Econometria progredita
homeworks (consegna 18/11/2010)
1
Utilizzo del pacchetto R
Gli esercizi di questo compito vanno scritti in un file di puro testo, nominati nomegruppo.R, che indirizzerete alla mia casella di posta. I file devono essere di questo tipo
################################################
#### Nome1 Cognome1, (Nome2, Cognome2, ecc. se più di uno)
#### matricola1, (matricola2)
#### Data
################################################
# Esercizio 1
# un po’ di commenti sull’esercizio (da 1 a 3 righe) tipo
# definisco n il numero ecc. ecc. x la variabile che...,
# devo trovare,...
n <- 100
x <- seq(0,1,lenght=n) # eventuale spiegazione
# adesso calcolo ecc. ecc.
risultato <- t(x)%*%x # che è il risultato dell’esercizio.
# Esercizio 2
ecc. ecc.
1
2
Esercizi di base con R
1. Scrivere un programma (1, 2 righe di codice) che calcoli la tabellina del 10, ovvero
creare una matrice cosiffatta:
[1,]
[2,]
[3,]
[4,]
[5,]
[6,]
[7,]
[8,]
[9,]
[10,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
suggerimento: usate il prodotto vettoriale %*% oppure la funzione outer (digitate
?outer per vedere l’help)
2. Sia x <- matrix(1:100,ncol=5) scrivere un funzione che calcoli il minimo e il
massimo di ogni riga e ogni colonna.
3. Disegnare la funzione
y=
sin(x)
x
tra -1 e 1.
4. Sia x <- rnorm(10),
(a) visualizzare x;
(b) visualizzare x>0 e spiegarne il risultato;
(c) visualizzare x[x>0] e spiegarne il risultato;
(d) visualizzare which(x[x>0]) e spiegarne il risultato;
(e) visualizzare sia x[x>0] e spiegarne il risultato;
(f) visualizzare (x> -.5 & x<.5) e spiegarne il risultato;
(g) visualizzare (x< -.5 | x>.5) e spiegarne il risultato;
(h) definire y <- 0:9
(i) visualizzare y[(x< -.5 | x>.5)] e spiegarne il risultato;
(j) visualizzare y[(x< -.5 | x>.5)] e spiegarne il risultato;
(k) visualizzare cbind(x,y) e spiegarne il risultato;
(l) visualizzare sort(x) e spiegarne il risultato;
(m) visualizzare cbind(x,y,x+y)[order(x),] e spiegarne il risultato.
2
3
Esercizi con variabili aleatorie
1. Rifare gli esercizi 1, 2 e 3 del compito h3.pdf utilizzando R. Per ogni esercizio
suggerisco di definire due vettori uno il vettore del supporto della variabile aleatoria
e uno i relativi valori di probabilità. Ad esempio nell’esercizio 1, definire:
x <- 0:3
px <- c(0.10,0.25,0.40,0.25)
Il grafico di fX è
plot(x,px,type=’h’,col=’red’)
Usarli per calcolare i valori attesi, per esempio E(X):
Ex <- sum(x*px)
Per costruire le funzioni di ripartizione cercate nella guida la funzione cumsum; qui
vi riporto un esempio
> x <- c(.1,.5,.4)
> cumsum(x)
[1] 0.1 0.6 1.0
2. Rifare gli esercizi del compito h4.pdf , paragrafo intitolato “Variabili Aleatorie Discrete”, utilizzando R cercano di scrivere il minor numero di comandi possibile.
3. Sia X ∼ N (µ = 1, σ 2 = 3) in R:
(a) disegnare la funzione di densità e la funzione di ripartizione di X;
(b) calcolare la probabilità P (X ≤ 5);
(c) calcolare la probabilità P (X > 0.1);
(d) calcolare la probabilità P (0 < X ≤ 5);
(e) disegnare in un grafico la funzione g1 (x) = P (X ≤ x), in funzione di x;
(f) disegnare in un grafico la funzione g2 (x) = P (X > x), in funzione di x;
(g) disegnare in un grafico la funzione g3 (x) = P (|X| ≤ |x|), in funzione di x;
(h) trovare x∗ quel valore tale che P (X ≤ x∗ ) = 0.67;
(i) trovare x∗∗ quel valore tale che P (X > x∗∗ ) = 0.67;
(j) confrontare la relazione tra x∗ e x∗∗ con i valori di µ e σ;
(k) trovare quel valor x∗ tale che P (x∗ < X ≤ 2) = 0.5;
(l) ricalcolare tutti i punti precedenti (tranne i punti 3g e 3j) quando X ∼ Exp(λ),
ovvero con funzione di densità:
fX (x; λ) = λe−λx
per λ = 1.5.
Nota la densità della distribuzione esponenziale è calcolata dalla funzione dexp
(digitate ?Exponential per vedere l’help)
3
4. Siano X1 , ..., Xn n VA IID, Xi ∼ Pois(λ = 3). Posti
Sn = X1 + ... + Xn ,
X̄ =
Sn
.
n
Posto n = 25, simulare, con N = 1000 simulazioni, il teorema centrale del limite
per Sn e per X̄, come esemplificato nello script presentato a lezione
http://www.economia.unimore.it/frederic_patrizio/ecoprogr/R-intro.html
5. Rifare l’esercizio precedente dove Xi ∼ Exp(λ), con λ = 2.
6. Sia X una VA continua con supporto SX = [0, +∞) con funzione di densità:
1
fX (x; λ) = λ3 x2 exp(−λx),
2
dove λ > 0 è il parametro del modello.
(a) Scrivere la funzione fX in R e disegnarla per diversi valori di λ.
(b) Per la lode Trovare la funzione di ripartizione di fX .
Z x
f (t; λ)dt
FX (x; λ) =
0
scrivere la funzione in R e disegnarla per diversi valori λ.
(c) Guardate la funzione dgamma nell’help e osservate che dgamma(x,shape,rate)
dipende da due parametri shape e rate. Disegnate la densità dgamma per diversi valori di shape e rate.
suggerimento: consultate wikipedia per vedere la forma della distribuzione gamma
(d) Osservare graficamente che dgamma(x,3,λ) coincide con fX (x; λ)
suggerimento: disegnare sullo stesso grafico: fX al variare di alcuni valori di
λ e dgamma(x,3,λ) di colore diverso osservando la coincidenza delle curve
4