Induttanza
L’induttore è un elemento circuitale che immagazzina
energia nel campo magnetico generato dalle spire
percorse da corrente.
Un induttore è caratterizzato da una induttanza che
dipende dalle sue caratteristiche geometriche.
L’induttanza è definita come la costante di
proporzionalità tra la f.e.m. indotta e la derivata
temporale della corrente quindi data da:
unità di misura henry (H): 1 henry=1 volt·sec/ampere
Fisica II - CdL Chimica
Calcolo dell’induttanza
Dalla legge di Faraday applicata
al caso di N spire concatenate
con il flusso di un campo
magnetico B:
E
E
Eguagliando in valore assoluto con la definizione di L
e integrando rispetto al tempo
Poichè FB è proporzionale alla corrente, in realtà L
dipende unicamente dalla geometria del sistema.
Fisica II - CdL Chimica
Induttanza di un solenoide
Solenoide lungo :
l
N avvolgimenti totali, raggio r, lunghezza l
il campo magnetico vale
r
N avvolg.
per una singola spira,
Il flusso totale attraverso il solenoide è dato da:
L’induttanza del solenoide è quindi data da:
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dipende solo da
fattori geometrici !
Auto-Induttanza
•
Consideriamo la spira a destra, Rspira=0.
(Assumendo una batteria ideale con resistenza
interna R = 0)
•
•
interr. chiuso  la corrente fluisce nella spira.
inizialmente dI/dt0 , quindi I(t=0) e/R=Imax
“L’induttanza” del circuito limita dI/dt, cioè la crescita della corrente
perchè ?
•
Quando la corrente fluisce, si produce un campo magnetico nell’area
racchiusa dalla spira.
•
Il flusso attraverso la spira cresce al crescere della corrente
Viene indotta nella spira una f.e.m. che si oppone alla variazione di flusso
di corrente poichè si oppone ad un incremento di flusso: legge di Faraday
Auto-Induzione: variazione di corrente in una spira che
induce una tensione opposta nella medesima spira.
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Auto-Induttanza
• Il campo magnetico prodotto dalla
corrente nella spira mostrata è
proporzionale alla corrente.
I
• Il flusso, quindi, è anche proporzionale alla
corrente.
• Definiamo questa costante di proporzionalità
tra flusso e corrente come induttanza, L.
• Unità di misura Henry, 1H=1V·s/A
• Si può anche definire l’induttanza, L,
usando la legge di Faraday, in termini
della f.e.m. indotta da una corrente
variabile.
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Auto-Induttanza
L’induttanza di un induttore (un insieme di spire ... p.es. un
solenoide), può essere calcolata solo dalla sua geometria, se il
dispositivo è fatto solamente da conduttori avvolti in aria.
Analogamente al caso di un condensatore.
Se si aggiunge altro materiale (p.es. nucleo di ferro), bisogna
aggiungere una qualche proprietà specifica del materiale, come
già fatto per condensatori (dielettrici) e resistori (resistività).
• Un prototipo di induttore è un lungo solenoide, proprio come
una coppia di piatti paralleli sono il prototipo di un
condensatore.
l
A
r
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r << l
N avvolgimenti
++++
d
-----
Circuiti RL serie
Un circuito che contiene una bobina, tipo un
solenoide, ha una autoinduttanza che
impedisce alla corrente di aumentare e
diminuire istantaneamente .
Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente
aumenta e la f.e.m. dell’induttore (DVab < 0)
sarà:
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Circuiti RL serie
L’andamento temporale della corrente è
La caduta di tensione sull’induttore sarà
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Circuiti RL
• Analogamente ai circuiti RC
esiste una
costante di tempo che caratterizza il comportamento
temporale del circuito
• Perchè RLcresce per L più grandi ?
–
L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso
di variazione.
• Perchè RLdiminuisce per R più grandi ?
–
Grandi R riducono la corrente finale.
–
Grandi R dissipano l’energia velocemente, velocizzano la
“scarica” dell’induttore (cioè velocizzano la perdita di
corrente).
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Circuiti RL
• Dopo che l’interruttore è
stato in posizione a per un
tempo lungo, a t=0, viene
portato in posizione b.
a
• legge della maglia:
• l’appropriata condizione iniziale è:
• La soluzione deve
avere la forma:
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I
I
R
b
L
e on
e/R
L/R
2L/R
e/R
I
0
e off
t
0
0
VL
VL
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2L/R
I
e
0
L/R
t
-e
t
t
Energia di un induttore
• Quanta energia (U) è immagazzinata
in un induttore quandi una corrente
fluisce attraverso esso ?
• legge della maglia:
• moltiplichiamo per I :
potenza erogata
batteria
potenza dissipata
resistenza
I
a
I
R
b
e
L
rapidità immagazzinamento energia
(potenza) nell’induttanza
• In questa equazione della conservazione dell’energia (per unità di tempo),
identifichiamo PL, il tasso con cui l’energia è immagazzinata nell’induttore:
• Integriamo l’equazione per trovare una
espressione per UL, l’energia immagazzinata
nell’induttore quando la corrente = I :
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
Dove è immagazzinata l’energia ?
• Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata
nel campo elettrico) per l’induttore l’energia è
immagazzinata nel campo magnetico stesso.
• Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il
campo uniforme generato da un lungo solenoide:
l
• l’induttanza L vale:
r
N avvolg.
• l’energia U:
• La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è
contenuto il campo:
Questa relazione, pur essendo stata
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ricaata nel caso del solenoide, è valida
in ogni regione dello spazio in cui è
presente un campo magnetico !
Applicazione mutua induzione:
caricabatteria wireless per spazzolino elettrico
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L’induttanza nei circuiti:
Induttori in parallelo
 Consideriamo due induttori in parallelo
i
i2
i1
L1
L2
 Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha:
 L’induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3
induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)
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Induttori in parallelo
 Quindi
 quindi gli induttori in parallelo si combinano come le
resistenze:
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Induttori in serie
 Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori
saranno attraversati dalla stessa corrente i.
i
i
L1
L2
 Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la
caduta di tensione sulla coppia vale:
 Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in
serie:
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x
z
y
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Corrente di spostamento
Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un
condensatore, considerando le sup. S1 ed S2:
L’integrale di linea è esteso a
qualsiasi percorso chiuso concatenato con la
corrente di conduzione.
• Le due superfici S1 e S2 sono delimitate dallo
stesso percorso P.
• Non essendo presente una corrente di
conduzione tra le due armature, si hanno
due risultati diversi (m0I e 0) !!!
• Il teorema di Ampere in questa forma è valido
solo se la corrente di conduzione è continua nello
spazio.
• Per risolvere l’incongruenza Maxwell introdusse
la
Corrente di spostamento
flusso campo
elettrico
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Teorema di Ampere generalizzato
Teorema di Ampere-Maxwell
I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di
conduzione sia dai campi elettrici variabili !
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Le equazioni di Maxwell
 Teorema di Gauss (flusso elettrico totale
attraverso superficie chiusa = carica netta)
 Flusso magnetico netto attraverso una
superficie chiusa è nullo (teorema Gauss
per il magnetismo)
 Legge di Faraday dell’induzione
 Teorema di Ampere generalizzato
Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una
carica elettrica è data da
Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una
descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche
classiche.
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Eq. fondamentali dell’elettromagnetismo
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Onde Elettromagnetiche
 Maxwell dimostrò che i campi elettrici
e magnetici dipendenti dal tempo
soddisfano una equazione d’onda.
 La più importante conseguenza di
questa teoria è la previsione
dell’esistenza delle onde
elettromagnetiche (campi elettrici e
magnetici oscillanti).
 La variazione dei campi crea
reciprocamente il mantenimento della
propagazione dell’onda: un campo
elettrico variabile induce un campo
magnetico e viceversa.
 I vettori E e B sono  tra di loro e 
alla direzione di propagazione.
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Calcolo equazione d’onda
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Calcolo equazione d’onda
Fisica II - CdL Chimica
Calcolo equazione d’onda
La luce è un’onda elettromagnetica !!!
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Calcolo equazione d’onda
In ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il
rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il
modulo del campo magnetico è uguale alla velocità
della luce !!!
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VC
UE
0
C
L
t
VL
Circuiti
LC
0
t
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UB
t
Onde Hertziane
Si può mettere in evidenza l’esistenza delle onde
elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell ?
Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema
per la generazione e rivelazione delle onde
elettromagnetiche (onde radio).
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Oscillazioni Elettromagnetiche
Analogia con la meccanica:
Rammentiamo l’oscillatore meccanico massa-molla
k = costante elastica
-A
+A
A = ampiezza delle oscillazioni
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Oscillazioni di Energia
T = periodo di oscillazione
Consideriamo un circuito LC:
C carico, al tempo t=0 si chiude S.
Il condensatore si scarica, la
corrente aumenta, l’energia si
trasferisce dal campo elettrico a
quello magnetico. Poi il ciclo si
inverte e proseguirebbe all’infinito
in assenza di meccanismi
dissipativi.
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Circuito LC
Consideriamo un semplice circuito LC.
Il condensatore ha una carica iniziale
Qmax e l’interruttore viene chiuso al
tempo t=0.
I(t)
la caduta di tensione è
determinata dall’integrale
della corrente sulla
capacità
C
I(t)
L
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la caduta di tensione è
determinata dalla
derivata della corrente
per l’induttanza
Circuito LC
Applichiamo la regola delle maglie al
circuito LC.
Soluzione:
La carica nel circuito oscillerà in modo
analogo alla massa con la molla:
Energia
immagazzinata
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Generazione di onde elettromagnetiche
Quale configurazione di cariche e correnti elettriche produce
un’onda elettromagnetica ?
Carica in moto a velocità costante: campo elettrico + campo
magnetico stazionari, nello spazio esiste una densità di energia,
costante nel tempo, associata ai suddetti campi.
In questo caso non vi è trasporto di energia né di quantità di moto
e non sussiste radiazione elettromagnetica.
Per produrre un’onda elettromagnetica è necessario accelerare la
carica.
Il moto accelerato della carica corrisponde a una corrente che
varia nel tempo: la radiazione è prodotta da correnti che variano
nel tempo.
Le onde elettromagnetiche trasportano energia e quantità di moto
nello spazio attraverso i loro campi elettrici e magnetici oscillanti.
Cariche a riposo e cariche in moto a velocità costante non
irraggiano, mentre le cariche accelerate irraggiano.
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Esperimento di Hertz
trasferimento di energia elettromagnetica
Dispositivo di Hertz per generare e
rivelare onde elettromagnetiche: due
elettrodi sferici connessi ad una bobina
d’induzione che fornisce brevi impulsi di
tensione alle due sfere e innesca una
scarica oscillante. Il ricevitore è un
circuito vicino contenente un secondo
spinterometro.
Hertz trovò che l’energia viene spedita
dal trasmettitore al ricevitore quando la
frequenza di risonanza del ricevitore
veniva accordata con quella del
trasmettitore. L’energia è trasportata da
onde elettromagnetiche.
Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile
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Generazione di onde elettromagnetiche
Un circuito oscillante RLC, con un generatore esterno che rifornisce
l'energia dissipata nel circuito o portata via dalla radiazione. La corrente
nel circuito varia sinusoidalmente con la pulsazione risonante w.
Il circuito oscillante è accoppiato
attraverso un trasformatore a
una linea di trasmissione, che
serve a portare la corrente a una
antenna. (I cavi coassiali, che
portano i segnali TV in molte case,
sono esempi comuni di linee di
trasmissione.)
L'antenna è un dipolo elettrico oscillante: sui due rami si trovano cariche
istantanee opposte che variano sinusoidalmente nel tempo. Le cariche sono
inevitabilmente accelerate muovendosi avanti e indietro nell'antenna, e
come risultato l'antenna è una sorgente di radiazione di dipolo elettrico.
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Energia trasportata dalle onde e.m
Flusso di energia in un’onda elettromagnetica = vettore di Poynting S
Il modulo di S è legato alla rapidità con cui l’energia è trasportata
dall’onda attraverso un’area unitaria, nell’unità di tempo:
La direzione del vettore di Poynting S coincide in ogni punto con la
direzione di propagazione dell’onda e con la direzione in cui è
trasportata l’energia.
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Energia trasportata dalle onde e.m
Dalle soluzioni ricavate dalle eq. di Maxwell per i campi elettrico e
magnetico di un’onda elettromagnetica :
L’intensità di un’onda elettromagnetica è uguale al prodotto della
densità di energia media per la velocità della luce.
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Pressione di radiazione
Il campo elettrico di un'onda elettromagnetica incidente su una
superficie esercita una forza sugli elettroni imprimendo loro una
accelerazione. Negli urti con gli atomi del corpo, essi possono trasferire
l'energia di cui sono dotati e quindi incrementarne la temperatura.
Di fatto l'onda esercita una forza netta sul corpo investito nella stessa
direzione del suo moto. Si tratta normalmente di una forza piccolissima,
(5*10-6 Nm-2 per luce solare diretta) che tuttavia risulta misurabile in
laboratorio con metodi accurati.
Un'onda piana luminosa incidente, agisce su un
elettrone in un sottile foglio resistivo. Sono
indicati i valori istantanei di E, B, della velocità
di deriva dell'elettrone vd e della forza di
radiazione FB.
Dispositivo di Nichols e Hull per misurare la pressione di
radiazione. La pressione della radiazione che incide sullo
specchio M provoca una torsione della fibra di un angolo
piccolissimo.
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Spettro delle onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche viaggiano nel
vuoto con velocità c, frequenza f e
lunghezza d’onda l. I vari tipi di onde
elettromagnetiche, prodotte tutte da
cariche accelerate, sono mostrate in
figura.
Es.: onda radio di frequenza f=94.7MHz
l = c/f = 3.17 m
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Applicazione: forno a microonde
In un tipico forno a microonde le onde
elettromagnetiche stazionarie hanno lunghezza d’onda
l=12.2 cm (f=2.5 GHz), fortemente assorbita dalle
molecole d’acqua contenute nei cibi. Poiché i nodi
dell’onda (campo elettrico nullo) sono separati da
l/2=6.1 cm, le pietanze devono essere ruotate per
garantire un riscaldamento uniforme.
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