Proprietà dei logaritmi
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Perché le proprietà dei logaritmi?
I logaritmi sono presenti in molte leggi scientifiche
insieme ad altre operazioni; ecco due esempi:
Per valutare se un materiale è un buon isolante acustico si
può usare una formula del tipo
TL = 14,5 log(Mf) + 23
Per misurare l’intensità della sensazione prodotta da una
sorgente sonora si usa la seguente formula
S = 10 log
P
P0
1. Come si legge e si calcola un’espressione con
logaritmi e altre operazioni?
2. Come si calcola
il logaritmo in una base diversa da 10?
€
Per risolvere questi (e altri) problemi si
studiano le proprietà dei logaritmi
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2
Regole “di lettura”
A. Logaritmi e priorità delle operazioni
In un’espressione dove compaiono potenze, logaritmi,
addizioni (e sottrazioni), moltiplicazioni (e divisioni) i calcoli
si eseguono in questo ordine stabilito:
1. potenze, radici e logaritmi;
2. moltiplicazioni e divisioni;
3. addizioni e sottrazioni.
B. Si usano le parentesi per cambiare questo ordine stabilito
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3
€
Esempi di regole “di lettura”
log10 ⋅100 = 1⋅100 = 100



prima il logaritmo
prima la parentesi
log100 :10 = 2 :10 = 0, 2



prima il logaritmo
log(10 ⋅100) = log1000 = 3



log(100 :10) = log10 = 1

prima la parentesi
€
Scritture molto diffuse che richiedono attenta lettura
100 log10 €al posto di log10 ⋅100
100
log
al posto di log(100 :10)
10
€
log100
al posto di log100 : log10
log10
log100 1
1
= log100 al posto di log100 :10 = log100 ⋅
10
10
10
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€
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Attività 1. Proprietà dei logaritmi
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone.
Ad ogni gruppo viene data una scheda
di lavoro da completare per ‘osservare
con occhio matematico’ la datazione dei
fossili con il radiocarbonio
Avete 40 minuti di tempo
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Abbiamo trovato 3 proprietà dei logaritmi
1. Logaritmo di una potenza
logaxp = plogax!
2. Logaritmo di un prodotto
loga(xy) = logax + logby!
3. Logaritmo di un quoziente
loga(x : y) = logax − logby!
Con i logaritmi si calcola:
1. una moltiplicazione invece di una potenza;
2. un’addizione invece di una moltiplicazione;
3. una sottrazione invece di una divisione.
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Importanza storica dei logaritmi
Proprio questa ‘facilitazione nei calcoli’ portò i logaritmi a
diffondersi ovunque si dovevano svolgere calcoli scientifici a
partire dalla fine del 1500 … fino a circa il 1970, quando si
cominciano a diffondere anche le piccole calcolatrici tascabili.
Ritorniamo indietro nel tempo con un esempio.
Gli astronomi rinascimentali osservavano il movimento dei
pianeti e ne calcolavano il raggio r dell’orbita. Ecco il calcolo per
avere il raggio di Marte, da eseguire, all’epoca, con carta e penna!
2
686,
98
11
r=3
×1,
50
×10
365, 26 2
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€
7
€
Un calcolo ‘storico’ con i logaritmi
2
686,
98
11
r=3
×1,
50
×10
365, 26 2
Ed ecco il calcolo con i logaritmi
1
log r = (2 × log 686, 98 − 2 × log 365, 26) + log1, 5 + log1011 ≅ 11, 36
3 €
r ≅ 1011,36 ≅ 2, 29 ×1011
Vi sembra un calcolo ancora complicato da eseguire con carta e
penna? Ma pensate che:
- invece di calcolare la radice cubica si calcola una divisione per 3;
- invece di calcolare i quadrati si calcolano moltiplicazioni per 2;
- invece di calcolare una divisione e una moltiplicazione si calcola
una sottrazione e una divisione.
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Come si trovavano i logaritmi fino al 1970?
Con le tavole dei logaritmi
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Le proprietà dei logaritmi e le tavole
Le tavole forniscono solo la parte decimale del logaritmo.
log2,537≅ 0,40432;
log25,37=log(2,537×10)=log2,537+log10≅0,40432+1=1,40432
E analogamente trovo:
log253,7 ≅ 2,40432;
log2537 ≅ 3,40432;
…….
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Oggi con il tascabile
L’importanza dei logaritmi è legata alla possibilità di
risolvere numerosi problemi descritti da leggi
esponenziali o logaritmiche nei campi più vari: fisica,
astronomia, biologia, scienze della Terra, economia,
psicologia, medicina, informatica, …
È quello che cominceremo a vedere dalla prossima
lezione.
Ma già ora possiamo avere una piccola anticipazione.
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Oggi con il tascabile
Proprio i tasti del tascabile possono suggerire
una riflessione.
Alcuni tascabili hanno un tasto che può dare logx
o, come seconda funzione, 10x, ma non un tasto
yx per calcolare la potenza in qualunque base y.
Come ottenere yx?
1. Applico la definizione di logaritmo e scrivo
x
log y x
y = 10
2. Applico la proprietà di logaritmo di potenza e scrivo
10
€
€
log y x
= 10
x log y
3. In conclusione ottengo
x
y = 10
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x log y
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