5.3. EQUAZIONI DI LAGRANGE
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2. un moto rotatorio, intorno al centro di massa, descritto dalle equazioni vettoriali di Eulero, che impongono l’equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutti
i momenti agenti sul braccio, compresi quelli generati dalle forze d’inerzia:
N i−1,i + N i+1,i + r ci ,i−1 × f i−1,i + r ci ,i × f i+1,i − Γ i ω̇ i − ω i × Γ i ω i = 0 (5.18)
dove r ci ,i−1 è il segmento orientato dal centro di massa ci all’origine di Ri−1 ,
mentre r ci ,i è il segmento orientato dal centro di massa ci all’origine di Ri . Il
tensore d’inerzia Γ i è misurato rispetto a R0 , come da ipotesi iniziale.
Come si può notare, le equazioni sono espresse in funzione delle accelerazioni lineari
dei centri di massa aci , delle accelerazioni e velocità angolari ω̇ i e ω i e delle forze
generalizzate vincolari trasmesse dai bracci contigui. Per esprimere esplicitamente la
relazione tra coppie τi e coordinate giunto qi occorre perciò
a) trasformare le aci , ω̇ i e ω i in funzioni delle coordinate q̇i e qi attraverso la
cinematica inversa di velocità;
b) proiettare sugli assi di movimento le forze generalizzate f i e N i per ottenere le
coppie motrici τ i necessarie per equilibrarle dinamicamente;
c) ricavare le forze vincolari f i dalle (5.17) per sostituirle nelle (5.18);
ottenendo alla fine 2n equazioni espresse in τi , qi e q̇i .
Nel seguito non proseguiremo lungo questa strada, anche se risulta il modo più
efficiente per modellare una catena cinematica in un programma di calcolo automatico, ma invece ci occuperemo di descrivere con maggior approfondimento l’approccio
basato sulle equazioni di Lagrange.
5.3
Equazioni di Lagrange
Il procedimento per giungere alla definizione delle equazioni dinamiche, secondo l’approccio di Lagrange, si basa sulla definizione delle energie cinetica e potenziale totali
del manipolatore. Queste ultime sono la somma delle energie cinetiche e potenziali
delle singole parti (bracci, motoriduttori, motori, ecc.) costituenti il manipolatore.
Il metodo delle equazioni di Lagrange permette di scrivere n equazioni differenziali
del second’ordine direttamente nelle variabili giunto q̇i e qi , da cui è più agevole risalire
alla formulazione in variabili di stato, che non usando le equazioni di Newton-Eulero.
Ancora una volta ricordiamo che i vettori introdotti sono tutti rappresentati nel
riferimento R0 .
Definiamo funzione di Lagrange la differenza tra l’energia cinetica C e l’energia
potenziale P totali del manipolatore:
L(q, q̇) = C(q, q̇) − P(q)
(5.19)
dove:
• C(q, q̇) è l’energia cinetica totale, in generale funzione sia delle velocità sia delle
posizioni dei giunti;