Criterio del luogo delle radici
Sia dato un sistema di controllo a retroazione unitaria del tipo riportato in figura,
R(s)
Y(s)
Figura 1: sistema retroazionato considerato nell’analisi.
dove G(S) è una funzione razionale fratta che si puo’ esprimere nella forma
m
G(s) =
N ( s)
=
D( s )
∏ ( s + zi )
i =1
n
∏ ( s + pi )
(1)
i =1
e K è il guadagno statico d’anello portato in evidenza fuori dalla f.d.t. di G(s).
Abbiamo visto col Criterio di Nyquist come è possibile verificare la stabilità a ciclo chiuso del sistema al
variare di k andando a disegnare il diagramma polare di KG(s) e valutando i circondamenti del punto
critico (-1+j0).
Un altro criterio che consente di ottenere informazioni sulla stabilità del sistema a ciclo chiuso in figura è il
Criterio del Luogo delle Radici. Come vedremo nel seguito questo criterio non solo fornisce informazioni
sulla stabilità, ma fornisce anche informazioni sulla posizione dei poli al variare del parametro di guadagno
statico d’anello K. In questa maniera sono in grado di pervenire ad una conoscenza più accurata della
dinamica del sistema: conoscendo, infatti, la posizione dei poli nel piano s è possibile determinare il valore
di parametri fondamentali del sistema quali il tempo di salita, il tempo di assestamento, la
sovraelongazione, la banda passante e il modulo alla risonanza.
La funzione di trasferimento (f.d.t.) a ciclo chiuso del sistema sopra illustrato è:
W ( s) =
KG( s )
1 + KG( s )
(2)
Quindi i poli del sistema a ciclo chiuso sono le soluzioni dell’equazione caratteristica
1 + KG ( s ) = 0
(3)
Fissato un valore di K, le soluzioni della equazione caratteristica restituiscono le posizioni nel piano
complesso degli n poli del sistema, dove n è l’ordine dei sistema stesso.
Al variare di K, quindi, questi n punti descriveranno altrettante curve: l’insieme di tali curve è detto luogo
delle radici.
DEFINIZIONE: Per il sistema di Figura 1, con funzione di trasferimento d’anello (1), si chiama luogo
delle radici il luogo descritto nel piano complesso dalle radici dell’equazione caratteristica (3) al variare
del parametro reale K da -∞ a +∞, con K≠0. Precisamente, la parte del luogo corrispondente a K>0 prende
il nome di luogo diretto (LD), mentre si chiama luogo inverso (LI) quella corrispondente a K<0.
Il valore K=0 viene escluso dalla precedente definizione poiché corrisponde alla situazione in cui la
retroazione è assente è, quindi, i poli del sistema in figura coincidono con quelli di G(s).
E’ possibile andare a disegnare il luogo delle radici andando a risolvere per punti la (3). Naturalmente
questo è fattibile solo con l’ausilio di un calcolatore elettronico.
Allo scopo di determinare la forma del luogo delle radici, si può osservare che l’equazione (3) è
equivalente a
N (s)
1
=−
D( s)
K
(4)
N ( s)
1
=
D( s )
K
(5)
⎧( 2h + 1)180° , K > 0 , h int
arg N ( s ) − arg D ( s ) = 180° − arg K = ⎨
⎩ 2h180° , K < 0 , h int
(6)
che ancora è equivalente alle equazioni
e
La (6) è sufficiente a caratterizzare completamente l’aspetto geometrico del luogo mentre le (5) serve a
determinare la punteggiatura del luogo rispetto a K, ovvero per determinare a che valore di K corrisponde
uno specifico punto del luogo.
Dalla (1), ancora si può scrivere
m
m
⎧
⎪ arg N ( s ) = arg ∏ ( s + zi ) = ∑ arg ( s + zi )
⎪
i =1
i =1
⎨
n
n
⎪arg D ( s ) = arg ∏ ( s + p ) = ∑ arg ( s + p )
i
i
⎪⎩
i =1
i =1
(6)
che rappresentano l’angolo formato con l’asse reale dal vettore che congiunge il punto del luogo avente
coordinata s e gli zeri e i poli della funzione G(s). Un punto appartiene al luogo diretto se (arg N(s) - arg
D(s)) è un multiplo dispari di 180° mentre appartiene al luogo inverso se è un multiplo pari di 180°.
Per quel che riguarda la punteggiatura, l’equazione (5) si può scrivere anche
n
D( s)
=
K =
N (s)
∏ s + pi
i =i
m
∏ s + zi
(7)
i =1
quindi il valore di K per uno specifico valore s del luogo si può ricavare dalla equazione (7) ovvero facendo
il rapporto tra il prodotto delle distanze del punto s dai poli di G(s) e il prodotto delle distanze dagli zeri di
G(s). Il segno di K dipende dall’appartenenza del punto al luogo diretto o al luogo inverso.
Esistono, tuttavia, delle regole che consentono un agevole tracciamento, seppur qualitativo, del luogo delle
radici. La conoscenza di queste regole non solo aiuta nella determinazione del luogo senza l’ausilio di
strumenti di calcolo ma consente anche di meglio intuire l’effetto che potrebbe avere nel sistema
retroazionato l’aggiunta di un polo o di uno zero o, ancora, la variazione del guadagno.
REGOLE DI TRACCIAMENTO
1. Il luogo delle radici è costituito da un numero di rami pari a 2n dove n è il numero dei poli della
f.d.t. ad anello aperto G(s).
2. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale. L’equazione caratteristica è, infatti, a
coefficienti reali e quindi se fossero presenti radici complesse essere sarebbero anche coniugate e,
quindi, simmetriche rispetto all’asse reale.
3. I rami partono dalla posizione degli n poli della G(s). L’equazione caratteristica (3) si può riscrivere
nella forma D(s)+KN(s)=0. Si vede, quindi, che per K→0 si riduce a D(s)=0 la cui soluzione
fornisce i poli della f.d.t. G(s).
4. Sia nel luogo diretto che nel luogo inverso i rami terminano negli m zeri di G(s). Per K→ ∞,
l’equazione caratteristica degenera nella N(s)=0. Essendo m ≤ n può capitare che alcuni rami non
abbiano i corrispondenti zeri su cui arrivare. In questo caso i restanti n-m rami tenderanno
all’infinito.
5. I rami che tendono all’infinito lo fanno lungo asintoti che si intersecano sull’asse reale nel punto di
ascissa
xA =
m
n
i =1
i =i
∑ z i − ∑ pi
n−m
e dividono l’angolo giro in parti uguali. In particolare formano con l’asse reale angoli pari a
⎧ (2h + 1)π
⎪ n − m , h = 0,1, ..., n − m − 1, K > 0
⎨ 2 hπ
⎪
, h = 0,1, ..., n − m − 1, K < 0
⎩ n−m
6. Tutti i punti dell’asse reale, tranne quelli corrispondenti a singolarità di G(s), fanno parte del luogo
delle radici. In particolare
a. K>0 (LD) fanno parte del luogo diretto i segmenti che lasciano a destra un numero dispari di
poli e zeri. Si considererà 0 come un numero pari.
b. K<0 (LI) fanno parte del luogo inverso quei segmenti che lasciano un numero pari di poli e
zeri al finito.
In generale, si può dire che se un punto dell’asse reale fa parte del luogo diretto allora non farà parte
del luogo inverso e viceversa.
7. Quando n-m ≥ 2, il baricentro del luogo delle radici non dipende da K e coincide con il punto
dell’asse reale di ascissa
xb = −
1 n
∑ pi
n i =1
8. Una radice multipla di ordine h corrisponde ad un punto del luogo delle radici in comune ad h rami
del luogo stesso. I rami che partono dal polo multiplo formano con l’asse reale una stella che divide
l’angolo giro in parti uguali. Gli h rami che convergono in una radice di molteplicità h vi
convergono in direzioni opposte. Nel punto, poi, si originano altri h rami che ne divergono in
direzioni opposte. I 2h rami dividono l’angolo giro in angoli uguali pari a 180/h.
In corrispondenza delle radici multiple si annullano le derivate di G(s) fino alla (h-1)-esima.
Nel caso di radici doppie il loro calcolo è più semplice. Si può, infatti, utilizzare la formula
m
n
1
1
∑ s + z −∑ s + p = 0
i i =1
i
i =1
9. Si consideri il polo -pj di G(s) avente molteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e del luogo
inverso che partono da questo polo hanno in quel punto tangenti che formano con l’asse reale angoli
uguali a
m
n
⎧1 ⎡
⎤
⎪ ⎢( 2l + 1)π + ∑ arg(− p j + zi ) − ∑ arg(− p j + pi )⎥ , l = 0,1, ..., h j − 1 , K > 0
⎪h j ⎢
i =1
i≠ j
⎦⎥
α jl ⎨ ⎣
m
n
⎪ 1 ⎡2lπ + arg(− p + z ) − arg(− p + p )⎤ , l = 0,1, ..., h − 1 , K > 0
∑
∑
j
j
i
j
i ⎥
⎪ h ⎢
j
⎢
=
1
≠
i
i
j
⎣
⎦⎥
⎩
10. Si consideri lo zero -zj di G(s) avente molteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e del luogo
inverso che partono da questo polo hanno in quel punto tangenti che formano con l’asse reale angoli
uguali a
m
n
⎧1 ⎡
⎤
⎪ ⎢( 2l + 1)π − ∑ arg(− z j + zi ) + ∑ arg(− z j + pi )⎥ , l = 0,1, ..., h j − 1 , K > 0
⎪h j ⎢
i≠ j
i =1
⎦⎥
α jl ⎨ ⎣
m
n
⎪ 1 ⎡2lπ − arg(− z + z ) + arg(− z + p )⎤ , l = 0,1, ..., h − 1, K > 0
∑
∑
j
j
i
j
i ⎥
⎪ h ⎢
j
⎢
≠
=
1
i
j
i
⎣
⎦⎥
⎩
11. Eventuali punti di incrocio sull’asse reale si possono determinare trovando i massimi e i minimi
relativi della funzione –D(x)/N(x) dove x è reale. In particolare se x* è un punto di minimo e il
punto s=x* appartiene al luogo diretto, esistono due rami complessi che confluiscono sull’asse reale
in x*. Se x* è un punto di massimo e il punto s=x* appartiene al luogo diretto, esistono due rami
reali che si incontrano in x* e poi si separano diventando complessi. La situazione è rovesciata nel
caso di luogo inverso.
12. In ogni punto del luogo il valore del modulo di K è dato da
n
K=
∏ηi
i =1
m
∏ λi
i =1
dove ηi e λi sono, rispettivamente, le distanze del punto dai poli e dagli zeri di G(s).