EQUAZIONI
• Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni
algebriche eventualmente verificata per particolari valori
attribuiti alla variabile detta incognita dell’equazione.
f(x) = g(x)
• Esempio: 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale
a 2.
• Il valore 2 è detto soluzione dell’equazione.
Per trovare l’eventuale
soluzione dell’equazione è
opportuno semplificarne
la forma senza
modificarne il significato
…
Il primo ed il secondo principio
d’equivalenza delle equazioni consentono di
passare da un’equazione data ad una ad essa
equivalente di forma più semplice
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le
stesse soluzioni oppure se sono entrambe
impossibili
I PRINCIPIO
f(x) = g(x) => mf(x) = mg(x)
con m numero qualsiasi diverso da zero.
II PRINCIPIO
f(x) = g(x) => f(x) +h(x) = g(x) +h(x)
con h(x) espressione qualsiasi nella
variabile x.
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione di primo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
ax + b = 0
con a, b coefficienti numerici , a 0.
• Soluzione:
x=-b/a
Esempio:
2x - 9 = 0
x=9/2
EQUAZIONI DI 2o GRADO
• Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
a x2 + b x + c = 0
con a, b, c coefficienti numerici e a 0.
SPURIA:
a x2 + b x = 0
x(a x + b) = 0
x=0 x=-b/a
PURA:
a x2 +
c=0
c
x 
a
COMPLETA
a x2 + b x + c = 0
D>0
2 soluzioni reali e distinte
x1,2
b  b 2  4ac

2a
2
x1, 2
D=0
D<0
b
b
     ac
2
2
a
2 soluzioni coincidenti
nessuna soluzione in R
ESEMPI
2 x2 - 7 x + 3 = 0
D = 49 – 24 > 0
x1, 2
x1=3
75

4
x2=1/2
ESEMPI
25x2 + 10x +1 = 0
D = 25 – 25 = 0
x1,2
5
1


25
5
x2 - 3 x + 8 = 0
D = 9 – 32 < 0
non ha soluzioni in R.
RELAZIONE TRA I
COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
b  b  4ac b  b  4ac
2b
b
s  x1  x2 



2a
2a
2a
a
2
2
b  b 2  4ac b  b 2  4ac b 2  b 2  4ac c
p  x1  x2 



2
2a
2a
a
4a
a x2 + b x + c = 0
b
c
x  x
0
a
a
2
x 2  sx  p
ESERCIZI
• Determinare i due numeri la cui somma sia
s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:
x²-(-4)x+(-5)=0
FATTORIZZAZIONE
a x2 + b x + c = 0
1) D > 0 a · (x - x1) · (x - x2)
2) D = 0 a · (x - x1)2
3) D<0 -------------