Urti
• Si parla di urti quando due punti materiali (o due sistemi di punti
materiali) si scambiano energia e quantità di moto in un tempo
estremamente breve.
p
Fm 
t
p la variazione di quantità di moto è finita
t tende a zero
• Le forze agenti sulle particelle interagenti sono estremamente intense
(forze impulsive!!)
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Fasi dell’urto
• fase iniziale prima dell’urto: in cui esiste un moto imperturbato.
• fase dell’urto:
– La durata di questa fase è piuttosto piccola rispetto alla
durata complessiva del moto.
– Si produce quindi una brusca variazione nel moto dei due
sistemi interagenti
– È caratterizzata dalla presenza di forze molto intense.
r  vt
 r  0
t  0
Poiché l’urto è istantaneo,
le particelle, nella fase
dell’urto, non si spostano.
• fase successiva all'urto: dopo l'interazione, lo stato di moto continua ad
essere di nuovo imperturbato.
Il CM si trova sempre sul segmento che congiunge le
due particelle. L’urto avviene nel CM
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Impulso della forza
• Durante l’urto le forze che agiscono sulle
particelle interagenti hanno una intensità molto
grande (tendente all’infinito).
F21
F12
1 2
F12
– Sono difficili da descrivere.
– Quello che è importante è l’effetto prodotto
• Consideriamo una delle due particelle interagenti
F12m
– La particella 1
– La sua variazione di quantità di moto, prodotta
dalla forza F12, vale: p  p  p
1
1f
1i
t2
t1
• Si definisce Impulso della forza F12 la quantità:
dp1
 F1 2
dt
dp1  F1 2dt  p1 

t2
dp1 
t1

t2
F1 2dt
t1
t
I1  p1  p1f  p1i
I1 
La stessa variazione di quantità di moto può essere ottenuta con una forza
molto intensa che dura molto poco,
o da una forza meno intensa che agisce per un tempo piu lungo.

t2
F1 2dt
t1
Rappresentato
dall’area sotto
la curva
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Forza media
• La forza media è la forza costante che, agendo
nell’intervallo tra t1 e t2, provoca la stessa
variazione di quantità di moto della forza F12:
P1 
t2
F21
F12
1 2
F12
 F dt  F
t1
12
1 2m t
F12m
L’impulso in questo caso è rappresentato
dall’area del rettangolo di base t e
altezza F12m
t1
t2
t
l’area del rettangolo di base t e altezza
F12m è uguale all’area sotto la curva
dell’intensità della forza in funzione del
tempo
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•
Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in
una parete di muratura prima di fermarsi
Di quanto si riduce l’energia meccanica della pallottola?
Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre penetrava nella
parete?
Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?
Prima
Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio
per descrivere il moto:
la parete è ferma in tale sistema
il sistema di riferimento è inerziale
Le forze agenti sono:
La forza peso (fa lavoro nullo)
La Normale (fa lavoro nullo)
La forza di attrito(dinamico)
Applic
azione
x
Dopo
L’energia meccanica totale coincide con
l’energia cinetica.
Nell’ipotesi di un moto orizzontale come
mostrato in figura, non c’è variazione
dell’energia potenziale della forza peso
Kf  0
1
1
1 2
E  K f  Ki   mv 2i    30  103  5002  3750J
K i  mv i
2
2
2
E
3750
3
P

mg

30

10
 9.81  .294N
E  Wnc  Fx x  Fx 


31250N
2
x 12  10
E  Ef  Ei  Kf  Ki
Circa 100 mila volte il peso
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•
Per calcolaci tempo ha impiegato dalla pallottola per fermarsi, valutiamo
l’impulso della forza.
Prima
I  p  pf  pi
Applic
azione
x
La quantità di moto finale è nulla
Quella iniziale ha solo la componente x
Anche l’impulso avrà solo la componente x
Dopo
I x  p x f  px i  mv i  30  10 3  500  15kgms 1
I x  Fx t  t 
Ix
15

 0.032s
Fx 31250
Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi
Questo semplice esempio mostra come
le forze negli urti siano molto intense
I tempi dell’interazione siano piuttosto piccoli
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Soluzione dei problemi di urto
Sistema isolato
•
•
Consideriamo dapprima un urto, in cui le
particelle interagenti sono così lontane da
altre particelle da poter considerare nulle
le forze esterne (sistema isolato)
Dalla I equazione cardinale dei sistemi
ricaviamo che la quantità di moto totale
del sistema di particelle interagenti si deve
conservare.
dP
 R est  0  P  cos t
dt
F21
F12
1 2
Sistema delle particelle
interagenti
P  p1  p2  cos t
p1i  p2 i  p1f  p2 f
 p2 f  p2i  p1f  p1i

p1  p2
I1  I2
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Soluzione dei problemi di urto
in presenza di forze esterne
•
Consideriamo ora il caso in cui le particelle
interagenti durante l’urto sono sottoposte
anche ad alcune forze esterne.
La variazione della quantità di moto subita
da ciascuna particelle tra t1 e t2 sarà data da:
•
 
  F
P1 
P2
t2
t1
t2
t1
est
F1 2  F1
21
 F2
dt   F
est
t2
t2
t1
t2
t1
t2

dt   F dt  
1 2dt 
t1
21
t1
F1est 1 2
P2  F2 1m t  F1 2m t  P1
P  P1  P2  P1  P1  0
 P1
F2est
Sistema delle particelle
interagenti

est

est
F1 dt  P1  P1  F1 2m t  F1 t  F1 2m  F1
est
in t
est
est
F2 dt  P2  P2  F21m t  F2 t  F21m  F2
est
in t
est
est
Se durante l’urto la forza esterna è trascurabile rispetto a
quella interna
P1  F1 2m t
F21
F12
t
t
F12
Bisogna assicurarsi
che le forze esterne,
durante l’urto non
diventino impulsive
F12m
F1est
t
t2 2002/03
G.M. - Informaticat1 B-Automazione
Forze esterne impulsive
• Quali forze mi possono dare fastidio?
• Quali forze durante l’urto possono diventare impulsive?
• Tutte quelle forze per cui non abbiamo travato una espressione per
calcolare il loro valore!
• Forze che conservano una intensità finita durante l’urto:
–
–
–
–
Forza peso
Forza elastica
Gravitazione universale
Resistenza passiva
P  mg
Felx  kx
mM
FG 2
r
F   bv
• Forze che possono diventare impulsive durante l’urto:
– Componente normale della reazione vincolare N
– Forze di attrito (attraverso il loro legame con la normale N)
– Tensione nelle funi
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Conservazione della quantità di moto
• Se le forze esterne sono nulle o trascurabili rispetto a quelle impulsive
interne
• Si conserva la quantità di moto del sistema delle particelle interagenti.
P  0  Pi  Pf
P1i  P2i  P1f  P2 f
m1v1i  m2v 2i  m1v1f  m2v 2f
m 1v1x i  m 2v 2x i  m1v1x f  m 2v 2x f
m 1v1y i  m 2v 2y i  m1v1y f  m 2v 2y f
2
1
F21
F12
m1v1zi  m 2 v2 zi  m1v1zf  m 2 v2 zf
•
•
Conoscendo le velocità iniziali, si
possono determinate le velocità delle
particelle dopo l’urto?
3 equazioni con 6 incognite
v2
v1
1 2
v’1
1
v’2
2
Sistema delle particelle
interagenti
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Istante iniziale e finale nello studio dei
processi d’urto
• Se le forze esterne sono assenti allora
– Le due particelle sono sottoposte solo all’azione delle forze interne che
esistono solo durante l’urto.
– Sia prima che dopo l’urto non sono soggette a forze: si muovono di moto
rettilineo uniforme, con quantità di moto costante.
– i e f possono essere due istanti qualsiasi prima e dopo l’urto.
• In presenza di forze esterne invece
– i e f devono essere l’istante immediatamente
prima dell’urto e quello immediatamente dopo
l’urto.
– Se si allunga l’intervallo di osservazione
• La variazione della quantità di moto prodotta
dalla forza esterna potrebbe non essere più
trascurabile rispetto a quella prodotta dalla
forza interna.
• Non c’è più conservazione della quantità di
moto
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Moto del centro di massa in un processo
d’urto
• Se nell’urto si conserva la quantità di moto
• Il centro di massa si muove con velocità
costante:
P  Mv CM
P  costante


v CM  costante
• Il Sistema di riferimento del CM è un sistema
di riferimento inerziale
– Molto utile per risolvere i problemi d’urto.
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Conservazione parziale della quantità di
moto
• Se tra le forze esterne agenti sulle particelle che si urtano c’è una forza
che, durante l’urto potrebbe diventare impulsiva (reazione vincolare,
tensione, etc)
• Non è lecito applicare la conservazione della quantità di moto.
• In alcuni casi però è possibile stabilire a priori la direzione della forza
impulsiva
• Vuol dire che si conserveranno le componenti della quantità di moto
nelle direzioni perpendicolari a quella della forza impulsiva
R est
x  impulsiva
est
R est
y  0 Rz  0
dP
est
R

dt
dPx
 R est
Px potrebbe non conservarsi
x (impulsiva ) 
dt
dPy
est
 Ry  0
 Py si conserva
dt
dPz
 Rzest  0
 Pz si conserva
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dt
Urti elastici o anelastici
• Dal punto di vista dell’energia gli urti si classificano
– Elastici
• Se l’energia cinetica si conserva
– Anelastici
• Quando non si conserva l’energia cinetica
•
Nota Bene: Solo l’energia cinetica è importante. Infatti:
– Se non ci sono forze esterne non c’è energia potenziale
– Comunque durante l’urto la posizione delle particelle non varia, non
varia neppure l’energia potenziale.
r  vt
 r  0
t  0
• Nel caso di urti anelastici, l’energia cinetica può
– sia diminuire (viene trasformata in altre forme di energia: energia
interna dei corpi, riscaldamento dei corpi)
– ma anche aumentare (l’energia interna dei corpi viene trasformata
in energia meccanica: esplosioni)
•
Urti completamente anelastici
N.B. non c’è alcuna
correlazione tra la
conservazione
dell’energia e quella
della quantità di moto
– Quando viene persa tutta l’energia cinetica che è possibile perdere
compatibilmente con la conservazione della quantità di moto.
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Urti completamente anelastici
• Sono quegli urti in cui si perde tutta l’energia cinetica che è possibile
perdere compatibilmente con la conservazione della quantità di moto
P  Mv CM
P  cost

vCM  cost
1
1
K' = m1v' 21  m 2v' 22
2
2
K'  0
Per il teorema di Konig
1
K  Mv 2CM  K'
2
dove K' è l' energia cinetica
misurata nel sistema del CM
v' 1  0

•
•
v' 2  0
•
se vCM  cost

al più K' può annullarsi
1
1
K' = m1v' 21  m 2v' 22
2
2
Le due particelle nello stato finale hanno
velocità nulla rispetto al centro di massa
Poiché al momento dell’urto, entrambe le
particelle si trovavano nella posizione del
centro di massa
Le due particelle emergono dall’urto unite
insieme e si muovono con la velocità del CM
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Soluzione dell’urto completamente
anelastico
• Consideriamo un urto completamente anelastico in cui si conserva la
quantità di moto (non ci sono forze esterne impulsive)
m1v1i  m2v 2i  m1v1f  m2v 2f
• A cui possiamo aggiungere l’ulteriore condizione: v1f  v 2f  v f
m1v1i  m2v 2i  m1  m2 v f
vf 
m1v1i  m 2 v2 i
m1  m2
• Abbiamo tre equazioni con tre
incognite
– Il problema ammette soluzione
• Velocità del CM
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Il pendolo balistico
• Veniva usato per misurare la velocità dei proiettili sparati da un’arma
da fuoco.
•
•
•
•
Consiste in un blocco di legno (o sacco di sabbia) appeso
al soffitto con una corda di lunghezza l
Il proiettile penetra nel blocco di legno e si ferma rispetto
al blocco (l’urto è completamente anelastico)
Blocco e proiettile, insieme, dopo l’urto cominceranno ad
oscillare come un pendolo
Misurando l’ampiezza delle oscillazioni, dalla conoscenza
degli altri parametri in gioco, massa del blocco, massa del
proiettile e lunghezza del pendolo, è possibile risalire alla
velocità iniziale del proiettile
O
m
v
M
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•
Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500
m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza
L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.
Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.
Determinare l’elongazione massima del pendolo
Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza
media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto
Verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.
Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.
Applic
azione
O
m
v
M
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Il pendolo balistico: analisi delle forze
•
•
•
•
Le forze peso non sono impulsive
La tensione potrebbe diventare impulsiva durante l’urto.
Non possiamo imporre la conservazione della quantità di
moto
Poiché l’urto dura poco, la posizione del pendolo durante
l’urto non varia
O
T
m
– Il filo durante l’urto resta verticale
•
•
•
Tutte le forze esterne durante l’urto sono verticali
Si conserva la componente della quantità di moto
orizzontale.
P1xi  P2xi  P1xf  P2xf
In particolare:
mv  M  mVx
Pm
v
M
x
PM
mv
Vx 
M m
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Energia persa nell’urto
Ki 
1
mv 2
2
2
1
1
1 m 2 v2
 mv 
2
K f  M  mVx  M  m 

M  m 
2
2
2M m
Vx 
mv
M m
1
 m 
2  m

K f  mv
 Ki
M  m 
M  m 
2
mino re di 1
K persa  Ki  K f 
1
1
m  1
 m  1
2 
2  M 
mv 2  mv 2 

mv
1

mv
 M  m  2
M  m 
2
2
M  m  2
se m<< M questo
termine è 1
Quasi tutta l’energia cinetica viene persa durante l’urto a causa delle forze di
attrito che si oppongono alla penetrazione del proiettile nel blocco di legno.
K  K f  Ki   Kp ersa  Wfa  Fa x
Il lavoro della altre forze agenti o è
nullo o è trascurabile
x = penetrazione
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•
Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500
m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di
lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con
esso.
Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.
Determinare l’elongazione massima del pendolo
Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza
media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto
verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.
Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.
mv
30  10 3 kg  500 m s
Vx 

 3.72 m s
M m
4.030kg
1 2 M
1
4.
mv
 30  10 3  500 2

2
M m 2
4.030
 3750  .993  3696.0J
Applic
azione
O
K persa 
m
v
M
K  K f  Ki   Kp ersa  Wfa  Fa x
Kp ersa
3696.0
Fa 

 123201N
x
3  10 2
p1f  p1i 30  1033.72  500
t 

 0.12  10 3 s
Fax
123201N
d  Vx t  3.72 m s  .12  10 3 s  .44  10 3 m
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II fase oscillazione
• L’oscillazione avviene sotto l’azione della forza peso
(conservativa) e della tensione.
E  Wn c  WT
O

h  (1 cos)
T
U f  M  mgh  M  mg (1 cos)
h
dr
M +m
Ei  Ef
PM m
Ki  U i  Kf  U f
1
M  m Vx2  0  0  M  m g 1  cos 
2
1 m 2v 2
 M  m g 1  cos 
2 Mm
v
Vx 
mv
M m
M m
2g 1  cos 
m
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•
Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500
m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di
lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con
esso.
Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.
Determinare l’elongazione massima del pendolo
Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza
media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto
Verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.
Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.
mv
30  10 3 kg  500 m s
Vx 

 3.72 m s
M m
4.030kg
Applic
azione
O
Ei  Ef
Ki  U i  Kf  U f
1
M  m Vx2  0  0  M  m g 1  cos 
2
 1 Vx2   1 3.722 
  1 
 .6473
cos   1
 2 g   2 9.81  2 
m
v
M
  ar cos.6473  50
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•
Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500
m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di
lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con
esso.
Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.
y
Prima dell’urto:
T  P  0  T  P
Applic
azione
O
T  Mg  4  9.81  39.24N
Subito dopo l’urto, il pendolo è rimasto nella
stessa posizione, ma si sta muovendo con
velocità Vx:
T  P  M  ma
m
v
M
Proiettando su un asse verticale:
T  M  m g  M  m 
T  M  m g  M  m 
Vx2
Vx2
2

3.72


  46.45N
 4.030 9.81 

2 
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Proiettile sparato dall’alto
• La forza FMn è impulsiva (forza interna)
• Poiché la lunghezza della corda ideale non varia
m
O
v
T  PM  FMm  Ma  0
M
T  Mg  FMm  0  T  Mg  FMm FMm
• La tensione T ha, durante l’urto, una intensità
comparabile con la forza FMn
• La tensione T è impulsiva
• Se la corda non è sufficientemente robusta si può
rompere (viene superato il carico di rottura)
• Non si ha conservazione della quantità di moto
nella direzione verticale
x
T
M
FM m
PM
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Urto in due dimensioni
• Consideriamo un urto in cui una della due
particelle è ferma (senza forze esterne)
– Particella 1 proiettile
– Particella 2 bersaglio
– b parametro d’urto
v1
m1
b
m2
• La retta di azione della velocità v1 e il punto P2
definiscono un piano
– Le forze di interazione sono lungo la congiungente
– Quindi contenute nel piano
– Non c’è moto perpendicolarmente al piano
precedentemente individuato (accelerazione nulla,
velocità iniziale nulla)
P1i  P2 i  P1f  P2 f
y
• L’urto è piano.
v' 1
m1v1  m1v' 1 cos1  m2 v' 2 cos2
0  m1v' 1 sen1  m2 v' 2 sen 2
Se l’urto è elastico
si può aggiungere:
1
1
1
m1v21  m1v' 12  m 2 v' 22
2
2
2
1
v1
m1
m2
x
2
v' 2
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