Alma Mater Studiorum - Università di Bologna
Convezione forzata - Casi particolari
Seconda Facoltà di Ingegneria
Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica ed Ingegneria Aerospaziale
Beatrice Pulvirenti
17 Maggio 2007
Termofluidodinamica Applicata
1
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Sommario
• Convezione forzata entro condotti
– Flusso di Couette
– Flusso di Poiseuille
– Correlazione di Hausen
– Correlazione di Sieder - Tate
– Correlazione di Colburn
– Correlazione di Dittus - Boelter
Termofluidodinamica Applicata
2
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Scambio termico su lastra piana con flussi
ad alta velocità
Equazione generale della convezione
ρ cp
dT
= λ∇2 T + µφ
dt
(1)
dove φ è il termine di dissipazione viscosa, in due dimensioni, in
coordinate cartesiane, è definito come
2 2 2
∂u
∂v
∂v
∂u
+
φ=2
+
(2)
+
∂x
∂y
∂x ∂y
Termofluidodinamica Applicata
3
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Se le velocità non sono moderate e φ non è trascurabile, allora
adimensionalizzando l’equazione (3) si ottiene
∗ 2
∗ 2 ∗
2 ∂u
∂v
∂v
1 ∗2 ∗ E
∂u∗
dT ∗
∇ T +
=
+
2
2+
+
(3)
dt∗
Pe
Re
∂x∗
∂y ∗
∂x∗ ∂y ∗
dove E è definito come
u2∞
E=
cp ∆T
(4)
è detto numero di Eckert e definisce il rapporto tra la temperatura
dinamica dovuta al moto del fluido viscoso e la differenza di
temperatura fluido parete.
Termofluidodinamica Applicata
4
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Flusso laminare fra due lastre piane.
Flusso di Couette. Regime completamente
sviluppato
d2 u
=0
2
dy
(5)
condizioni al contorno
u(0) = 0
e
u(L) = u1
2
2
d T
µ du
=−
dy 2
λ dy
(6)
(7)
condizioni al contorno
T (0) = T0
Termofluidodinamica Applicata
e
T (L) = T1
(8)
5
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Soluzione:
u(y) =
Termofluidodinamica Applicata
y
u1
L
(9)
6
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La soluzione per il campo di temperatura si ottiene sostituendo
l’equazione (9) nell’equazione di Fourier:
2
2
d T
µ u21
µ du
=−
=−
(10)
2
2
dy
λ dy
λL
la cui soluzione è
T (y) = T0 +
Termofluidodinamica Applicata
µ u21
y
(T1 − T0 ) +
L
2λ
1−
y
L
(11)
7
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Caso T0 6= T1
L’equazione (11) può essere scritta, se T0 6= T1 come
y
y
1
T − T0
=
1 + Pr E 1 −
θ(y) =
T1 − T0
L
2
L
(12)
dove
u21
E=
cp (T1 − T0 )
(13)
è detto numero di Eckert.
Il flusso termico alla parete superiore può essere valutato come
1
T1 − T0
dT (1 − PrE)
(14)
q y=L = −λ = −λ
dy y=L
L
2
Termofluidodinamica Applicata
8
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Si distinguono tre casi:
• Se Pr E > 2
Il membro di destra è positivo. Il flusso termico va dal fluido alla
parete superiore, anche se la temperatura di questa è superiore
della temperatura della parete inferiore.
• Se Pr E < 2
Il membro di destra è negativo. Il flusso termico va dalla parete
al fluido.
• Se Pr E = 2
Il membro di destra è nullo. Non si ha scambio termico fra parete
e fluido.
Termofluidodinamica Applicata
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Termofluidodinamica Applicata
10
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Caso T0 = T1 L’equazione (11) può essere scritta come
µ u21 y
y
T − T0 =
1−
2λ L
L
(15)
La temperatura massima è sull’asse del condotto e vale
da cui
µ u21
Tmax − T0 =
8λ
(16)
T − T0
y
y
=4
1−
Tmax − T0
L
L
(17)
Il flusso termico in questo caso è sempre dal fluido alla parete:
dT
= ...
q y=L = −λ dy y=L
Termofluidodinamica Applicata
(18)
11
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Flusso laminare all’interno di un condotto
circolare. Completo sviluppo dinamico e
termico
Termofluidodinamica Applicata
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Flusso laminare all’interno di un condotto
circolare Regime completamente
sviluppato
Equazioni del moto
1 d
du
1 dp
r
=
r dr
dr
µ dz
con le condizioni al contorno
du =0
dr r=0
u(R, z) = 0
(19)
(20)
La soluzione dà
u(r) = −
Termofluidodinamica Applicata
1 dp
R2 1 −
4µ dz
r
R
2 (21)
13
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La velocità media è
um
1
=
π R2
da cui
Z
R
0
R2 dp
2πru(r)dr = −
8µ dz
2 r
u(r) = 2um 1 −
R
(22)
(23)
e il fattore di attrito
64
8µ du =
f =− 2
ρu dr r=R
Re
Termofluidodinamica Applicata
(24)
14
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Termofluidodinamica Applicata
15
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Flusso laminare all’interno di un condotto
circolare - scambio termico
Equazione di Fourier
1
∂T
1 ∂
∂T
u(r)
=
r
α
∂z
r ∂r
∂r
∂2T
+
∂z 2
(25)
Nella regione del completo sviluppo termico si ha
∂T
=c
∂z
(26)
con c una costante.
Termofluidodinamica Applicata
16
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Flusso termico costante
∂T (r, z)
∂Tm (z)
=
=c
∂z
∂z
L’equazione di Fourier diventa
1 d
dTm (z)
dT
1
r
= u(r)
r dr
dr
α
dz
(27)
(28)
introducendo la temperatura adimensionale
θ(r) =
T (r, z) − Tw (z)
Tm (z) − Tw (z)
(29)
si ottiene
1 d
dθ
r
r dr dr
dTm (z)
1
[Tm (z) − Tw (z)]−1
= u(r)
α
dz
Termofluidodinamica Applicata
(30)
17
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con le condizioni al contorno
dθ =0
dr r=0
e
θ(r = R) = 0
sostituendo u(r) = 2um [1 − (r/R)2 ] si ottiene
2
r d
dθ
r
= Ar 1 −
dr dr
R
con
(31)
(32)
dTw (z)
2um
=c
A=
α[Tm (z) − Tw (z)] dz
(33)
la cui soluzione è
θ(r) = −AR2
Termofluidodinamica Applicata
3
1 r
+
16 16 R
4
−
1 r
4 R
2 (34)
18
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Sapendo che la temperatura media è
RR
u(r)θ(r)2πr dr
θm = 0
um πR2
da cui
θm
da cui
11
= − AR2
96
4
2 r
r
96 3
+ 116
− 14
θ(r) =
11 16
R
R
il coefficiente di scambio termico vale
dθ 48 λ
h = −λ =
dr r=R
11 D
o
Nu =
Termofluidodinamica Applicata
48
hD
=
= 4.364
λ
11
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
19
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Temperatura costante
hD
= 3.66
(40)
Nu =
λ
Le proprietà possono essere valutate alla temperatura media
di bulk Tb
1
Tb = (Ti + Tu )
(41)
2
dove Ti è la temperatura di bulk di ingresso e Tu la temperatura di
bulk di uscita.
Le proprietà andrebbero valutate alla temperatura media
logaritmica:
∆T1 − ∆T2
∆Tln =
(42)
1
ln ∆T
∆T2
dove ∆T1 è la differenza di temperatura fra fluido e parete
Termofluidodinamica Applicata
20
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all’ingresso Tw − Ti e ∆T2 è la differenza di temperatura fra fluido e
parete all’uscita Tw − Tu .
Termofluidodinamica Applicata
21
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Flusso laminare all’interno di condotti non
circolari - regione di completo sviluppo
dinamico e termico
Si definiscono i diversi casi:
• NuT = Superficie del condotto a temperatura costante
• NuH1 = Flusso termico uniforme sulla superficie del condotto e
temperatura costante sul profilo z =costante
• NuH2 = Superficie del condotto e temperatura costante su tutta
la superficie del condotto
Termofluidodinamica Applicata
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Termofluidodinamica Applicata
23
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Regione di ingresso dinamica e termica Flusso laminare
Termofluidodinamica Applicata
24
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Sviluppo dinamico e termico - Flusso
laminare - Regione di ingresso dinamica e
termica
Lt
= 0.037
DPe
(43)
Lt
= 0.033
DPe
(44)
valida per Pr = 0.7, mentre
valida per Pr > 0.7
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25
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Sviluppo dinamico e termico - Flusso
laminare - Regione di ingresso dinamica e
termica
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Completo sviluppo dinamico - Flusso
laminare - Regione di ingresso termica
x/D
(45)
Re Pr
numero di Graetz, dove x è la distanza lungo l’asse del condotto
dal punto dove comincia il riscaldamento o il raffreddamento del
condotto.
Gz−1 =
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Completo sviluppo dinamico - Flusso
laminare - Regione di ingresso termica
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Completo sviluppo dinamico - Flusso
laminare - Regione di ingresso termica
Termofluidodinamica Applicata
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Completo sviluppo dinamico - Flusso
laminare - Regione di ingresso termica
Termofluidodinamica Applicata
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Contemporaneo sviluppo dinamico e
termico - Flusso laminare
Termofluidodinamica Applicata
31
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Contemporaneo sviluppo dinamico e
termico - Flusso laminare
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Contemporaneo sviluppo dinamico e
termico - Flusso laminare - Correlazioni
empiriche
Correlazione di Hausen
Vale nella regione di ingresso di un tubo circolare a temperatura
costante
0.0668Gz
N um = 3.66 +
(46)
1 + 0.04(Gz)2/3
valida per Gz < 100, con numero di Graetz definito da
Gz =
Re · Pr
L/D
(47)
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb .
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Correlazione di Sieder - Tate
Vale nella regione di ingresso di un tubo circolare a temperatura
costante
0.14
1/3 µb
N um = 1.86(Gz)
(48)
µw
valida per 0.48 < Pr < 16700, 0.0044 < µµwb < 9.75 e
0.14
(Gz)1/3 µµwb
> 2. Le proprietà sono valutate alla
temperatura di bulk Tb , eccetto µw che va valutato alla
temperatura Tw .
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34
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Flusso turbolento
L ρu2m
∆p = f
D 2
Correlazione di Nikuradse, valida per tubi lisci:
f = (1.82 log Re − 1.64)−2
(49)
(50)
Oppure, sempre per tubi lisci:
f = 0.316Re−0.25
(51)
f = 0.184Re−0.2
(52)
valida per Re < 2 × 104 .
valida per 2 × 104 Re < 3 × 105 .
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35
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Termofluidodinamica Applicata
36
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Correlazione di Colburn
Dall’analogia di Reynolds-Colburn, si ottiene per un flusso turbolento
in un condotto cilindrico
Stx Pr
2/3
f
cx
=
=
2
8
(53)
da cui
Nu = 0.023Re0.8 Pr1/3
(54)
valida per 0.7 < Pr < 160, Re > 10000 e L/D > 60.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb .
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Correlazione di Dittus - Boelter
Nu = 0.023Re0.8 Prn
(55)
dove n = 0.4 se Tw > Tb e n = 0.3 se Tw < Tb . Valida per
0.7 < Pr < 160, Re > 10000 e L/D > 60.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb .
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazione di Sieder - Tate
Nu = 0.027Re0.8 Pr1/3
µb
µw
0.14
(56)
valida per 0.7 < Pr < 16700, Re > 10000 e L/D > 60.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb ,
eccetto µw che va valutato alla temperatura Tw .
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Correlazione di Petukhov
n
µb
RePr f
Nu =
X
8
µw
(57)
dove X = 1.07 + 12.7(Pr2/3 − 1)(f /8)1/2 ; n = 0.11 se Tw > Tb ,
n = 0.25 se Tw < Tb e n = 0 se la condizione al contorno è di flusso
termico imposto.
La correlazione è valida per L/D > 60, 0.7 < Pr < 200, (ma si può
usare nell’intervallo 0.7 < Pr < 2000), 104 < Re < 5 × 106 e
0.08 < µµwb < 40.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb ,
eccetto µw che va valutato alla temperatura Tw .
Termofluidodinamica Applicata
40
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Correlazione di Nusselt
Nu = 0.036Re0.8 Pr1/3
D
L
0.055
(58)
valida per 0.7 < Pr < 16700, Re > 10000 e 10 < L/D < 400.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb .
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Correlazione di Notter - Sleicher
Nu = 5 + 0.016Rea Prb
(59)
dove a = 0.88 − 0.24/(4 + Pr) e b = 0.33 + 0.5e−0.6Pr .
La correlazione è valida per 0.1 < Pr < 104 , 104 < Re < 106 e
L/D > 25.
Le proprietà sono valutate alla temperatura di bulk Tb .
Termofluidodinamica Applicata
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Analogia di Reynolds per i condotti
St =
Termofluidodinamica Applicata
h
f
=
ρcp um
8
(60)
43
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Analogia di Prandtl
St =
h
1
f
p
=
ρcp um
8 1 + 5 f /8(Pr − 1)
Termofluidodinamica Applicata
(61)
44
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Analogia di von Karman
St =
h
1
f
p
=
ρcp um
8 1 + 5 f /8[(Pr − 1) + ln [(5Pr + 1)/6]]
Termofluidodinamica Applicata
(62)
45