Capitolo 3
Il luogo delle radici
C
onsideriamo due polinomi
N (z) = (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm )
D(z) = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )
della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
controllo automatico si può aver bisogno di studiare le radici del seguente
polinomio
Q(z) = %N (z) + D(z)
(3.1)
al variare del parametro % in (−∞, ∞). Questo per esempio capita quando
si vogliono studiare i poli del sistema a ciclo chiuso nello schema di controllo
a retroazione unitaria di figura 1.9 con un controllore proporzionale, cioè
G(z) = KP , al variare del guadagno KP del controllore. Posto infatti
P (z) =
nP (z)
dP (z)
si ha che il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso è
pch (z) = dP (z) + KP nP (z)
che equivale alla (3.1) con % = KP , N (z) = nP (z) e D(z) = dP (z).
Prima di risolvere il problema enunciato nel caso generale consideriamo
un semplice esempio.
Esempio 10 Sia N (z) = 3 e D(z) = z 2 + 4z + 3, si ottiene
Q(z) = z 2 + 4z + 3 + %3
59
60
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
½!1
½ ! {1
½=0
½=0
£
£
{3
{1
Im(z)
½ ! {1
Re(z)
½!1
Figura 3.1: Luogo delle radici di Q(z) per % ∈ [0, ∞) (rosso) e per % ∈ [0, −∞)
(blu).
Le radici di tale polinomio di secondo grado si ottengono facilmente dalla ben
nota formula
p
p
z1 = −2 + 1 − 3%, z2 = −2 − 1 − 3%
(3.2)
È facile ora disegnare tali radici sul piano complesso al variare di % in [0, ∞)
Dalla (3.2) si vede che per % = 0 le radici di Q(z) sono z1 = −1 e z2 = −3
che coincidono con quelle di D(z). Per valori di % ≤ 1/3 le radici rimangono
reali e diventano coincidenti e pari a −2 quando % = 1/3. Quando % > 1/3 le
radici diventano complesse coniugate con parte reale pari a −2 e parte immaginaria che cresce all’aumentare del parametro %. Il luogo appena descritto
è disegnato in rosso in figura 3.1.
Per valori negativi del parametro %, le radici sono sempre reali e per
% → −∞ tendono una a +∞ e l’altra a −∞. Il luogo appena descritto è
disegnato in blu in figura 3.1.
Chiameremo luogo positivo delle radici di (3.1) il luogo geometrico nel
piano complesso descritto dalle radici dell’equazione (3.1) al variare di % da
0 a +∞.
Chiameremo invece luogo negativo delle radici di (3.1) il luogo geometrico nel piano complesso descritto dalle radici dell’equazione (3.1) al variare
di % da 0 a −∞.
Notiamo per prima cosa che l’equazione complessa Q(z) = 0 dà luogo alle
61
seguenti due equazioni reali
%kz − z1 k kz − z2 k . . . kz − zm k = kz − p1 k kz − p2 k . . . kz − pn k
(3.3)
φ(z − z1 ) + φ(z − z2 ) + . . . + φ(z − zm ) − φ(z − p1 ) − φ(z − p2 )+
− φ(z − p3 ) − . . . − φ(z − pn ) = ±(2k + 1)π, k = 0, 1, 2, . . .
(3.4)
Le due equazioni precedenti contengono molte informazioni, e di fatto permettono di tracciare tutto il luogo; esse vengono dette rispettivamente equazione del modulo e equazione della fase.
Vediamo ora le regole generali per il tracciamento dei luoghi positivo e
negativo delle radici di (3.1) quando n > m.
R1 Si traccino sul piano complesso le radici di N (z) e di D(z). Di solito
si indicano con dei cerchi le radici di N (z) e con delle croci quelle di
D(z).
R2 Il polinomio (3.1) è di grado n per cui ha n radici nel piano complesso;
di conseguenza sia il luogo positivo che quello negativo hanno n rami,
ciascuno dei quali è il luogo nel piano complesso di una delle radici al
variare di %.
R3 Per % = 0 le radici di Q(z) sono date dalle radici di D(z), cioè z = p1 ,
z = p2 ,. . . ,z = pn sono punti del luogo positivo e negativo corrispondenti a % = 0.
R4 Gli n rami del luogo positivo e/o negativo si raccordano nei cosiddetti
punti singolari del luogo, ovverosia punti che, per un determinato valore
di %, sono radici multiple del polinomio (3.1). Tali punti sono quindi
soluzioni sia della (3.1) che dell’equazione
d
Q(z) = 0
dz
In un punto singolare di molteplicità µ, confluiscono 2µ rami del luogo,
alternativamente convergenti e divergenti per % crescente, e le direzioni
delle tangenti a questi rami, nel punto singolare, formano una stella
regolare che divide l’angolo giro in 2µ angoli uguali. La figura 3.2
mostra tale stella nel caso µ = 2 e µ = 3.
R5 Ogni punto dell’asse reale che si lascia a destra un numero dispari di
radici reali (sia di N (z) che di D(z)) è un punto del luogo positivo.
Ogni altro punto dell’asse reale è un punto del luogo negativo.
62
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
Figura 3.2: Tangenti ai rami del luogo in un punto singolare di molteplicità
2 (a sinistra) e tre (a destra).
La prova si ottiene facilmente dall’equazione della fase: infatti le radici
che non sono sull’asse reale danno contributi che si annullano due a
due in quanto esse sono simmetriche rispetto ad esso (coppie complesse
coniugate); le radici reali che sono a sinistra del punto generico z dell’asse reale danno luogo a vettori z − zi o z − pj che hanno fase nulla,
mentre quelle che sono a destra di z danno luogo a vettori che hanno
fase π, per cui l’equazione (3.4) può essere soddisfatta solo se di queste
ce ne sono un numero dispari, altrimenti darebbero un contributo pari
a ±2kπ, che è diverso da ±(2k + 1)π.
Dalle precedenti osservazioni discende immediatamente la prossima
regola:
R6 Il luogo delle radici (sia positivo che negativo) è simmetrico rispetto
all’asse reale.
Ora sappiamo che tutti i rami del luogo partono da p1 , p2 , . . . , pn per
% = 0, dove vanno a finire quando % → +∞ o % → −∞?
R7 Per % → +∞ [% → −∞], m rami del luogo positivo [negativo] vanno
a finire esattamente nelle m radici z1 , z2 , . . . , zm di N (z), i rimanenti
n − m vanno all’infinito. Questo può essere dedotto dall’equazione
%N (z) + D(z) = 0
Si vede facilmente che per % → ±∞ tale equazione è soddisfatta dalle
radici del polinomio N (z); inoltre, si può anche scrivere
%N (z)
= −1
D(z)
che per % → ±∞ può essere soddisfatta solo per quei valori di z per cui
N (z)/D(z) tende a zero; ma questo si verifica quando |z| → ∞ dato
63
che il grado di D(z) è maggiore di quello di N (z). Quindi
%N (z)
N (z)
= −1 ⇒ lim
=0
%→±∞ D(z)
|z|→∞ D(z)
lim
Nell’ultima relazione il rapporto N (z)/D(z) all’aumentare di |z| tende
a comportarsi come il rapporto tra i termini di grado massimo
N (z)
1
= lim n−m
|z|→∞ D(z)
|z|→∞ z
lim
che dimostra la presenza quindi di uno zero di molteplicità n − m all’infinito; per cui n − m rami del luogo raggiungeranno questo zero
all’infinito.
R8 Gli n − m rami del luogo che vanno all’infinito seguono n − m asintoti
che si incontrano sull’asse reale nel punto di ascissa z0 cosı̀ ottenuta
Pn
Pm
i=1 Re(pi ) −
j=1 Re(zj )
z0 =
n−m
e formando angoli con l’asse reale in base alla seguente formula
(1 + 2k)π
,
n−m
2kπ
αk =
,
n−m
αk =
k = 0, 1, 2, . . . , n − m − 1, luogo positivo
(3.5)
k = 0, 1, 2, . . . , n − m − 1, luogo negativo
(3.6)
In figura 3.3 sono mostrati gli asintoti dei luoghi positivo e negativo per
n − m = 1, 2, 3, 4. Omettiamo la prova di queste ultime due formule.
Le regole R1-R8 permettono di tracciare il luogo delle radici con sufficiente accuratezza per gli scopi che ci interessano. Vediamo i vari passi in
caso tipico.
64
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
½!1
½!1
½ ! {1
½ ! {1
½ ! {1
z0
Re(z)
Re(z)
½!1
½ ! {1
½ ! {1
½!1
½!1
½!1
½ ! {1
z0
½!1
½ ! {1
½ ! {1
z0
Re(z)
½!1
½ ! {1
½!1
Re(z)
½!1
½ ! {1
Figura 3.3: Asintoti dei luoghi positivo e negativo per n − m = 1 (in alto a
sinistra), n − m = 2 (in alto a destra), n − m = 3 (in basso a sinistra), e
n − m = 4 (in basso a destra).
Esempio 11 Consideriamo il caso in cui
N (z) = (z + 4)
D(z) = (z + 3 + i4)(z + 3 − i4)
Applichiamo la R1 e, come mostrato in figura 3.4, tracciamo sul piano
complesso le radici di N (z) (cerchi) e quelle di D(z) (croci).
In base alla R3 il luogo positivo parte dalle radici di D(z) per % = 0.
Inoltre, in base alla R5, fa parte del luogo positivo la porzione dell’asse reale
che va dalla radice z = −4 all’infinito; infatti tutti i punti di tale insieme
lasciano alla loro destra un numero dispari di radici (le coppie complesse
coniugate non danno contributo).
Dalla R7 sappiamo che, quando % → ∞, m = 1 radice va a finire nella
radice z = −4 di N (z) e la rimanente n − m = 1 radice va all’infinito
secondo un asintoto che forma con l’asse reale un angolo α = π, e che quindi
coincide proprio con il semiasse reale negativo. La figura 3.4 illustra questa
situazione.
Da queste premesse si può ora tracciare l’andamento qualitativo del luogo
positivo: sapendo che delle radici iniziali (% = 0) z = −3 + i4 e z = −3 − i4,
65
Im(z)
£
i4
½=1
½=0
½!1
{4
Re(z)
{3
£
½=0
{i4
Figura 3.4: Alcuni punti caratteristici del luogo positivo
½=0
£
Im(z)
i4
½=1
½!1
z1
{4
{3
£
½=0
Re(z)
{i4
Figura 3.5: Diagramma completo del luogo positivo
66
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
al crescere di %, una dovrà andare a collocarsi nella radice z = −4 e l’altra
dovrà andare all’infinito lungo il semiasse reale negativo, sapendo inoltre
dalla R6 che il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale, è facile vedere che
l’unico andamento possibile è quello indicato in figura 3.5: le radici dalla
loro posizione iniziale convergono verso il punto singolare z1 , da dove poi si
sdoppiano una verso z = −4 a l’altra verso −∞. In questo caso, il punto
singolare z1 può essere facilmente calcolato risolvendo l’equazione di secondo
grado
(z + 3 + i4)(z + 3 − i4) + %(z + 4) = 0
e trovando il valore di % per cui si hanno due radici reali e coincidenti; si
ottiene % ' 10 e z1 ' −8. Si noti che i rami che convergono sul punto
singolare z1 , in base alla R4 lo fanno perpendicolarmente rispetto all’asse
reale.
Sfruttando le stesse regole (vedi figura 3.6) è immediato tracciare il luogo
negativo, mostrato in figura 3.7 dove z2 ' 0.1 per % ' −6.
67
Im(z)
£
i4
½ = {1
½=0
½ ! {1
{4
Re(z)
{3
£
{i4
½=0
Figura 3.6: Alcuni punti caratteristici del luogo negativo
½=0
£
Im(z)
i4
½ = {1
{4
½ ! {1
{3
£
½=0
z2
Re(z)
{i4
Figura 3.7: Diagramma completo del luogo negativo
68
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
Esempio 12 Sia
D(z) = z 2 (z + 1 + i)(z + 1 − i)
N (z) = z − 2
Come al solito per prima cosa tracciamo le radici dei due polinomi sul
piano complesso, come mostrato in figura 3.8. In base alla R3 le radici
Im(z)
i
£
{1
£
£
£
2
Re(z)
{i
Figura 3.8: Radici di N (z) e D(z)
z = 0 (doppia), z = 1 + i e z = 1 − i sono i punti di partenza, per % = 0, sia
del luogo positivo che di quello negativo. Inoltre, dalla R5, la parte dell’asse
reale che appartiene al luogo positivo è quella a sinistra della radice z = 2.
Per % → ±∞, dato che m = 1, una delle radici iniziali andrà a collocarsi
nel punto z = 2; le rimanenti n − m = 3 andranno all’infinito secondo tre
asintoti centrati nel punto z0 = (−2 − 2)/3 = −4/3 e formanti angoli

π/3 h = 0
(1 + 2h)π 
π
h=1
αh =
=
luogo positivo

3
5π/3 h = 2

0/3 h = 0
2hπ 
2π/3
h=1
αh =
=

3
4π/3 h = 2
luogo negativo
(3.7)
Questa situazione è mostrata nelle figure 3.9 e 3.11. Tenendo sempre a mente
che, in base alla R6, il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale, si ottiene
l’andamento di figura 3.10 per il luogo positivo e quello di figura 3.12 per il
luogo negativo.
69
Im(z)
½!1
½=0
£
½!1
z0
£
£
Re(z)
£
½=1
½=0
½!1
Figura 3.9: Alcuni punti caratteristici del luogo positivo
Im(z)
½!1
½=0
£
½=0
½!1
½=1
£
£
2
z0
Re(z)
£
½=0
½!1
Figura 3.10: Diagramma completo del luogo positivo
70
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
Im(z)
½ ! {1
½=0
£
z0
½ ! {1
£
£
Re(z)
£
½ = {1
½=0
½ ! {1
Figura 3.11: Alcuni punti caratteristici del luogo negativo
Im(z)
½ ! {1
½=0
£
½=0
½ = {1
£
£
z0
2
½ ! {1
Re(z)
£
½=0
½ ! {1
Figura 3.12: Diagramma completo del luogo negativo
71
Le figure 3.13 e 3.14 riportano altri due esempi di tracciamento del luogo
delle radici.
Im(z)
½!1
£
£
£
½ ! {1
z1 = {3
Re(z)
Figura 3.13: Luogo delle radici per N (z) = (z + 1)2 e D(z) = z 3 .
Im(z)
½!1
z1 = {3
½ ! {1
£
£
£
{9
{4
{1
½ ! {1
Re(z)
½!1
Figura 3.14: Luogo delle radici per N (z) = z + 1 e D(z) = z 2 (z + 9).
72
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
Esempio 13 Si consideri l’equazione (1.1) che regola la dinamica del prezzo
p(k) per un dato bene soggetto ad interazione tra domanda ed offerta e si
assuma di avere un controllo PI dato dalla (2.5). Sia a = 1, b = 1/6 e
KI = 1 e si voglia determinare come variano le radici del sistema a ciclo
chiuso al variare del parametro KP . Il polinomio caratteristico del sistema a
ciclo chiuso è
µ
¶
1
1
2
2
pch (z) =a z + (b − a + KP + KI ) z − b − KP = z +
+ KP z − − KP =
6
6
¶µ
¶
µ
1
1
1
1
=z 2 + z − + KP (z − 1) = z +
z−
+ KP (z − 1)
6
6
2
3
È quindi possibile tracciare il luogo delle radici al variare di K P ponendo
nella (3.1) Q(z) = pch (z),
¶µ
¶
µ
1
1
z−
N (z) = z − 1
D(z) = z +
2
3
e % = KP . In base alla R3 le radici z = −1/2 e z = 1/3 sono i punti di
partenza del luogo per KP = 0. Inoltre, dalla R5, la parte dell’asse reale
che appartiene al luogo positivo è quella tra la radice 1/3 e la radice z = 1
di N (z) e quella a sinistra della radice z = −1/2. Al crescere di KP , la
radice che parte da z = 1/3 dovrà andare a collocarsi nella radice z = 1 e
l’altra, che parte da z = −1/2, dovrà andare all’infinito lungo il semiasse
reale negativo. Il luogo positivo è quindi quello mostrato in figura 3.15.
Per valori negativi di KP , una delle due radici dovrà andare a collocarsi
nella radice z = 1 e l’altra dovrà andare all’infinito lungo il semiasse reale
positivo. Necessariamente quindi ci dovranno essere due punti singolari, uno
tra le radici z = −1/2 e z = 1/3, e l’altro a destra della radice z = 1. In
base alla R4, i punti singolari possono essere calcolati risolvendo il sistema
di equazioni
1
1
z − + KP (z − 1) = 0
(3.8)
6
6
d
1
Q(z) =2z + + KP = 0
(3.9)
dz
6
Ricavando dalla (3.9) KP = −2z−1/6 e sostituendo tale valore nell’equazione
(3.8), quest’ultima diventa
Q(z) =z 2 +
−z(z − 2) = 0
Si hanno quindi due punti singolari, uno in z1 = 0 per KP = −1/6 e l’altro
in z2 = 2 per KP = −25/6. Questo vuol dire che, quando KP = −1/6, il polinomio Q(z) ha due radici coincidenti in z = 0 e che, quando KP = −25/6,
73
il polinomio Q(z) ha due radici coincidenti in z = 2. Quindi, entrambi i
punti singolari hanno molteplicità µ = 2 e poiché i valori di KP sono negativi, entrambi appartengono al luogo negativo. Il luogo negativo è quindi quello
mostrato in figura 3.15.
Im(z)
KP = {7/6
KP ! 1
£
{1/2
KP = §1
z1
£
1/31
1
z2 KP ! {1
Re(z)
KP = 1/3
KP = {7/6
Figura 3.15: Diagramma completo dei luoghi positivo e negativo
Per calcolare i valori di KP che rendono il sistema stabile, cioè i valori di
KP in corrispondenza dei quali il luogo esce dal cerchio di raggio unitario, si
può ricorrere al criterio di Schur–Cohn. In questo caso le condizioni affinché
le radici di Q(z) siano tutte interne al cerchio di raggio unitario sono
P (1) = 1 > 0
P (−1) =
2
− 2KP > 0
3
1+
1
+ KP > 0
6
da cui si ricava
7
1
− < KP <
6
3
Infatti, quando KP = 1/3, il polinomio Q(z) diventa
µ
¶
1
1
1
2
Q(z) = z + z − = (z + 1) z −
2
2
2
ed una radice è sul cerchio unitario; quando invece KP = −7/6, il polinomio
Q(z) diventa
Ã
√ !Ã
√ !
3
3
1
1
z− −i
Q(z) = z 2 − z + 1 = z − + i
2
2
2
2
ed entrambe le radici sono sul cerchio unitario.
74
CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI
Si noti infine che, come visto precedentemente, per KP = −1/6 entrambe
le radici sono in z = 0. Come conseguenza, poiché il controllo integrale rende
il sistema di tipo 1, se il riferimento è un gradino, il sistema ha un errore a
regime nullo e tempo di risposta finito.