 17, mentre il loro prodotto è uguale a 72. (x + y = 17) (xy = 72), con (x, y)R+ R+ Ogni coppia di numeri che appartiene all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrisponde ad una delle possibili soluzioni del problema dato. 10 sono modelli matematici anche di…. x2 + 2x = 3 , con xR+ vai 2011 1965 x , con x N 0 3 vai 8 h 12, 2 vai con h R (x + y = 17) (xy = 72), con (x, y)R+ R+ vai 11 Ed ora un po’ di terminologia… Un’equazione è un enunciato aperto in cui compaiono due espressioni in una o più variabili, legate tra loro dal predicato “ = “. Le due espressioni vengono dette membri dell’equazione: quello a sinistra del segno “ = “ si dirà primo membro, quello a destra secondo membro. Le variabili di un’equazione vengono chiamate incognite. L’insieme universo di un’equazione prende il nome di insieme di esistenza (o anche insieme di definizione) e si indica con E. 12 L’insieme di verità V di un’equazione è costituito da TUTTI e SOLI gli elementi del suo insieme di esistenza che, sostituiti alle incognite, la trasformano in una proposizione (una uguaglianza) VERA. Gli elementi dell’insieme di verità di una equazione vengono detti soluzioni o radici dell’equazione e sono quelli che verificano l’equazione. Esempio: Sia data l’equazione x + 1 = – 5, con E Q vale che – 6 V, poiché Diremo: (– 6) + 1 = – 5 – 6 è una soluzione dell’equazione – 6 è una radice dell’equazione – 6 verifica l’equazione 13 In particolare: se V E (insieme di verità e di esistenza coincidenti) l’equazione verrà detta identità se V E V (l’insieme di verità è un sottoinsieme proprio di quello di esistenza) parleremo di equazione propria se V (l’insieme di verità è vuoto) l’equazione verrà detta contraddizione 14 x2 + 2x = 3 , con xR+ L’equazione data è il modello matematico anche di questo problema: Sommando tra loro l’area di un rettangolo di base 2 dm e l’area di un quadrato, il cui lato è uguale all’altezza del rettangolo, si ottiene una area di 3 dm². Quanto è lungo il lato del quadrato? x 2 dm 15 2011 1965 x , con x N 0 3 L’equazione data è il modello matematico anche del seguente problema: In un magazzino ci sono 2011 mele; una parte di queste viene suddivisa in tre casse. Sapendo che nel magazzino sono restate 1965 di mele, quante mele conterrà ciascuna cassa? 16 8 h 12, 2 con h R L’equazione data è il modello matematico anche di questo problema: Una piazza ha forma di rombo ed una delle sue diagonali è lunga 8 dam. Sapendo che la superficie complessiva della piazza è di 12 dam2, qual è la misura dell’altra diagonale? 17 (x + y = 17) (xy = 72), con (x, y)R+ R+ La coppia di equazioni considerate costituiscono il modello matematico anche di questo problema: Un rettangolo ha il semiperimetro che misura 17 cm e l’area pari a 72 cm². Quanto sono lunghi base e altezza del rettangolo? 18 Cosa faremo adesso? Cercheremo di “trasformare” il testo del problema in una affermazione nella quale sia gli elementi noti, sia gli elementi incogniti (= non conosciuti, ignoti) verranno trattati come se fossero tutti noti…. 19