Moto armonico smorzato
Corpo soggetto ad una forza elastica ed a una forza resistente proporzionale
r
r
r
alla velocità :
m a = F
m
d
2
d
x (t)
d t
2
2
x (t)
d t
2
+ 2γ
el
− λ v
= − kx (t) − λ
d x (t)
+ ω
d t
2
0
x (t) = 0
≡
“coefficiente di smorzamento”:
d x (t)
d t
k
m
“pulsazione propria”
γ≡λ/2m
Si hanno tre possibili casi:
γ > ω0
γ = ω0
γ < ω0
U.Gasparini, Fisica I
”moto sovrasmorzato”
”smorzamento critico”
”oscillazioni smorzate”
1
Soluzione di un’equazione differenziale lineare omogenea
a coefficienti costanti:
d
2
x (t)
d t
2
x (t ) ≡
Posto:

 ⇒

α
d x (t)
+ ω
d t
+ 2γ
d x ( t )
d t
2
e
α t
=
α e
e
α t
+ 2 γ α e
2
0
x (t) = 0
α t
,
d
α t
2
x ( t )
d t
2
+ ω
2
0
=
α
e
α t
2
e
=
α t



0
“Equazione (algebrica) caratteristica” associata
all’equazione differenziale:
α
soluzione:
U.Gasparini, Fisica I
2
+ 2 γ α
+ ω
α
±
= − γ
γ
2
0
=
0
2
− ω
2
0
2
Moto “sovrasmorzato” : γ>ω0
α 1 ,α 2
soluzioni reali dell’eq.caratteristica;
x (t) =
Soluzione generale:
=
A e
( − γ +
x (t) =
A e
γ
− (γ −
2
− ω
γ
2
2
0
A e
)t
− ω
α
+ B e
2
0
)t
1
t
+ B e
( − γ −
+ B e
− (γ +
γ
α
2
γ
2
t
− ω
2
2
0
− ω
)t
2
0
)t
Esempio:
ω
γ
0
= 3 .1 4 s
= 6 .0 0 s
− 1
− 1
U.Gasparini, Fisica I
3
“Smorzamento critico”: γ=ω0
2
d
x (t)
d t
d
2
2
x (t)
d t
2
+ 2γ
+ γ
d x (t)
+ γ
d t
d x (t)
+ γ
d t
2
x (t) = 0
d x (t)
+ γ
d t
2
x (t) = 0
d  d x (t)

 d x (t)

+
γ
+
γ
+
γ
= 0
x
t
x
t
(
)
(
)




d t 
d t
d t



≡ z(t)
d z(t)
+ γz (t) = 0
d t
d x
d t
Pertanto:
e
e
γt
γt
d x
+ γe
d t
x (t) =
U.Gasparini, Fisica I
+ γx (t ) ≡
γt
x (t) =
A t + B
z(t) =
z (t ) =
A
A e
− γt
− γt
A e
d
x (t) = e
[
e
γt
x (t )
d t
− γt
]
=
A
( A t + B )
4
Leggi orarie del moto:
moto “sovrasmorzato”:
x (t) =
A e
− (γ −
γ
2
− ω
2
0
)t
+ B e
− (γ +
γ
2
− ω
moto con “smorzamento critico”:
x (t) = e
U.Gasparini, Fisica I
− γt
( A t + B )
5
2
0
)t
Moto oscillatorio smorzato : γ<ω0
α
1
,α
soluzioni complesse dell’eq.caratteristica :
2
x (t) =
=
( − γ + iω ) t
A e
= e
A e
− γt
( A e
α
1
t
+ B e
+ B e
iω t
+ B e
α
2
t
( − γ − iω ) t
− iω t
)
c o s ω t − i s in ω t
c o s ω t + i s in ω t
=
e
− γt
[( A + B ) c o s ω t + i ( A − B ) s in ω t ]
dove:
ω ≡ √ω02 − γ2
Imponendo che x(t) ≡ funzione reale
Infatti, posto:
A = a
B = a
1
2
A,B complessi
coniugati :
(ossia: A+B = numero reale
A - B = numero immaginario)
+ ib1
+ ib 2
U.Gasparini, Fisica I
A + B = a
A − B = a
b1 + b2 = 0
a1 − a 2 = 0
1
1
+ a
− a
2
2
A = a + ib
B = a − ib
+ i(b1 + b
+ i(b1 − b
2
2
b1 = − b2 ≡ b
a 1 = a 2 ≡ a
) ≡ r1
) ≡ i r2
6
Soluzione per il moto debolmente smorzato:
A = a + ib
B = a − ib
⇒
x (t ) =
⇒
=
e
infatti:
⇒
X
X
0
0
X
=
X
≡
e
− γt
e
0
= − a / b ,
x (t ) =
X
0
− γt
0
− γt
e
2
2 b s in ω t ]
e
X
− γt
s in (ω t + φ )
0
= − 2b
1 + (a / b )
2
s in (ω t + φ )
[s in ω t c o s φ + c o s ω t s in φ ]
[ 2 a c o s ω t − 2 b s in ω t ]
co sφ = − 2b
s in φ = 2 a
U.Gasparini, Fisica I
[2 a c o s ω t + i
[ 2 a c o s ω t − 2 b s in ω t ]
ta n φ
con:
⇒
− γt
x (t ) =
⇒
[
− γt
e
A + B = 2 a
A − B = 2 ib
ta n φ = − ( a / b )
⇒
X
0
s in φ =
X
ta n
0
2
φ
1 + ta n
2
φ
= 2 a
7
]
Soluzione dell’oscillatore armonico con
debole smorzamento ( γ < ω0 ) : legge oraria
x (t ) =
X
ω
γ
=
0
0 .6 s
U.Gasparini, Fisica I
=
− 1
0
T
= 2π / ω
=
2 π
ω 0
=
− 1
, T
/ 5 ,ω
≡
3 .1 4 s
≅ ω
− γt
0
“Pseudoperiodo”:
Esempio:
e
0
s in (ω t + φ )
≡
ω
2
0
− γ
2
2π
ω
2
0
− γ
2
2 s
≅
0 .9 7 ω
0
, T
≡
2 π
ω
≅ 1 .0 3 T
8
0
Esempi:
= 6 .2 8 s − 1
2π
= 1s
T0 ≡
ω0
ω
x (t)
0
γ = 0 .2 s − 1 ≅
τ ≡
ω0
30
1
= 5 s ≅ 5 T0
γ
costante di
tempo dello
smorzamento
= 6 .2 8 s − 1
2π
= 1s
T0 ≡
ω0
ω
0
γ = 2 s −1 ≅
τ ≡
oscillazione con debole smorzamento:
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
t(s)
oscillazione con forte smorzamento:
x (t)
ω0
3
T
1
= 0 .5 s ≅ 0
2
γ
U.Gasparini, Fisica I
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
9
t(s)