Relazione di laboratorio
Verifica della costante g (accelerazione di
gravità)
Scopo dell’esperienza:
Verificare la costante di gravità
attraverso l’allungamento di una molla in
base a diverse masse e successivamente al periodo di oscillazione del moto armonico
creato alla molla.
Descrizione dell’esperienza:
Per arrivare al calcolo di , accelerazione di gravità costante e sulla Terra equivalente
a
abbiamo fatto due esperienze con l’uso della molla.
Nella prima esperienza, dopo aver misurato con una bilancia elettronica le masse
costanti di molla e piattello e dopo aver montato la molla su un supporto verticale
posizionando all’altra estremità il piattello, abbiamo misurato con un metro a nastro la
lunghezza della molla a riposo e successivamente la lunghezza della medesima molla
in condizione di allungamento con masse diverse. Con questi dati abbiamo costruito
quindi un grafico (vedi grafico 1) con la variabile dipendente (allungamento)
sull’asse delle
e con la variabile indipendente
Sarebbe più giusto pensare
come
(massa dei pesetti) sull’asse .
dove
è la massa del pesetto,
quella della molla e
quella del piattello: considerando
però che queste ultime due masse rimangono costanti,
abbiamo deciso di prendere come variabile unicamente la
massa dei pesetti.
Prendendo in esame un sistema di questo genere (in
figura) la forza risultante del sistema è uguale a 0N, perché
sia al momento a riposo sia in quello dell’allungamento il
sistema è in equilibrio. Analizzando il sistema osserviamo
che agiscono due forze: la forza peso del pesetto, che
tende ad allungare la molla e la forza elastica propria della
molla che tende invece a riportare la molla nella
condizione a riposo. Questa condizione è scrivibile quindi
come
, dove è la forza peso data dal prodotto di
e
(massa del pesetto) e dove
è data dal prodotto di
(costante elastica propria della molla) e
(allungamento). L’espressione sarà quindi
cui
con
, ca cui
, dove
, da
non è altro che il coefficiente angolare
(ricavabile
dal grafico) della retta che meglio approssima i nostri punti sul grafico.
Nella seconda parte dell’esperienza abbiamo invece
misurato il periodo di oscillazione della molla al variare delle
diverse masse poste sul piattello. Per provare a ridurre
l’errore umano presente nella misurazione di una sola
oscillazione della molla, il periodo da noi misurato con
cronometro manuale equivale a 10 oscillazioni: sarà quindi
nostro compito dividere per 10 il tempo ottenuto per avere
il quanto più reale possibile periodo di oscillazione.
Nel sistema preso in esame notiamo che la forza elastica è
uguale alla forza caratteristica del moto armonico, quindi
, dove
è l’accelerazione caratteristica del
moto armonico e
la massa dei pesetti. Notiamo che l’allungamento è indifferente
(poiché si semplifica nell’equazione) e quindi anche l’allungamento che esercitiamo
per far iniziare il moto armonico della molla è indifferente.
Dalla precedente espressione possiamo descrivere che
moto armonico però
, da cui
sempre la massa variabile,
, dove
la massa della molla e
, da cui
vale
; nel
in cui
è
la massa del piattello. Così
descritta la legge ci risulterebbe difficile da rappresentare in un grafico
rappresentante un piano cartesiano: eleviamo quindi al quadrato ottenedo
,
che non è altro che la rappresentazione grafica di una retta il cui coefficiente angolare
, da cui
. Come prima, rappresentiamo la retta in un grafico (vedi
grafico 2) e eseguiamo un fit grafico per risolvere il problema del non allineamento
dei punti. Notando che
sono costanti in ogni misura di massa, potremmo
anche ignorarli poiché l’unica variabile è la massa del pesetto.
Una volta ottenuti entrambi i coefficenti angolari dei grafici della prima e della
seconda esperienza, ci ricaviamo in uno di questi due modi a nostra scelta, poiché
I risultati trovati sono ovviamente equivalenti ed è possibile che il risultato non sia
preciso, sia in base alla propagazione dell’errore degli strumenti sia al possibile errore
umano presente nelle misurazioni.
Descrizione apparato sperimentale:
1) Bilancia digitale di precisone, per misurare le
masse dei pesetti, la massa della molla e la
massa del piattello;
2) Supporto per sistema di molla, piattello e masse;
3) Molla elastica in metallo di coefficiente angolare
non conosciuto;
4) Piattello in metallo su cui poggiare masse variabili;
5) Pesetti variabili di diversa massa;
6) Metro a nastro,
con il quale
misurale la
lunghezza della molla a riposo e le nuove
lunghezze della molla dopo essere stata
allungata per il peso di una determinata
massa;
7) Cronometro digitale, con il quale prendere le misure dei
tempi delle oscillazioni della molla nella seconda parte di
esperienza.
Dati:
vedi allegato.
Elaborazione dati:
vedi allegato e grafici.
Conclusioni:
il risultato ottenuto non è sicuramente quello aspettato, benché probabilmente la
propagazione degli errori sia di strumento sia soprattutto umano sia molto alta. Più
che nella prima, la seconda parte dell’esperienza è molto più soggetta a errori in
quanto per uno sperimentatore può risultare difficile essere preciso nella misurazione
delle oscillazioni della molla. Nel caso in cui il tempo sia preso con maggior precisione
(basta guardare alcuni sbalzi nelle tabelle delle misurazioni), è possibile che il rapporto
dia come risultato un numero minore a quello da noi ottenuto (dividendo infatti un
numero minore per la massa che nel nostro caso rimane costante nel rapporto si
ottiene un risultato inferiore), che inserito nell’equazione
ci darà un valore di
più attendibile e preciso sulla base del valore di convenzione di
.
Sara Gabriele