LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO
Giuseppe G. Santorsola
1
Rendimento e rischio
• Rendimento e rischio di un singolo titolo
• Rendimento e rischio di un portafoglio
• Rendimento ex post
– Media aritmetica dei rendimenti periodali
• Rendimento ex ante
– Media dei rendimenti futuri ponderati per la
probabilità di manifestazione
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Il rischio
• Il rischio è una misura dell’incertezza delle previsioni formulate sui
rendimenti attesi ed è quantificato dalla deviazione standard.
• La deviazione standard dei rendimenti storici segnala l’entità media
degli scostamenti dei singoli rendimenti periodali (solitamente
mensili) rispetto al rendimento medio dell’intero periodo
considerato.
Per calcolare il rischio di uno strumenti finanziario occorre:
1.Calcolare il rendimento medio dello strumento;
2.Calcolare gli scostamenti dei singoli rendimenti mensili rispetto al
rendimento medio ed elevarli al quadrato;
3.Sommare i 12 dati così ottenuti e calcolare la radice quadrata da
riportare poi su base annua.
∑(R − R )
12
σ =
Giuseppe G. Santorsola
i =1
2
i
12
3
Il rischio
• Il termine “rischio” tende ad assumere una valenza
esclusivamente negativa; nella realtà, poiché il rischio
fa riferimento all’incertezza dei risultati, un maggior
livello di rischio sta ad indicare una:
– maggiore probabilità di riportare delle perdite;
– maggiore probabilità di riportare dei guadagni più
elevati.
• Il rischio è, dunque, al tempo stesso un elemento
negativo ed una opportunità.
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La relazione rendimento-rischio
Ipotesi fondamentale della Modern Portfolio Theory è
che gli investitori sono Risk Adverse: si ipotizza pertanto
una relazione positiva tra rendimento atteso e rischio
dell’investimento, quindi è possibile realizzare maggiori
rendimenti soltanto accettando livelli di rischio
crescenti.
50,00%
Rendimento
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
Rischio
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La relazione rendimento-rischio
Rendimento
(Media aritmetica dei tassi annui di
rendimento)
Sulla base di questi assunti è possibile selezionare
singole attività o classi di attività:
40%
35%
30%
25%
20%
A
15%
10%
C
B
5%
0%
Giuseppe G. Santorsola
0%
5%
10%
15%
Rischio
(Dev.standard dei tassi di rendimento)
20%
6
La relazione rendimento-rischio
• A parità di rendimento, viene scelta l’attività
finanziaria con il rischio più basso
C è preferibile a B
• A parità di rischio, viene scelta l’attività
finanziaria con il rendimento più alto
A è preferibile a B
• Non sempre la scelta è possibile: come ci si
comporta quando in un confronto binario non è
possibile scegliere sulla base di una delle due
dimensioni considerate a parità dell’altra?
Tra A e C, cosa si sceglie ?
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7
Il rendimento e il rischio di portafoglio
• Il rendimento di un portafoglio è dato dalla
media ponderata dei rendimenti delle attività
considerate.
• Il rischio di portafoglio è minore o uguale al
rischio medio ponderato delle attività
considerate.
• Il portafoglio ha, quindi, un effetto positivo in
termini non di maggiore rendimento bensì di
minore rischio in conseguenza della
diversificazione.
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Il rendimento e il rischio di portafoglio
• In una logica di portafoglio, i criteri di
selezione delle classi cambiano: il portafoglio
migliore non è quello costituito dai titoli
singolarmente meno rischiosi.
• Si deve tenere conto della relazione tra i loro
rendimenti ossia della correlazione.
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Il rendimento e il rischio di portafoglio
• Si considerino tre titoli che si
contraddistinguono per il seguente
rendimento:
Titolo
A
B
C
Anno 1
5
0
30
Anno 2
10
10
5
Anno 3
15
20
-5
Qual è il titolo migliore?
Giuseppe G. Santorsola
10
Il rendimento e il rischio di portafoglio
Qual è il portafoglio migliore?
(coppie di 2 titoli con il medesimo peso: 50%)
Rendimento
Rischio
Titolo
Anno 1
Anno 2
Anno 3
AB
BC
AC
2,5
15,0
17,5
10,0
7,5
7,5
17,5
7,5
5,0
Titoli
AB
BC
AC
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Rendimento
medio
10,0
10,0
10,0
Rendimento massimo e
minimo
2,5 – 17,5
7,5 – 15,0
5,0 – 17,5
11
Il rendimento e il rischio di portafoglio
• Considerando
portafogli:
Titolo
AB
BC
AC
rischio
e
rendimento
Rendimento medio
10,0
10,0
10,0
dei
tre
Rischio
15,0
7,5
12,5
1) Il portafoglio BC domina tutti gli altri, nonostante il titolo
A, il migliore tra i tre, non venga selezionato.
2) L’investitore ha convenienza a selezionare il portafoglio
BC rispetto all’acquisto del solo titolo, nonostante il titolo A
domini entrambi gli altri titoli.
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12
Il rendimento e il rischio di portafoglio
• L’esempio dimostra che il rendimento di un portafoglio
è sempre uguale alla media ponderata dei rendimenti
delle attività che lo compongono, mentre il rischio si
riduce al diminuire della correlazione esistente tra le
attività stesse.
• La correlazione misura la tendenza di due attività
finanziarie a muoversi nella stessa direzione e con la
stessa intensità.
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Il rendimento e il rischio di portafoglio
Rendimento atteso
20%
Rend.
Attività A 10%
Attività B 20%
Attività B
Rischio
10%
20%
15%
Correlazione = +1
Correlazione = 0
Correlazione- = 1
10%
50% Attività A, 50% Attività B
Attività A
10%
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15%
Rischio
20%
14
Il rendimento e il rischio di portafoglio
• Correlazione perfettamente positiva (= +1): le attività
si muovono nella stessa direzione e con la stessa
intensità;
• Correlazione positiva (> 0): le attività si muovono in
genere nella stessa direzione;
• Correlazione nulla (= 0): le attività si muovono in modo
indipendente l’una dall’altra;
• Correlazione negativa (< 0): le attività si muovono in
genere in direzione opposta;
• Correlazione perfettamente negativa (= -1): le attività
si muovono in direzione opposta con la stessa intensità.
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15
La diversificazione del portafoglio
Il rischio è “governabile”.
Anche inserendo a caso nel portafoglio un numero
crescente di titoli si riesce a ridurne il rischio.
Un’opportuna composizione del portafoglio - che tenga
conto della relazione tra i rendimenti dei titoli consente di ridurre ulteriormente il rischio “inutile”. Il
portafoglio migliore non è quello costituito dai titoli
singolarmente meno rischiosi.
Tale diversificazione consente di migliorare il rapporto
tra rendimento e rischio.
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La diversificazione del portafoglio
Rischio = Rsistematico+Rspecifico
• Rischio sistematico (market risk) ⇒
Componente
di rischio spiegata dalla sensibilità del prezzo del titolo alle
oscillazioni di mercato (β)
• Rischio specifico (non-market risk) ⇒
Componente di rischio spiegata da fattori specifici
dell’azienda emittente (investimenti, dividendi, vicende
aziendali, tassi di impiego)
L’effetto diversificazione produce una
riduzione del solo rischio specifico
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La diversificazione del portafoglio
Portafoglio equi-ripartito con
selezione casuale dei titoli
Rischio di
portafoglio
Rischio specifico (eliminabile)
Rischio totale
Rischio sistematico – non eliminabile
0
Numerosità titoli
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Il portafoglio con due titoli
– Il rendimento complessivo di portafoglio sarà
dato da:
E(RP) = X · E(RA) + (1-X) · E(RB)
– Il rischio espresso in termini di varianza di
portafoglio σ²P sarà dato da:
σ²P = X²·σ²A+(1-X)²·σ²B+2·X·(1-X)·σA·σB·ρAB
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.
19
Il portafoglio con N titoli
Rendimento
Al variare del mix di
portafoglio si ottiene una
serie di punti P(µ, σ²) sul
piano µ, σ² (mediavarianza), che definiscono
la regione delle
opportunità di mercato.
Il contorno superiore di tale
insieme definisce la
frontiera efficiente.
P*
µ*
Il procedimento è complesso perché
vanno calcolate le correlazioni tra
tutte le coppie di titoli che formano
il portafoglio.
Ro
0
σ²*
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Rischio (σ²)
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Il Capital Asset Pricing Model
• La MPT di Markowitz ha mostrato l’esistenza della
Frontiera Efficiente
• Ma quale portafoglio è preferibile?
• Dipende dall’avversione/propensione al rischio
dell’investitore
Capital Market Line
E(R)
U’2
U2
M
F
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C
F
B
U’1
U1
D
Frontiera Efficiente
Curve di indifferenza
rischio rendimento
Portafogli inefficienti
A
21
Il Capital Asset Pricing Model
1. Gli investitori sono razionali (Markowitz efficient).
2. L’investitore può indebitarsi e concedere prestiti al tasso di
interesse di un’attività priva di rischio (RFR).
3. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel
medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di
rendimento futuri.
4. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la
valutazione.
5. Gli investimenti sono infinitamente divisibili.
6. Non esistono costi di negoziazione.
7. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o
di inflazione è anticipata.
8. I mercati dei capitali sono in equilibrio.
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Il Capital Asset Pricing Model
• Se l’investitore può indebitarsi e concedere
finanziamenti al Risk Free Rate, tra i portafogli sulla
frontiera efficiente è possibile identificare un
portafoglio (M) che è preferito in assoluto dagli
investitori
• Il portafoglio M, detto Portafoglio di Mercato, è l’unico
a cui gli investitori sono interessati e la linea retta che
congiunge il RFR e il portafoglio di mercato è detta
Capital Market Line (CML).
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La Security Market Line
• E’ possibile ora determinare il prezzo di mercato del
rischio
PPR =
RM − RFR
σ
M
RFR = Risk Free Rate
RM= rendimento atteso del portafoglio di mercato
σM= deviazione standard del portafoglio di
mercato
• Esso esprime il premio per il rischio (per unità di
rischio) di un titolo rischioso: esso misura quindi
l’aumento di rendimento richiesto da un investitore
per assumersi un’unità di rischio addizionale. In
termini geometrici, rappresenta l’inclinazione della
CML.
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La Security Market Line
• Se gli investitori hanno attese omogenee, ogni
investitore ritiene che:
– il prezzo di mercato del rischio è dato dal rapporto tra la
differenza tra il rendimento del portafoglio di mercato ed il
RFR, con la deviazione standard del portafoglio di mercato
– il prezzo di mercato del rischio esprime il tasso marginale di
sostituzione rendimento-rischio
– il valore di un portafoglio efficiente sarà determinato
secondo l’equazione della CML
• Il tasso di rendimento richiesto è…
 RM − RFR 
σ
R p = RFR + 
 σM

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P
RFR = Risk Free Rate
RM= rendimento atteso del portafoglio di mercato
σM= deviazione standard del portafoglio di mercato
Rp= rendimento atteso di un portafoglio sulla CML
σp= deviazione standard di un portafoglio sulla CML
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La Security Market Line
• La relazione tra tasso di rendimento richiesto per un asset e il
suo rischio è dato dalla Security Market Line (SML)
• L’equazione della SML è:
E ( Ri ) = RFR +
RM − RFR
σ
2
(Covi ,M )
m
E ( Ri ) = RFR + β i ( RM − RFR )
—
—
—
E ( Ri ) = RFR +
Covi , M
σ
2
( RM − RFR )
m
βi
Il tasso di rendimento di un’attività finanziaria è quindi determinato da:
- il suo rischio sistematico (Beta)
- il premio per il rischio del mercato nel suo insieme
- il tasso di rendimento privo di rischio (RFR)
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