Filtri digitali IIR
IIR - Linearità di fase


Esiste un legame “fase linere”  “risposta impulsiva”
di simmetria o antisimmetria di h(n).
Ma h(n) è infinita  Un IIR a fase linare non è realizzabile
Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà:
H(z-1) = zN-1 H(z)
ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere
speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ)
Z-plane
Im
ejw
Re
IIR - Linearità di fase (approx.)

Si approssima la fase lineare solo in banda passante
Impiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS)
Fase
Mod.

Si rinuncia alla “realizzabilità”
(non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale)
Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL
x(n)
x(-n)
T.R.
X(z)
X(z-1)
f(n)
H(z)
f(-n)
T.R.
y(-n)
H(z)
H(z)X(z-1) H(z-1)X(z)
H(z)H(z-1)X(z)
Filtri IIR - Progetto

Ottimizzazione
procedimenti iterativi per definire i coefficienti che
minimizzano un certo errore


Scelta diretta di poli e zeri in Z.
Trasformazione da prototipi analogici



Butterworth
Chebyshev (1o e 2o tipo)
Elittici
Si deve definire una “mappatura da s  z che mantenga le
proprietà del filtro nonché la stabilità.
Filtri IIR - Progetto

Si parte da un progetto analogico
M
H (s) 

bi s i
i

ajs
j
0
d j y (t )

j aj
dt j

j a j y (n  j ) 
N


0
N
j
d i x (t )

i bi
dt i
0
M
0

E lo si riporta in digitale
M
H ( z) 

i
bi z i
0
N

j
ajz
j

N
0
M

i
bi x ( n  i )
0
0

Cercando di rispettare due regole:


L’asse jW del piano S venga mappato sul cerchio unitario eiw
in Z (uguale risposta in frequenza)
Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al
cerchio unitario in Z (stabilità)
Trasf. Differenziali  Differenze finite
1
Backward difference

T [ y ( n)  y ( n  1)]

1
[ y (n  1)  y (n)]
Forward difference
T
1[ y (n)]  
  i  i  y (n  i )  y (n  i )  Generalized differences

T
 i 1[ y(n)]  1 i [ y(n)]
N

0
M
j
a j  j y ( n)   i bi  j x(n)
0
Trasf. Differenziali  Differenze finite
N

0
N

M
d jy
dix
  i bi
j aj
j
i
dt
dt
0
M
j
i
a
s

b
s
i i
j
j
0
N

M
j
i
a
z

b
z
i i
j
j
Trasformazione adottata
0
N
0
Trasf. Di Laplace
0
0

Eq. differenziali
M
j
a j  j y ( n)   i bi  j x(n)
0
Differenze finite
Backward difference (1)
dx
x(n)  x(n  1)

dt
T
1  z 1
s
T
x (t )
x(n )
H ( s)  s
1  z 1
H ( z) 
T
1  z 1
s X ( s) 
X ( z)
T
1
z
1  sT
dx ( t )
dt
x x ( n )  x ( n  1)

T
T
Backward difference (2)
1
1  1  jWT  1
  1  e j 2 arctg WT
s  jW  z 
 1 
1  jWT 2  1  jWT  2

S-plane

Z-plane
3
1
0.8
2
0.6
Imaginary Part
1
0
-1
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-2
-0.8
-1
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-0.5
0
0.5
Real Part
1
1.5
Backward difference (2)

Considerazioni:


Mantiene la stabilita’
La risposta in frequenza risulta alterata



tanto piu’ quanto maggiore e T
tanto piu’ verso le alte frequenze
la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse
frequenze
Forward difference (1)
dx
x ( n  1)  x ( n )

dt
T
s
x (t )
x(n )
z 1
T
z 1
X ( z)
T
z 1  sT
H ( s)  s
H ( z) 
s X ( s) 
z 1
T
dx ( t )
dt
x x ( n  1)  x ( n )

T
T
Backward difference (2)
s  jW  z  1  jWT
S-plane
Z-plane
3
3
2
2
Imaginary Part
1
0
-1
0
-1
-2
-2
-3
1
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
Real Part
2
3
4
Forward difference (2)

Considerazioni:


NON Mantiene la stabilita’
La risposta in frequenza risulta alterata



tanto piu’ quanto maggiore e T
tanto piu’ verso le alte frequenze
la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse
frequenze
Generalized difference (1)
dx

dt
 z

s X ( s) 
 i  i x(n  i )  x(n  i )
i
i
i
T
T
 z

s
i
i
i
 z i 
X ( z)
 z i 
T
x (t )
x(n )
H ( s)  s
  z
H ( z) 
i
i
T
i
 z i 
dx ( t )
dt
x

T
  x(n  i )  x(n  i )
i
i
T
Generalized difference (2)
z  e jw T
 e jw iT )  j T1  i  i 2 sen(w i T )
s  T1  i  i (e jw iT
S-plane
Z-plane
3
2.5
2
2
1.5
Imaginary Part
1
0
-1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-2.5
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
Real Part
1
2
i  0 per i  1
3
Generalized difference (3)
z  e jw T
 e jw iT )  j T1  i  i 2 sen(w i T )
s  T1  i  i (e jw iT
S-plane
Z-plane
3
1.5
2
1
Imaginary Part
1
0
-1
0.5
0
-0.5
-1
-2
-1.5
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
Real Part
0
i  0 per i  2
1
Generalized difference (4)

Considerazioni (personali)


è una trasformata “strana”
solo una parte dell’asse jΩ viene mappato sul cerchio unitario



ad ogni polo in s corrispondono piu’ poli in z di cui a coppie uno
dentro ed uno fuori dal cerchio unitario


la legge di mappatura puo’ portare a piu’ soluzioni
la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si
deve operare una scelta particolare di αi
se z’ è una soluzione lo è anche -1/z’
applicata direttamente NON mantiene la stabilità

si puo’ pensare di “stabilizzare” il filtro riportando I poli a con modulo
maggiore di 1 in 1/z
Trasformata bilineare (1)
2 1  z 1
s
T 1  z 1
s
-2/T
jW
2 T s
z
2 T s
z
ejw
Trasformata bilineare (2)
2 T  jW
z
 z 1
2 T  jW
s  jW
S-plane
Z-plane
3
1
2
Imaginary Part
1
0
-1
0
-0.5
-2
-3
0.5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
W  0  z 1
W    z  1
-1
-0.5
0
0.5
Real Part
1
1.5
Trasformata bilineare (3)
jw 2
 jw
 jw 2
2 1 e
2 e e
2
jW 

 j tan
 jw
jw 2
 jw 2
T 1 e
T e e
T
2
w
W  tan
T
2
W
p/2
p w
 
w
2
Trasformata bilineare (4)

Considerazioni

E semplicemente una trasformata che gode di opportune
proprieta’



La forma della risposta in frequenza risulta “distorta”


mappa l’asse jΩ sul cerchio unitario
mantiene la stabilita’
si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro
Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza
coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale
Risposta impulsiva invariante (1)
H ' ( s)  h' (t )
h(n)  h' (nT )
H ( z )  h( n) 
N
h' (nT )  ( i ci e
0
 d i nT
N
H ' ( s)   i
0
N
ci
 h' (t )  ( i ci edi t )u1 (t )
s  di
0
N


H ( z )   n h' (nT ) z n   n   i ci e di nT  z n
0
0  0

N

N
ci
 d iT 1 n
  i ci  n e z   i
 d iT 1
1

e
z
0
0
0

)u1 (t )


s  d i  z  e
 d iT

Solo per i poli
Risposta impulsiva invariante (2)
ze
sT
Applicato solamente ai poli di H(s)
H ( z ) e jw T


2 pmT0
1 
2p l
  l H jw  j T e T
T 
Per evitare l’aliasing H(jW) =0 per |W| > p/T
s
jW
p/T
 p/T
z
ejw