Misura di "g" dagli allungamenti di una molla
Teoria: legge di Hooke
Se gli allungamenti non sono troppo grandi, vale la legge di Hooke: l’allungamento risulta
proporzionale all’intensità della forza che lo ha causato. In condizioni di equilibrio, risulta allora
(mp + mi) g = k (li - l0)
dove mp è la massa del piattello, mi è la massa posta sul piattello nella i-esima misura, li è la
lunghezza della molla sotto carico, l0 è la lunghezza della molla a riposo e k la costante elastica
della molla.
Se mettiamo in oscillazione la molla (di massa m non trascurabile) il periodo del suo moto
armonico vale
T = 2π((mp +mi +m/3)/ k )1/2
(questa relazione sarà utile per stimare il valore della costante k).
Strategie per la misura
Con semplici calcoli si può scrivere :
li = (g/k) mi +(g/k) m0 + l0
ed è chiaro che si può ricavare g dalla stima (tramite un fit grafico) della pendenza della retta
ottenuta riportando i dati su carta millimetrata.
Per stimare il valore di k si suggerisce di mettere in oscillazione il piattello carico e misurare il
periodo T: si potrà allora costruire il grafico "quadrato del periodo in funzione del carico":
(Ti)2 = 4π 2 mi/k + 4π 2 (mp + m/3)/k
e dalla misura del coefficiente angolare di questa retta e' possibile una stima di k.
Errori di misura
a) incertezze sulle lunghezze della molla
Il millimetro di incertezza dovuto alla risoluzione del metro a nastro potrebbe non essere
sufficiente come stima dell’errore massimo, dato che spesso la misura viene letta mentre il piattello
non è perfettamente fermo o non è perfettamente orizzontale : una stima “a priori” di 2 millimetri
per l’errore massimo assoluto sembra più ragionevole.
In ogni caso si consiglia un controllo “a posteriori” dell’errore. Si osservi attentamente il grafico
(mi,li): se le misure sono state prese con grande cura, gli scarti dei punti sperimentali dalla retta
tracciata potrebbero risultare tutti inferiori ai 2 millimetri, supposti “a priori”. Se è così, riducete
pure l’errore sulle lunghezze ad un solo millimetro, altrimenti confermate la stima di 2 millimetri;
b) incertezze sulle misure di tempo:
Anche se la risoluzione del cronometro usato vale 0.01 s, è illusorio pensare che questo sia
l’errore di misura da attribuire alle misurazioni manuali della durata temporale di un qualunque
fenomeno fisico (nella fattispecie 5 o 10 oscillazioni complete del sistema molla-piattello).
Per stimare, allora, almeno l’ordine di grandezza di tale errore si consiglia di ripetere più volte la
misura: il valor medio delle varie misure effettuate sarà assunto come miglior stima della durata
temporale del fenomeno e la semidispersione delle misure costituirà una stima, anche se ingenua,
dell’errore. Nelle prossime esperienze, terminata la trattazione dell’analisi statistica dei dati
sperimentali, come errore si prenderà la deviazione standard della media della distribuzione delle
misure.
Previsione dell’errore "Δg/g"
Dalla relazione
(mp + mi) g = k (li - l0)
con semplici calcoli si può ricavare
g = k (li - l0)/mtot
Si avrà, allora, ponendo li - l0 = l e mtot =m
Δg/g = Δk/k + Δm/m + Δl/l
Resta però da stimare quanto vale k/k; si ricava k dalla relazione
T = 2 π (m/k)1/2
dove m è la massa totale comprendente la massa del piattello ed 1/3 della massa della molla. Ancora
una volta semplici calcoli permettono di ricavare
k = 4 π 2m/T2
Allora si può calcolare
Δk/k = Δm/m + 2ΔT/T
ed infine
Δg/g = Δk/k + Δm/m + Δl/l = 2Δm/m + 2ΔT/T + Δl/l
Questa relazione serve per prevedere almeno l’ordine di grandezza dell’errore relativo. Dal momento
che le masse hanno un errore relativo dello 0.1%, i periodi e le lunghezze invece avranno errori
relativi compresi tra l’1 ed il 2 %, si prevede un errore relativo su g compreso tra il 3% ed il 6 %.
Questo errore però potrebbe essere migliorato (o peggiorato) da un uso accorto (oppure no) dei
grafici.